Đề giao lưu Olympic cấp huyện môn Toán lớp 7 - Năm học 2018-2019 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 - 2019
 MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)
Câu 1: ( 2,0 điểm) 
1) Tính M = 
2) Tính A= ; B =. Tính 
Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )
1) Cho các số dương a,b,c,d; cd và . CMR 
2) Cho biết . 
Tính giá trị biểu thức A = (3x - y - z)2019
Câu 4: (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. 
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 ab+bc+ca < 2(ab+bc+ca)
---------------------------Hết---------------------
Họ và tên thí sinh::........................................... SBD...................................
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
A = = 
A = = . Vậy A = 1
0,5
0,5
b
B = B=1
B = 
B = 2019. 
Do đó = . Vậy = 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a
Ta có x + 2y = 3xy + 3 3x + 6y = 9xy + 9 
( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7 3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) =7
 ( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 7 
Vì x, y Z nên 3x – 2 ; 1-3y là các số nguyên. 
Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7 3x – 2 ; 1-3y là ước của 7. 
Ta lại có Ư(7) = 3x – 2 ; 1-3y 
Bảng giá trị 
3x-2
-7
-1
1
7
1-3y
-1
-7
7
1
x
-5/3
1/3
1
3
y
2/3
8/3
-2
0
KTM
KTM
TM
TM
Vậy (x,y) 
0,25
0,25
0,5
b
Ta có 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n 
= ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 ) 
= 3n .10 - 2n-1.10 = ( 3n - 2n-1 ).10 10 
0,5
0,5
3
a
Vì a,b,c,d là các số dương và cd, mà nên 
hay (1)
hay (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy 
0,25
 0,25
0,25
0,25
b
Vìvớix,y; 0 vớiy,z  ;
( xy + yz + xz - 500)20180 vớix,y,z
Do đó khi 
Đặt = k ( kZ ) x= 10 k; y =15 k; z = 14 k
Ta có xy + yz + xz - 500 = 0 150k2 + 210 k2 +140k2 = 500
k= 1
 hoặc 
+ Với thì A= 1
+ với thì A= -1
Vậy A = 1 hoặc A= -1
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a
Ta có: AD = AB; DAC=BAE và AC = AE
Suy ra DADC = DABE (c.g.c)DC=BE ( hai cạnh tương ứng)
0,25
0,5
0,25
b
Từ DADC = DABE (câu a) => ABE=ADC
mà BKC= AKD (đối đỉnh). 
Khi đó xét DBIK và DDKA CóBKC= AKD( CMT)
KDA= KBI suy ra BIK =DAK=600 (đpcm)
Từ DADC = DABE (câu a) Þ CM = EN vàACM =AEN 
ÞDACM = DAEN (c.g.c) Þ AM = AN vàCAM =EAN 
 MAN =CAE = 600 Do đó DAMN đều.ÞAMN= 600
0,25
0,25
 0,25
0,25
c
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB Þ DBIJ đều Þ BJ = BI và 
JBI =DBA = 60 suy ra IBA =JBD , kết hợp BA = BD 
ÞDIBA= DJBD (c.g.c)=>AIB =DJB= 1200mà BID =600
=>DIA = 600. Mà góc DIE = 1200 
Suy ra IA là phân giác của góc DIE 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có:
a <b+c (1)
b <c+a(2)
c<a+b(3)
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta có:
Chứng minh tương tự có 
Cộng từng vế của (4), (5),(6) ta có: 
Vậy ab+bc+ca < 2(ab+bc+ca)
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.