Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm 2015-2016 - Chuyên đề 9: Phương trình, bất phương trình

 1a x a   , ta có phương trình 2 23 3x a x a   2 2 2 23 9 6x a x ax a     
2 2 2 23 9 6x a x ax a      
2 28 6 2 0
4
a x
x ax a
a x L

       
Khi a x , ta có 
 
1 2
2 1 2 1 0 3 2 2
1 2
x
x x x x x
x L
  
         
 
3 2 2y   . Thử lại thấy thỏa mãn. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm    ; 3 2 2;3 2 2 .x y    
Bài tập luyện tập: 
Bài 1. Giải phương trình:  2 210 3 1 1 6 1x x x x     ( Đề thi HSG Lạng Sơn 2012) 
Bài 2. Giải bất phương trình:  33 23 2 2 6 0x x x x     ( Đề thi HSG Nghệ An 2012) 
Bài 3. Giải bất phương trình 2 4 26( 3 1) 1 0x x x x      
Bài 4. Giải phương trình:      2 2 34 2 1 3 2 2 1 2 5 .x x x x x x      
Bài 5. Giải phương trình:  2 32 6 5 8x x x    
Bài 6. Giải phương trình 2 22 5 2 1x x x    . 
Bài 7. Giải hệ phương trình: 
 
 
3 2 2
2 33
2 2 1
2 2 1 14 2 2
x y x y xy
x y y x
   

     
Bài 8. Giải hệ phương trình: 
 
 
2
3
2 22 3 2 1 11
yx x y
x y
x y x
    
    
Bài 9. Giải phương trình: 27 10 2 66 0x x x x      
Bài 10. Giải phương trình: 23 1 5 4 3 3x x x x     
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
Bài 11. Giải phương trình: 3 2 3311 8 2 20
2
x x x x x      
Bài 12. Giải hệ phương trình: 
 21 1 4 3
32
2
x y x y x y
x y
       

 
Hướng dẫn giải 
Bài 6. 
Phương trình đã cho 2 22 5 6 2 1 2 4x x x        
2
2
4 22 2 ( 2)( 2)
1 15 3
x x x x
xx
     
  
2
2
2( 2) 2 2 (1)
1 15 3
x
x x
xx

    
   
Ta có phương trình (1)  
2
2 22 1 0
1 1 5 3
x
x x
          
 nên (1) vô nghiệm. 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm    ; 2;2 .x y  
Bài 7. ĐK 2 2 1 0x y   
Từ (1) ta có x=y hoặc x2 = 2y (Loại) 
x = y, thay vào phương trình ta có: 2 332 2 1 14 2x x x x      
 
     
2 33
2
2
2 23 333
2 2 1 14 2 0
3 2 12 2 1 1 0
14 14 2 2
x x x x
x xx x
x x x x
       
 
              
2 1 22 1 0
1 2
x
x x
x
  
     
 
. 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm      ; 1 2;1 2 ; 1 2;1 2 .x y      
Bài 8. Hệ đã cho tương đương với 
   
   
2 3
2 2
1
2 3 2 1 11 2
x x y x y y
x y x
    

   
Từ (1) suy ra 0y  , vì nếu y0, do đó VT(1) > VP( 1) 
        2 231 1 0x x y x y x x y y          
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
  
 
2 2
2
2 23 3
1 0
1
x y x x y yx x y
x x y yx y x y
        
     
    
 
2
2 23 3
1 0 1 0
1
x x y x yx y x y
x x y yx y x y
            
       
Thế 1y x  vào phương trình (2) ta được: 
  234 4 2 3 2 1 11 2 1 3 2 1 10 0x x x x x           
Đặt 2 1, 0t x t   , ta có 4 3 10 0t t     3 22 2 4 5 0t t t t      2t  
Khi đó 5 32 1 2
2 2
x x y      . Vậy hệ phương trình có nghiệm   5 3; ; .
2 2
x y     
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1 4 (1)
( ) 2 7 2 (2)
x y xy y
y x y x y
    
    
Lời giải: 
Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ. 
Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được:
2
2
2
1 4
1( ) 2 7
x x y
y
xx y
y
    
    
Đặt 2 1
a x y
xb
y
 
  
 ta có 
2 2 2
4 4 4 5, 9
3, 12 7 2(4 ) 7 2 -15 0
a b b a b a a b
a ba b a a a a
                           
. 
Từ đây ta tìm được x và y. 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
2 3 2
4 2
5
4
5(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
      

     
Lời giải: 
Hệ đã cho tương đương với 
2 2
2 2
5( )
4
5( )
4
x y xy x y xy
x y xy
      

    
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
 Đặt 
2x y a
xy b
  
 
 , ta được hệ mới 
2
2 3 2
5 5
4 4
5 5 5 5
4 4 4 4
a ab b b a
a b a a a a
          
           
3 2
2
50 0;
4 4
5 1 3;
4 2 2
aa a a b
b a a b
         
        
Từ đó ta tìm được x, y. 
Ví dụ 3. (Đề thi HSG Vĩnh Long 2012) Giải phương trình: 2 2 3 44 1 1 5 4 2x x x x x x       
Lời giải: 
Đặt 2 31,
2
t x x t    . Khi đó phương trình trở thành: 
  4 2 4 2 24 7 5 6 9 4 4 0t t t t t t t           
      2 22 2 23 2 0 1 5 0t t t t t t           (*) 
(*) 
2
2
1 0
5 0
t t
t t
   
    
 Với 3
2
t  thì 2 1 0t t   có một nghiệm là 1 5
2
t  
 Với 3
2
t  thì 2 5 0t t   có một nghiệm là 1 21
2
t   
 Khi 1 5
2
t  thì 
2
2 21 51 2 2 1 5 0
2
x x x x
         
 
1 3 2 5
2
x     hoặc 1 3 2 5
2
x    . 
Khi 1 21
2
t   thì
2
2 21 211 2 2 9 21 0
2
x x x x
          
 
1 19 2 21
2
x     hoặc 1 19 2 21
2
x    . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 19 2 21
2
x     ; 1 19 2 21
2
x    . 
Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
 
2 2
2 2
2 2 2
1 1 5
1)
1 2
x y
x y
xy x y
    

     
2
2
( 4) 0
2) .
( )( ) 4
x y xy x y
x y x y xy
     
   
 
 
2
2
1 4 0
3)
2 2 0
x y x y y
x x y x
     
     
  
  
22 24 4 4 51 3 0
4)
2 7 1 0
x xy y x y
x x y
      

    
2 2 2
2 2 2
2 16 11
5)
2 12 3
x y y xy
x y y xy
   
   
3.Phương pháp hàm số. 
 Phương pháp hàm số là một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình, 
bất phương trình, hệ phương trình. Muốn làm tốt phương pháp này ngoài việc nắm chắc các kĩ 
thuật sử dụng hàm số còn cần phải chú ý những sai lầm thường gặp trong phương pháp này. Khi 
giải các bài toán này thường sử dụng một trong các tính chất sau: 
Cho K là một khoảng ( hoặc là nửa khoảng, hoặc là đoạn) 
Tính chất 1: Cho hàm số  y f x liên tục trên K, nếu hàm số  y f x luôn đồng biến hoặc 
luôn nghịch biến trên K thì phương trình  f x c (c là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên 
K. 
Tính chất 2: Cho hàm số    ;y f x y g x  liên tục trên K, nếu hàm số  y f x luôn đồng 
biến trên K,  y g x luôn nghịch biến trên K thì phương trình    f x g x có nhiều nhất một 
nghiệm trên K. 
Tính chất 3: Cho hàm số  y f x liên tục trên K, nếu hàm số  y f x luôn đồng biến hoặc 
luôn nghịch biến trên K thì với ,u v K ta có    f u f v u v   . 
Tính chất 4: Cho hàm số  y f x liên tục và có đạo hàm trên K, nếu phương trình  ' 0f x  
có nhiều nhất n nghiệm trên K thì phương trình   0f x  có nhiều nhất n+1 nghiệm trên K. 
Tính chất 5: Cho hàm số  y f x liên tục trên K, nếu hàm số  y f x luôn đồng biến trên K 
thì với ,u v K ta có    f u f v u v   . 
Ví dụ 1. (Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) Giải phương trình: 
  32 2 5 2 2 5 3 1 ( )x x x x x       . 
Lời giải 
 Điều kiện xác định: 5
2
x  . 
Phương trình đã cho tương đương: 
3 3 15 2 2 5
2 4
xx x
x
   

