Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 5 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
 a.Giải phương trình
 b. Cho hàm số: ; với tham số.
Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. 
H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để 
Bài 3: (2 điểm)
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm) 
a, (1 điểm) Cho tam giác ABC. Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N.Chứng minh: BM = CN: b, (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO. Chứng minh: a) EG // AB
 b) OE CD
 c) SDAC + SBDO = SABC
Bài 5: (1 điểm) Cho , chứng minh: 
 ---------HẾT---------
( Đề thi gồm có 1 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..; Số báo danh
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán- Lớp 9
	. 	 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
0,25
0,25
0.5
2,0
b
0.25
0.25
c
ĐK: : 
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 
0.25
0.25
2
a
ĐK: . Nhận thấy: không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho ta có: 
Đặt , 
thay vào ta có:
Đối chiếu ĐK 
0.25
0.25
0.25
0.25
2,0
b
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: Hay 
0,5
0,5
3
a
 (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0,25
0.25
0,25
0,25
2.0
b
Xét thì A = 1 không phải nguyên tố; thì A = 3 nguyên tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần tìm n = 1.
0.25
0.25
0,25
0,25
4
1
Chứng minh: BM = CN
Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường phân giác) AM = AN (1)
BP//MN nên BP AK.Tương tự ABP cân tại A AB = AP (2)
BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)
Trong BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP N là trung điểm
của CP hay NP = NC (5).
Từ (4),(5) BM = CN 
0,25
0,25
0,25
0,25
3.0
2
a) Chứng minh EG //AB:
Kẻ các đường trung tuyến CM, DN củaADC chúng cắt nhau ở E
Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâmABC
Xét MCD, ta có: EG // DM hay EG // AB
b) Chứng minh OE CD :
ODAB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB) 
Mà EG // AB nên EGOD (1)
ABC cân tại A OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE DG
hay OE CD
c) Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC:
, `
Vậy SABC = 4 SODC hay SODC = SABC
Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
5
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
Từ (1); (2); (3): 
0,25
0,5
0,25
1.0
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa