Đề tài Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng máy tính cầm tay

ƯCLN và BCNN của 3995649 và 15859395
Giải: Ta có: 
Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta phải dùng phương pháp 2.
Số dư của phép chia là 3872428. Suy ra: 
ƯCLN(15859395, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428) 
Ta có: = 0,9691612051
Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta tiếp tục tìm số dư của phép chia: . Số dư tìm được là 123221. Suy ra:
ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221)
Ta có: . Suy ra:
ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203, 
BCNN = = 312160078125
Ví dụ 3: Tìm ƯCLN của ba số 51712, 73629 và 134431
Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101
=> ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101
C. Bài tập vận dụng
1. Tìm ƯCLN và BCNN của: a. 43848 và 8879220
b. 1340022 và 622890625 	c. 1527625 và 4860625 	d. 1536885 và 24801105
2. Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150 và 864360.
3. Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438.	ĐS : 678
DẠNG 4: TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ VỚI m N
Phương pháp: Ta thay x lần lượt từ 0 đến 9 sao cho nm
Ví dụ: tìm chữ số x để 
	Giải: Thay x = 0; 1; 2; ..;9.
	Ta được 79506147:23
Ví dụ: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng chia hết cho 7.
Giải: số lớn nhất dạng chia hết cho 7 sẽ phải là 
Lần lượt thử z = 9; 8; 7;1;0
Vậy số lớn nhất có dạng chia hết cho 7 là 1929354
Tương tự số nhỏ nhất có dạng chia hết cho 7 là 1020334
DẠNG 5: TÌM CẶP NGHIỆM (x;y) NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN PHƯƠNG TRÌNH.
Ví dụ: tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 27 y2+1
Ta có x2= 27 y2+1 nên y < x suy ra x = 
Do đó gán: Y = 0, X= 0; nhập Y=Y+1:X = 
ấn phím = liên tục cho tới khi X nguyên
KQ: x =73; y= 12
Bài tập: 
Tìm cặp số (x;y) nguyên dương sao cho x2= 47y2+1	KQ: x= 48; y= 7
Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn phương trình 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312
 Giải : ta có 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312 
Do đó gán: Y = 0; X = 0; nhập X= X+1: Y = 2X -
ấn dấu liên tục cho tới y nguyên 
KQ: x = 30; y = 4
DẠNG 6: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẨN HOÀN
VD : phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau :
a, 0,123123123123............... = 0, (123) đó là số 
b, 4,353535353535............. = 4, (35) đó là 
c, 2,45736736736736........ = 2,45(736)
đó là : 2,45(736) = 2 + 0.45 + 0,00(736) = 2 + + = 
VD : Tính chữ số thập phân thứ 105 của số thập phân 
Ta có : 17 13 = 1,307692308
( thực ra kết quả của nó là 1,307962307962....................)
Ta thấy chu kì của kết quả là 1,(307692)
Mặt khác 105 3 ( mod 6 )
 chữ số thứ 105 trong phần thập phân của kết quả phép chia 17 13 là số 7 
VD : tìm nhỏ nhất sao cho n có ba chữ số biết n121 có 5 chữ số đầu đều là chữ số 3
Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính n121 
Nhưng ta có 123121 , 12 3121 , 1 23121 có các chữ số giống nhau ta tính :
1 00121 =1
1 01121 = 3,333390164..................
 n = 101 
DẠNG 7: LÀM TRÒN SỐ
Máy có hai cách làm tròn số:
Làm tròn số để đọc ( máy vẫn lưu trong bộ nhớ đến 12 chữ số để tính toán cho các bài toán sau ) ở NORM hay FIXn
Làm tròn và giữ luôn kết quả số đã làm tròn cho các bài toán tính sau ở FIX và RnD
VD : 17 13 = 1,307692308 ( trên màn hình )
trong bộ nhớ máy vẫn lưu kết quả 1,30769230769
( máy vẫn giữ đủ 12 chữ số và chỉ 12 chữ số )
Nếu muốn làm tròn số thì bấm MODE MODE MODE MODE 1 và chọn làm tròn từ 0 đến 9
Nếu chọn FIX 4 và ấn tiếp SHIFT RnD máy sẽ hiện kết quả 1,3077 và giữ kết quả này trong bộ nhớ ( chỉ có 4 chữ số ở phần lẻ đã làm tròn )
 Ans 13 = 17,0001
II/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở THCS:
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC:
1.1.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:
VD : Tính :
a, A = 
Đối với bài tập dạng này thì trước khi tính chúng ta phải rút gọn biểu thức rồi mới tính biểu thức như bình thường 
b, 
Đối với những bài như thế này chúng ta cần phải ghi các phép tính trong biểu thức vào số nhớ của máy tính :
- SHIFT STO A
 SHIFT STO B
 : SHIFT STO C
 SHIFT STO D
Sau khi đã ghi các phần trên vào máy như các phần hướng dẫn trước chúng ta bấm vào máy tính như sau:
 A ab/c B + C ab/c D = 
 ( cách gọi số nhớ ra bằng cách ALPHA A )
1.2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA BIẾN.
Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans
VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại 
	a) x = 1; 	b) x = -2; 	c) x = ; 	d) x = ;
Cách làm: 	Gán 1 vào ô nhớ X:	 
 	Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997)
 	Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: 
Rồi dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904)
 	Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) ; d) -2006,899966).
Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 	20Ans2 – 11Ans – 2006 =
VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - y3 tại:
a/ x = 2; 	y = -3.	b/ x = ; 	y = -2	c/ x = 	y = 
Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X:	Gán -3 vào ô nhớ Y:	 Nhập biểu thức đã cho vào máy 
 (Ghi kết quả là - 4 )
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: 
Dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết quả. (Ghi kết quả là 25,12975279)
Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521)
Bài tập: 1/ Tính khi x = 1,8165	(Kq: 1.498465582)
2/ Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
3/ a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
4/ . Tính ; .
	Kq: 	
1.3. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ
Phương pháp: Tính từ dưới lên hoặc tính từ trên xuống.
Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số về dạng . Dạng toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn lần lượt 
Ví dụ: Viết A ra phân số thường và số thập phân.
Giải: 
Cách 1: tính từ dưới lên
Ấn: 3 
Ấn tiếp: KQ: A= 4,6099644=
Cách 2: Tính từ trên xuống 
Nhập: 3 ( 5 (2(4 (2 (5 (2 (4 (253)))))))) 
BIỂU DIỄN PHÂN SỐ RA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ.
Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó.
	Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số có thể viết dưới dạng: 
Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số 
Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được: . Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.
Ví dụ : Tính a) b) 
Giải: 
Vậy a= 7; b= 9
Cách ấn máy :
Ghi vào màn hình: 329 1051 và ấn 
ấn tiếp (máy hiện 3 64 329)
ấn tiếp (máy hiện 64 329)
ấn tiếp (máy hiện 5964)
ấn tiếp (máy hiện 9 64)
ấn tiếp (máy hiện 7 1 9) KQ: a=7; b=9
b) KQ: a= 7; b=2
Bài tập:
1/ Biểu diễn B ra phân số 	 
2/ Tính a, b biết (a, b nguyên dương) 	(a = 7; b = 2)
3/ Biểu diễn M ra phân số: 	
4/ Tính C = 	 	Kq: 
5/ Tìm các số tự nhiên a, b sao cho 	(a = 2 ; b = 7)
6/Giải phương trình 	()
7/ Tìm a, b,c,d biết : 
Kq: a) a = 11 ;b = 12; 	b) a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2
8/ Tìm x biết : 
(x = )
DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chính tắc để khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn.
Ví dụ 	Dạng chính tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx + c = 0
	Dạng chính tắc phương trình bậc 3 có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
	Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng: 
	Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 3 có dạng: 
Dạng 3.1. Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
	3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0
-- Giải --	
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình đó là vô nghiệm.
	3.1.2: Giải theo công thức nghiệm
	Tính 
	+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm: 
	+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 
	+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0
-- Giải --
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(27,197892)
 (x1 = 1,528193632)
 (x2 = - 0,873138407)
Chú ý: @ Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.
	@ Hạn chế không nên tính trước khi tính các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn đến sai số xuất hiện trong biến nhớ sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn hơn.
	@ Dạng toán này thường rất ít xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dưới dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, . Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này.
Dạng 3.2. Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a≠0)
	3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương trình x3 – 5x + 1 = 0.
-- Giải --
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím 
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. 
	3.2.2: Giải theo công thức nghiệm
Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết.
Chú ý: @ Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.
Dạng 3.3. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
	Ấn nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998) 
Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình thì bằng (chọn một trong 5 đáp số)
	A.1	B.2	C.3	D.4	E.5
-- Giải – 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím 
Ấn tiếp: (5)
Vậy đáp số E là đúng.
Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR. 
Dạng 3.4. Giải hệ phương trình nhất ba ẩn
	Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
Ấn nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5.
Nhận xét: 	@ Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và các chương trình cài sẵn trên máy tính. Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ít chúng thường xuất hiện dưới dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, ) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là những số lẻ.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải các phương trình:
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0
1.2. (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0
1.3. x3 + x2 – 2x – 1 =0
1.4. 4x3 – 3x + 6 = 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
2.1. (Sở GD Đồng Nai, 1998) 
2.2. (Sở GD Hà Nội, 1996) 
2.3. (Sở GD Cần Thơ, 2002) 
2.4. 
DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức 
	Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,) khi x = x0, y = y0; 
	Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
	Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng 
Vậy . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. 
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
	Giải trên máy: 	- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
	- Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak
Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
An phím: 1 8165
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
An phím: 18165
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: 	@ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
	Ví dụ: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
	@ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 
a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P= 
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia 
Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để chia hết cho x+6.
- Giải - Số dư 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 6
47213
	Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dư a2 = - => a =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải --
Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n.
Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải --
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3
1
9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
	Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n ta có ri 0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. 
Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét: 	@ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, .
	@ Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm. 
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Sở GD Lâm Đồng, 2005)
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7
b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107. 
Tính P(12)?
Bài 2: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33. Biết P(N) = N + 51. Tính N?
Bài 3: (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài 4: (Sở GD Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 5: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)?
b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
Dạng 2.7.Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)”.
“Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ thì p là ước của a0, q là ước của a0”.
Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1 = 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”.
Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử?
	Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3.
	Khi đó ta viết được: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử?
	Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1.
	Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử?
	Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài s