Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 6 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: 
	a. Rút gọn P.
	b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
	c. Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2.
Bài 2: (2,0 điểm)
	a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 .
	b. Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương 
Bài 3: (2.25 điểm)
	a. Giải phương trình: .
	b. Cho đường thẳng .
	1. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
	2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất.
Bài 4: (3,0 điểm)
	Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
	a. Tính 
	b. Chứng minh: 
	c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: (0,75 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
---------- HẾT ---------- 
(Đề thi gồm có  trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh: ....................
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9
Bài 1: (2.0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
Tìm đúng điều kiện : Đk : 
0.25
0.25
0.25
Vậy , với 
0.25
b)
0.25
dấu bằng xảy ra khi x = , thỏa mãn đk.
Vậy GTNN của P là khi .
0.25
c)
Với thì Q = > 0. (1)
0.25
Xét 
Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện .suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
0.25
Bài 2: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 (1) 
0.5
Vì (2x - y)2 ; (y – z + 1)2 ; ( z - 3)2 với mọi x, y, z 
0.25
nên từ (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
0.25
b)
 là số chính phương nên A có dạng 
0.25
0.25
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0.25
Bài 3: (2,25 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
: đk : x>2 ,y>1
0.25
Biến đổi pt về dạng 
0.25
Áp dụng BĐT cô si vói hai số dương VT (2)
0.25
Để có (1) thì dấu bằng sảy ra trong (2)Khi 
Từ đó tìm được x=11 và y=5 (thỏa mãn )2.
0.25
b)
1. Điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là A(0; 2)
0.5
2. Điểm cắt trục tung A(0; 2) 
Điểm cắt trục hoành B ( 
0.25
 vuông ở O, kẻ OH . Áp dụng hệ thức: 
0.25
OH đạt GTLN khi và chỉ khi OH2 đạt GTLN mà ta có đạt GTNN là 1 khi m = 1
Vậy max OH = 2 
0.25
Bài 4: (3,0điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
0,25
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
0,25
0,25
= 
0,25
= 1 + 1 = 2
0,25
b)
Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
0,25
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) 
0,25
và BH = AB – AH = 2R - AH
0,25
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,25
c)
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH(Pitago)
0,25
Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH 
0,25
OH =
0,25
Bài 5: (0,75 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
0,25
Û y là số nguyên lẻ
Mà ³ 0Þ ³ 0Û =1
0,25
Thay =1 vào tìm được x = 2, x = - 4
Thử lại : và trả lời .Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(- 4,1) ;(- 4,-1)
0,25
(Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa)