Đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỉ

 sinh khá giỏi. Cụ thể kết quả học sinh khá, giỏi giải được phương trình vô tỉ như sau:
Lớp
Phương pháp
Giải được
Có đường lối giải
Không giải được
9C
Khi chưa áp dụng
1em = 6,7%
 1em =6, 7 %
13em = 87%
9D
Khi chưa áp dụng
3em = 20%
4em = 27 %
8em =53%
 Qua kết quả về việc giải được phương trình vô tỉ ta thấy số em giải được phương trình vô tỉ còn thấp, số học sinh có đường lối giải và không giải được còn nhiều.
	III. NHỮNG GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 
1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
 a, Khái niệm : Phương trình vô tỉ là phương trình có có chứa ẩn trong dấu căn.
 b,Ví dụ:	
 = 
 + = 2
 - = 
2. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
2.1. Sai lầm do không chú ý điều kiện có nghĩa của căn thức. 
 Ví dụ1: Giải phương trình: - = 0 (1)
 Û = 
 Lời giải sai (1) Û 2x+3 = x-1
 Û x = -4
 Vậy phương trình có nghiệm x = -4
Phân tích sai lầm: Giá trị x = -4 không là nghiệm của phương trình (1) vì x = -4 thì = = không có nghĩa 
Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách:
Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức
Cách 2: Thử lại giá trị tìm được vào phương trình ban đầu
Lời giải đúng như sau:
 Điều kiện có nghĩa của căn thức Û Û x ³ 1 
 Khi đó (1) Û = 
 Û 2x+3 = x-1
 Û x = - 4 ( Không thoả mãn điều kiện )
	Nên phương trình (1) vô nghiệm
2.2. Sai lầm do không đặt điều kiện của ẩn để biến đổi tương đương.
 Ví dụ 2: Giải phương trình 3 + = x (2)
 Lời giải sai : ĐK 2x-3 ³ 0 Û x³ 
 (2) Û = x-3
 Û 2x-3 = x2- 6x + 9
 Û x2 - 8x + 12 = 0
 Û ( x-2)(x-6) = 0
 Û x = 2; x = 6 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 6.
 Nhưng giá trị x= 2 không phải là nghiệm của phương trình (2)
 Vì khi đó = = 1 còn x-3 = 2-3 =-1
Để khắc phục sai lầm này ta phải đặt điều kiện cho vế phải là một số không âm, vì khi đó vế trái là một số không âm.
Lời giải đúng : ĐK 2x-3 ³ 0 Û x³ (*)
 (2) Û = x-3 (2')
 ĐK: x-3 > 0 x ³ 3 (**)
 (2') Û x2 - 8x + 12 = 0
 Û ( x-2)(x-6) = 0
 Û x = 2; x = 6 
 Giá trị x = 2 không thoả mãn (**)( loại )
 x = 6 thỏa mãn (*) và (**) là nghiệm của phương trình.
 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6
2.3. Có những bài toán học sinh mắc cả 2 sai lầm trên
Ví dụ 3: Giải phương trình 	(3)
Lời giải sai:
(3) 	 
	 x - 1 = 5x -1 + 3x - 2 + 2 
	 2 - 7x = 2 	(3’)
	 4 - 28 x + 49 x2 = 60 x2 - 52 x + 8	(3’’)
	 11x2 - 24 x + 4 = 0
	 (11x - 2) (x - 2) = 0
	 x1 = ; x2 = 2
Vậy PT (3) có 2 nghiệm là x1 = ; x2 = 2.
Phân tích sai lầm: 
* Các em không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức:
Thật vậy: ĐK :	
Do đó x = không phải là nghiệm của phương trình (3)
Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phải thử lại các giá trị tìm được vào phương trình (3)
* Các em không đặt ĐK để biến đổi tương đương:
Thật vậy các phương trình (3’) và (3’’) là không tương đương khi 2 - 7x 0, do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của phương trình (3). Nên phương trình vô nghiệm.
Lời giải đúng:
Cách 1: Sau khi tìm được x1 = ; x2 = 2 thử lại vào (3) không thoả mãn kết luận phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều kiện cho (3’) tương đương với (3’’) là x < các giá trị x1; x2 không thoả mãn các điều kiện đó kết luận phương trình vô nghiệm.
Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1 x <5x
 từ đó kết luận phương trình (3) vô nghiệm
3.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ :
 Hướng dẫn cho các các em một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thường dùng. Mỗi phương pháp giáo viên nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
3.1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa
Với phương pháp này tôi có thể phân dạng để học sinh đặt điều kiện biến đổi tương đương làm mất dấu căn bằng cách nâng lên luỹ thừa cùng bậc.
a) Dạng 1: Û
Ví dụ 1 Giải phương trình: (1) 
Giải: (1) Û 
	Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
Ví dụ 2: Giải phương trình	3 + = x (2)
 Giải : (2) Û = x - 3(2')	
 ( 2') 	 Û Û 
 Û Û x=6
 Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình (2) 
 * Nhận xét Khi giải phương trình dạng trên học sinh thường mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g(x). Chẳng hạn ở ví dụ 1 trên nếu không đặt điều kiện x-1, khi dẫn đến phương trình x2-3x=0 học sinh sẽ trả lời phương trình có hai nghiệm x1=0, x2=3 nhưng khi thay x1 =0 vào phương trình ta thấy VT=-1, VP=1.
Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh chưa nắm chắc tính chất của lũy thừa bậc hai. b) Dạng 2: 
- Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa:
 - Biến đổi 2 vế của phương trình không âm (với phương trình chứa căn bậc hai) ta bình phương hai vế đế được phương trình tương đương. Sau đó đưa phương trình về dạng đã biết cách giải.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
Giải.Ta có:
	(3) Û 
 Û 
	 Û 
	 Û 
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6.
 c) Dạng 3: 
Cách giải tương tự dạng 2
 Điều kiện : (*)
Với điều kiện (*) bình phương hai vế rồi giải tiếp 
Ví dụ 4. Giải phương trình: (4)
 Giải: ĐK Û Û 7 ≤ x £ 12 
 Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
 (4) Û 
 Û 
	Û 
	 Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16
	 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0
	Û 5x2 – 84x + 352 = 0
 Û (5x2- 44x)-(40x -352) =0
 Û x(5x -44) -8(5x-44) = 0
 Û (5x -44)(x-8) = 0
 	 Û x1 = hoặc x2 = 8
 Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8.
Ví dụ 5: Giải phương trình (5) 
Giải : ĐK: x> 0
 (5) 	 x + 
	 - x (*)
Với điều kiện 1 - x > 0 x < 1
Phương trình (*)	 x2 + x = 1 - 2x + x2
	 3 x = 1
	 x = (thoả mãn đk)
Vậy phương trình (12) có nghiệm x = 
 d) Dạng 4: 
Cách giải tương tự dạng 3
Ví dụ 6 Giải phương trình: (6)
 Giải: ĐK Û x³ 4 
 Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:
	 (6) Û 
 Û 
	 Û 
	 Û 
 Û 45 + 14x + 14 = 0
Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm.
 e)Dạng 5: Sử dụng lập phương hai vế
Ví dụ 7: Giải phương trình (7)
Giải: Lập phương hai vế của (7) ta được 
 Û 1= (x +34) - 3 ( - )- (x-3)
 Û = 12
 Û x2 + 31x - 1830 =0
 Û x= 30 hoặc x=-61
 Vậy Pt có hai nghiệm x= 30 và x =61
 Ví dụ 8: Giải phương trình + = (8)
 Giải : Lập phương hai vế của (7) ta được
 (8) Û 2x-3= (x-1) + 3 ( + ) + (x-2)
 Û = 0
 Û x=1 hoặc x = 2 hoặc x=3
 Vậy phương trình có ba nghiệm : x=1; x=2 và x=3
 Nhận xét: 
 *Khi giải phương trình vô tỉ có căn bậc hai ta cần chú ý
- Miền xác đinh
- Sau khi biến đổi 2 vế của phương trình không âm (với phương trình chứa căn bậc hai) ta bình phương 2 vế để được phương trình tương đương.
- Nếu bước khử căn vừa rồi chưa khử hết được các căn thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình phương tiếp.
 * Khi giải phương trình vô tỉ có căn bậc ba thì không cần tìm điều kiện cho biểu thức dưới căn bậc ba 
- Trước khi lập phương nên cô lập căn thức về một vế.
3.2 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
Các em cần nắm vững hằng đẳng thức để làm mất dấu căn. Sau đó để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức.
 xảy ra dấu “=” A.B > 0
 > A	 xảy ra dấu “=” A > 0
 > - A	 xảy ra dấu “=” A < 0
Ví dụ 1: Giải phương trình: 	(9)
Giải: Điều kiện x > 1
(9) 	 
	 = 2
áp dụng BĐT > - A	xảy ra dấu “=” A < 0
Ta có 
	 < 1
	 x < 2
Kết hợp với đk x > 1 PT (15) có nghiệm là 1< x < 2
Ví dụ 2: Giải phương trình (10)
Giải: ĐK : x > 4
(10) 	 
áp dụng BĐT xảy ra dấu “=” A.B > 0
Ta có: 
 = 1 (
 1 < < 2 	 1 < x- 4 < 4
	 5 < x < 8 (thoả mãn đk)
Vậy nghiệm của phương trình (16) là 5 < x < 8
Ví dụ 3: Giải phương trình (11)
Giải: ĐK x > 1
(11) 	 
	 (*)
+ xét 0 < < 1 1 < x < 2
PT (*)	 1 - = 1
	 	 = 0
	x -1 = 0
	 x = 1 KĐX
+ Xét > 1 x > 2
PT (*) -1 - = 1 vô nghiệm
Vậy PT (17) có 1 nghiệm x = 1
Ví dụ 4: Giải phương trình (12)
Giải: ĐK : x > 
(12) 	
	 + = 2
	 = 1 - 
Áp dụng BĐT > - A	xảy ra dấu “=” A < 0
Ta có: > 1 - 
Xảy ra = 1 - 	 - 1 < 0
	 < 1
	 x < 1
Kết hợp với đk x > 
Vậy PT (12) có nghiệm < x < 1
Ví dụ 5: Giải phương trình (13)
Giải:	ĐK:	x > 
(12) 	 	
	 + = 6
	 = 3 - 
áp dụng BĐT > - A	 xảy ra dấu “=” A < 0
Ta có : > 3 - 
Dấu “=” xảy ra 	 - 3 < 0
	 < -3
	 6x - 9 < 9
	 x < 3 
Kết hợp với đk x > 
Vậy phương trình (13) có nghiệm là < x < 3
Ví dụ 6: Giải phương trình (14)
Giải: ĐK: x > 
(14) 	 
	 = 4
	 = 3 - 
áp dụng BĐT > - A	 xảy ra dấu “=” A < 0
Ta có: > 3 - 
Xảy ra = 3 - 	 - 3 < 0
	 < -3
	 x < 7
Kết hợp với đk x > 
Vậy phương trình có nghiệm < x < 7
3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi sao cho trong phương trình có chứa những biểu thức đồng dạng đặt ẩn phụ đưa về phương trình đơn giản hơn hoặc đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình thì bài toán trở nên quen thuộc dễ giải. Lưu ý điều kiện của ẩn phụ (nếu có)
3.3.1. Đặt một ẩn phụ để đưa về phương trình đơn giản hơn
 Ta có các dạng đặt ẩn phụ thường gặp sau
 a, Nếu bài toán có chứa và f(x) , ta đặt t= , Điều kiện tối thiểu
 t³ 0
 Khi đó f(x) = t2
 Ví dụ 1 : Giải phương trình 
 4x + = 5(15)
 Giải : ĐK: 2x-1 ³ 0 Û 2x ³ 1 Û x³ 
 (15) Û 2(2x-1) + -3 = 0
 Đặt t = , t³ 0
 Khi đó ta có phương trình : 2t2 - t -3 = 0
Û 2t2-2+t-1= 0
 Û (t-1) = 0 
Û (t-1) ( 2t+3) = 0
 Û (Loại) 
 Với t = 1Þ =1 Û 2x-1 = 1 Û x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x3 + 21 x + 18 + 2 (16)
Giải: ĐK : x2 + 7 x + 7 > 0
(16) 	 3(x2 + 7 x + 7) + 2 - 5 = 0
Đặt = t (t > 0)
Ta có phương trình: 3 t2 + 2t - 5 = 0
 (t - 1) (3t + 5) = 0
 (loại)
Với t = 1 = 1 x2 + 7 x + 7 = 1 x2 + 7 x + 6 = 1 0
 ( thoả mãn x2 + 7 x + 7 > 0)
Vậy phương trình (16) có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = - 6
Ví dụ 3: Giải phương trình 3x2 + 2 x = 2 (17)
Giải: ĐK : x2 + x > 0 x(x+1) > 0 
(17) 3(x2 + x) - 2 - 1 = 0
Đặt = t (t > 0)
Ta có PT:	3 t2 - 2t - 1 = 0
 (t-1) (3t+1) = 0
(Loại)
Với t = 1 = 1 x2 + x = 1 x2 + x - 1 = 0
 thoả mãn 
Vậy phương trình (17) có 2 nghiệm:	 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 	(18)
Giải:	đk đúng 
(18) 
	Đặt 
Ta có phương trình 
	Vậy phương trình (18) có 2 nghiệm x1= 6 ; x2= - 2
b, Nếu bài toán chứa , và . = k không đổi ta đặt 
 t= , điều kiện tối thiểu t³ 0, khi đó = 
 Ví dụ 1 : Giải phương trình: + = 4 (19)
Giải : ĐK x ³ 0
 Nhận xét rằng . = = = =3
 Do đó đặt t = , t ³ 3 Þ = 
Khi đó phương trinh có dạng :
 t+ =4 Û t2 - 4t +3 = 0 
 Û t = 3 hoặc t =1 ( loại ) 
 Với t =3 Þ = 3 
 Û + = 9 
 Û x+9+x+2+ 2 = 81
 Û 2 = 72-2x
 Û Û Û x=16
 Vậy phương trình(19) có nghiệm x = 16
Ví dụ 2: Giải phương trình: = 2 (20)
Giải: ĐK 
(20) =2
 Nhận xét rằng : . = = 1
Đặt 
Ta có phương trình t + = 2 t2 - 2t +1 = 0 (t-1)2 = 0 t = 1
Với t = 1 = 1 2x = 1 + x x = 1 (thoả mãn điều kiện)
Vậy PT (20) có nghiệm x = 1
 Ví dụ 3: Giải phương trình 	(21)
Giải:
Ta thấy 
nên Đặt 
Khi đó (21) 
Với: 
( do 
Với : 
Vậy phương trình (21) có 2 nghiệm x1 = -2; x2 = 2.
c, Nếu bài toán chứa ± , và f(x) + g(x) = k không đổi
 Ta đặt t = ± Khi đó = 
 Ví dụ 1 : Giải phương trình + + 8 = 2 (22)
 ĐK: Û -3£ x£ 1 (*) 
 Đặt t = + , 0 
 Suy ra t2 = x+3+1-x+2 
 Û = (t2-4)
Khi đó phương trình có dạng:
 t + 8. (t2- 4) =2
Û 4t2 + t - 18 = 0
 Û 4t2 - 16 + t -2 = 0 
Û (t-2)(4t+9) = 0 
 Û ( loại) 
 Với t = 2 Þ = (22 - 4) = 0
 Û ( x+3)(1-x) = 0
Û Û , Thoả mãn điều kiện (*)
 Vậy phương trình(22) có hai nghiệm x = 1, x = 2 
 Ví dụ 2: giải phương trình + + 2 = 61-2x(23)
 Giải: ĐK: Û Û x³ 3 (*)
 (23) Û + + 2 = 61-2x
 Đặt t = + ( t³ 0) Þ 2 = t2 -2x+5
 Phương trình trở thành 
 t2 -2x +5+t = 61-2x
 Û t2 - t + 56 = 0
 Û ( t-7)(t+8) = 0
 Û 
 Với t =7 ta có :
 + = 7
 Û x-2+x-3 + 2 =49
Û 2 = 54-2x
Û = 27 -x
 Điều kiện : x£ 27 (**)
 Với đk (*) và đk (**) ta có pt:
 (x-2)(x-3) = (27-x)2
Û x2- 5x +6 = 729-54x +x2
Û 49x = 723
 Û x = ( T hoả mãn (*) và (**))
 Vậy phương trình(23) có nghiệm x= 
 3.3.2 Đặt 2 ẩn hoặc ba ẩn phụ đưa về phương trình tích 
Ví dụ 1: Giải phương trình: (24)
Giải: ĐK 
Đặt = a > 0
 > 0
Ta có .
(24) 	 a + b = 1 + a.b
a(1- b) - (1- b) = 0 Û (1-b)(1-a) = 0
Với a = 1 = 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk)
Với b = 1 	 x3 + x2 + x + 1 = 1
	 x3 + x2 + x = 0
	 x(x2 + x +1) = 0
	Do x2 + x +1= (x +)2 + > 0 
Vậy phương trình (24) có 1 nghiệm x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 (25)
Giải: ĐK: 
 (25) + = + 
Đặt: 
(25) 	 a.b + c = b + a.c
 a(b - c) - (b - c) = 0
(a - 1)(b - c) = 0	 
Với a = 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk)
Với b = c x - 2 = x + 3 0x = 5 vô nghiệm
Vậy phương trình (25) có nghiệm x = 2
Ví dụ 3: giải phương trình ( - )(1+ = 3 	 (26)
Giải ĐK: 
Đặt: 	 = a
 = b
 = = a.b
(26) (a - b)( 1 + ab) = 3
Mà a2 - b2 = x + 5 - x -2 = 3
(a - b)( 1 + ab) = a2 - b2
 (a - b)( 1 + ab) = (a - b)(a +b)
 (a - b)( 1 + ab - a- b) = 0
 (a + b)(a - 1)(b - 1) = 0
Vậy (26) có một nghiệm là x = -1
3.3.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình 	(27)
Giải: ĐK x³ 1
Đặt và 0. Ta có hệ: 
 Û ` 
 Giải pt(*) Þ 
 Với u =2 Þ =2 Û x = 5
 Vậy phương trình (27)có nghiệm x=5
 Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình (28)
Giải: điều kiện 
Đặt ; 3 - (v )
u + v = 3;	
Ta có hệ phương trình:
	Vậy phương trình (28) có 2 nghiệm x1 = 4 và x2 = 1
Ví dụ 3: Giải phương trình (29)
Đặt = a
	 = b
Ta có hệ phương trình : 
Giải (29) 	 (1- a)(1 + a + a2 ) +2( 1- a)2 = 0
	 (1- a)(1 + a + a2 + 2 - 4a + 2a2) = 0
	 3 (1- a)(a2 - a + 1) = 0
Do a2 - a + 1 = (a - ) + > 0 với a
 1 - a = 0 a = 1 b = 0
 x = 0 là nghiệm của phương trình (29)
Ví dụ 4: Giải phương trình (30)
Giải: điều kiện 
Đặt ; 3 - (v )
u + v = 3;	
Ta có hệ phương trình:
	Vậy phương trình (30) có 2 nghiệm x1 = 4 và x2 = 1
Ví dụ 6: Giải phương trình x2 - = 5	(31)
Giải: ĐK x > -5 
Đặt : = a > 0
 x + 5 = a2 
 x = a2 - 5
Ta có hệ phương trình
 (x - a )(x + a) + (x - a) = 0
 (x – a)( x + a + 1) = 0
Với x = a ta có = x x + 5 = x2 (vì x = a > 0)
 x2 - x - 5 = 0
Với a = - x - 1 ta có = - x - 1 
Vậy (31) có 2 nghiệm x1 = ; x2 = 
* Nhận xét
- Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài tập khó. Tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên hệ giữa các biểu thức trong phương trình
- Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình.
