Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 15 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.
Bài 1: ( 2 điểm)
Cho biểu thức 
 a, Rút gọn biểu thức P.
 b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 2: (2 điểm)
a) Giải các phương trình sau:
b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng thời là số nguyên tố.
b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn:
 x(1 + x + x2 ) = 4y(y -1)
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.
Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn.
Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 5: (1 điểm)
Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:
---------- HẾT ---------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ 
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi:Toán - Lớp 9
Bài 1: (2điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
ĐKXĐ 
0,25
Ta có 
0,75
b
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
0,75
Vậy GTLN của Q= khi x=2
0,25
Bài 2: (2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
ĐKXĐ: x0. 
 (1) 
0,25
0,25
 (2)
0,25
 Từ (1),(2) suy ra: 
 ,dấu “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt.
Vậy pt đã cho có nghiệm x=0.
0,25
b
Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).
 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).
 m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2).
 m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: và . 
Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có: 
Suy ra (3).
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là , đạt được khi và chỉ khi m =. 
Kết luận: m =.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
Ta có .
 .
0,25
0,25
0,25
Vì và là số nguyên tố nên 
Từ đó suy ra (thỏa mãn).
0,25
b
x(1 + x + x2 ) = 4y(y - 1) Û x + x2 + x3 + 1 = 4y2 – 4y + 1
Û (x2 + 1)(x + 1) = (2y - 1)2 (1)
Do (2y - 1)2 là số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) Þ d là số lẻ
 x2 + 1 d và (x + 1)(x – 1) d Þ 2 d mà d lẻ nên d = 1
nên x2 + 1 và x + 1 nguyên tố cùng nhau với x, y là các số nguyên thì (2y - 1)2 là số chính phương nên x2 + 1 và x + 1 đều là số chính phương
lại có x2 và x2 + 1 là hai số chính phương liên tiếp Þ x2 = 0
 Þ x = 0
Thay x = 0 vào phương trình (1) ta tìm được y = 0, và y =1
	Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) là (0,1); (0,0).
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a
0,25
 ( cùng nhìn cạnh BC)
0,5
Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. 
0,25
b
Ta có DCAC
Mà HEAC; suy ra BH//DC (1)
Chứng minh tương tự: CH//BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD.
Do đó AM, HO trung tuyến của 
G trọng tâm của 
Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, 
Suy ra G là trong tâm của 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 Do a,b,c > 0 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : 
 a + (b + c) 
 Û [a + (b + c)] 
ó 
 Tương tự ta thu được :
 , 
Cộng theo vế ta được: ++³ 2
0,25
0,25
0,25
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : 
 a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đề là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
0,25