3.4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
* Phương trình f(x)=g(x) 
Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là S1, S2 mà S1 Ç S2 = thì phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình (32)
 Giải : Đk Û Û x ≥ 1 
	Với x ≥ 1 thì: 5x > x
 Û 5x-1 > x-1
 Û > 
 Vế trái = - <0Þ vế trái luôn âm
	 Vế phải: > 0 Þ vế phải luôn dương
	Vậy: phương trình(32) đã cho vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 	(33)
Giải: ĐK: x£ -1 , x ³1.
Ta có: 	VT = 
 	VT = do 2 > 0
VT > VP PT (33) vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
* Phương trình F(x)=G(x) (1)
Nếu F(x) dấu bằng xảy ra khi x=a.
G(x) dấu bằng xảy ra khi x=b.
 (k,a,b là các hằng số)
- Nếu a=b thì (1) có nghiệm x=a.
- Nếu ab thì (1) vô nghiệm
Ví dụ 1 : Giải phương trình 
 + = 6+2x -x2	(34)
 Xét VT= + ³ + = 7 . Dấu "=" xảy ra Û x=1 Xét VP = 6 +2x -x2= 7- (x-1)2 £ 7 . Dấu "=" xảy ra Û x=1 (2)
 Từ (1) và (2) Þ VT= VP Û VT=VP =7Û x=1
 Vậy phương trình (34)có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 2. Giải phương trình: (35)
Giải: Ta có (1) Û 
	Û 
Ta có: Vế trái ≥ . Dấu “=” xảy ra Û x = –1
	 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1
Vậy: phương trình (35) đã cho có một nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)
* Ta chỉ ra một nghiệm cụ thể của phương trình và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn không là nghiệm của PT.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
 + = 3 (36)
Giải : ĐK : x+1³ 0 Û x³ -1
 * Với x=3 ta có + = 3 Þ x =3 là nghiệm của phương trình 
 * Với x>3 Þ >1và >2 Þ VT >3 Þ x > 3 không phải là nghiệm của pt
 * Với -1£ x < 3 Þ <1và < 2 Þ VT < 3Þ x < 3 không phải là nghiệm của pt
 Vậy phương trình (36) có một nghiệm duy nhất là x = 3
Ví dụ 2. Giải phương trình: (37)
Giải: điều kiện x ≥ 
Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
 – Nếu : VT = . Mà: VP > 
– Nếu x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + = . VT < 
Vậy: phương trình (37) đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Giải: Thử với x = 2. Ta có:
(1) Û 	
Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x VP
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 5: Giải phương trình
	(38)
Giải:
Ta có vế trái: 	
	 = 
Vế phải: 
Hai vế đều bằng 5 khi x = -1
Vậy phương trình (38) có 1 nghiệm x = -1
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt
Ví dụ1. Giải phương trình (39)
Giải: điều kiện 
	Áp dụng bất đẳng thức với ab > 0
Với điều kiện . Nên:
	. Dấu “=” xảy ra Û 
	Û 
 đều thoả mãn x>
Vậy phương trình (39) có 2 nghiệm ; 
Ví dụ 2:
Giải phương trình + + = (x+y+z) -3000 (40)
 ĐK: 	(*)
 Do ≥ 0, ≥ 0, ≥0
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :
 = ≤ 
 = ≤ 
 = ≤ 
 Vậy : + + ≤ (x+y+z)-3000
 Dấu "=" xảy ra Û x-2000= y-2001= z-2001=1
 Û ( thoả mãn đk (*) )
 Vậy nghiệm của phương trình (40)là: x=2000, y=2001, z=2003
Ví dụ 3: Giải phương trình : 	(41)
Giải:Đ/k x
Phương trình (41) 
áp dụng bđt Bunhia Côpski ta có:
dấu “=” xảy ra 
Phương trình (43) 
kết hợp với đk và thử lại thấy x =1 là nghiệm của phương trình (41)
Đối với PT này ta thường dùng các hằng đẳng thức như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, BĐT Cosi, Bunhiacopxki, so sánh tập giá trị của hai vế, chứng minh nghiệm duy nhất. Đặc biệt lưu ý các dấu “=” xảy ra để kết luận nghiệm.
 4. MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG
 	Sau khi hướng dẫn các em một số phương pháp để giải phương trình vô tỉ với 41 ví dụ từ dễ đến khó với vốn kiến thức nhất định về phương trình vô tỉ giáo viên nêu ra một hệ thống bài tập để cho học sinh luyện tập nhằm củng cố khắc sâu kiến thức đã học.
Bài 1:Giải các phương trình sau bằng phép nâng lũy thừa
 1. x2-4x=8(x=4+2)
 2. (x=2)
 3. (x=-1)
 4. (x=4;2)
 5. 
 6. (KQ x=0 x= x=)
 Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ
 1. 
 2. (x=)
 3. x+ ( Đặt , x=2-)
 4. =2 (Đặt , x=1, x=)
 5. 3(Đặt )
 6. (Đặt , x=2;10)
 7. (Đặt , x=1;-2)
 8. x2+
 Bài 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp trị tuyệt đối hóa
 1. .
 2. ()
 3. 
 Bài 4: Giải các phương trình vô tỉ sau bằng phương pháp sử dụng Bất đẳng thức
 1. (Kết quả x=5).
 2. (Kết quả Vô nghiệm)
 3. (Kết quả x=3)
 4. (Kết quả Vô nghiệm)
 5. (Kết quả x=19; y=5; z=1980)
 6. (Kết quả x=3)
 7. 
 8. 
 9. (Kết quả x=2)
 10. (Hướng dẫn: Xét các trường hợp x>-2, x<-2, x=-2)
IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN 
 - Sau một thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho đội ngũ học sinh hai lớp 9C,9D tôi thấy được những kết quả tích cực sau:
+ Các em học sịnh học lực trung bình và khá đều đã tự giải quyết được những bài tập về phương trình vô tỉ có trong SGK và SBT Toán 9.
+ Một số em học tốt hơn có thể giải được những phương trình vô tỉ có trong những sách nâng cao, trong các đề thi HSG, trong các đề vào trường Chuyên 
+Khi bồi dưỡng HSG các em học sinh giỏi đã tự tin không sợ sệt khi gặp phương trình vô tỉ. Nhiều em còn mong muốn GV thường xuyên cho nhiều bài tập về phương trình vô tỉ để giải cho thành thạo.
+ Sau khi giảng dạy đề tài này tôi tiên hành khảo sát lại ở hai lớp 9C, 9D mỗi lớp 15 em học sinh kết quả đạt được như sau:
 Lớp
Phương pháp
Giải được
Có đường lối giải
Không giải được
9C
Khi đã áp dụng
9em = 60%
4 em= 27%
2em =13%
9D
Khi đã áp dụng
12em = 80%
3em = 20%
0%
 - Kết quả trong năm học tôi đã có 06 em đỗ học sinh giỏi cấp huyện môn toán và thi giải toán qua mạng , 01 em được tham gia thi giải toán qua mạng cấp thành phố. 
 C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 
 1. Kết luận 
 Trong quá trình giảng dạy học sinh học tập, đọc tài liệu của các đồng nghiệp, đọc sách tham khảo...tôi đã đúc rú