  3 3 15 2 2 5 0
2 4
xx x
x
    

Đặt 3 3 1( ) 5 2 2 5
2 4
xf x x x
x
    

 với x thuộc 5 ;
2
  
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
   223
1 2 10'( ) 0
2 5 2 43 5
f x
x xx
    
 
 với 5
2
x  
hàm số ( )f x đồng biến trên 5 ;
2
  
. 
phương trình ( ) 0f x  có tối đa một nghiệm (1) 
Ta có (3) 0f  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3x  
Nhận xét: Ngoài việc nắm rõ tính chất 1, để giải được bài tập trên cần phải lựu chọn đúng hàm 
số cần khảo sát. Ta xét tiếp bài tập sau: 
Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) Giải phương trình: 
 3 2 2 .3 1 .x xx x x    
Lời giải 
TH1: 3 2 2 .3 1 (3 1)(1 2 ) 0x x xx x x      
03 1
12 1
2
x x
xx
      
TH2: 2 1 13 2 2 .3 1 3 0( )
2 1 2
x x x xx x x
x
       

(1) 
Xét hàm số   2 1 1 13 , ; ;
2 1 2 2
x xf x x
x
                
   2
4 1' 3 ln 3 0,
22 1
xf x x
x
    

. 
Suy ra,  f x đồng biến trên từng khoảng 1 1; ; ;
2 2
          
Nên trên mỗi khoảng 1 1; ; ;
2 2
          
 PT (1) có nhiều nhất một nghiệm 
Mà    1 1 0f f   . Suy ra, (1) có 2 nghiệm 1x   . 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 11;0; ;1
2
  
 
Nhận xét: Nếu không nắm chắc các tính chất cơ bản học sinh rất hay mắc sai lầm là: 
khi khẳng định được  f x đồng biến trên từng khoảng 1 1; ; ;
2 2
          
 vội vàng kết luận 
phương trình có nhiều nhất một nghiêm trên 1 1; ;
2 2
           
. 
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử Đại học tỉnh Bắc Ninh 2013- 2014) Giải hệ phương trình: 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
 
 
 
2 2 2
2 3 3
1 1 3 9 3
, .
3 1 5 4 3 7 0
xy x y y
x y
x x y xy x x y x
      
       
 
Lời giải: 
ĐK: 2 5x y xy  
Xét phương trình (1) 23 9 3 3 3 0,y y y y y      ;  2 2 1 0, ; 0y x x x y x      
Mà  2 25 5 0x y xy y x x y       . 
Khi đó ta có:  
2
2 3 3 31 1 1x x x a
y y y
      
 
Xét hàm số    2 1 , 0;f t t t t t        
2
2
2
' 1 1 0, 0;
1
tf t t t
t
        

 Hàm số  f t đồng biến trên  0; . 
Do đó phương trình     3 3 31 .a f x f x y
y y x
       
 
Thay 3y
x
 vào phương trình (2) ta có 
    3 2 3 23 1 3 2 4 9 7 0 3 1 3 2 4 12 8x x x x x x x x x x x             
   
2
3 2 23 2 3 13 1 4 12 8 3 2 0
3 2 3 2
x x xx x x x x x x
x x x x
                  
2 13 2 0
2
x
x x
x
      
( Vì 3 1 20,
33 2
xx x
x x
   
 
) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm   31;3 ; 2;
2
 
  
. 
Ví dụ 4. Giải bất phương trình:  2 23 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0 1x x x x x        
Lời giải: 
Viết lại phương trình dưới dạng: 
 2 23 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x         
Xét hàm số    
2
2 ' 2
2
(2 3), ; ( ) 2 3 0
3
tf t t t t f t t
t
        

 
hàm số  f t luôn đồng biến  
Do đó (1)     13 2 1 3 2 1 .
5
f x f x x x x          
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 ; .
5
T     
Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải hệ phương trình: 
 
 
2 2
2
2 2 2
log log 2 .2
.
2log 6log 1 log 3 3 0
x xx x y
x y x x y
   

     
Lời giải: 
ĐK: 0; 1x y   
Phương trình      2 2 2 21 log log 2 1 log log 1 1xx x y x x x y x y              
Thế vào (2) ta có 22 2 22log 6log log 3 0x x x x x    
     
2
2 2
2
log 3 0 3
log 3 2log 0
2log 0 4
x
x x x
x x
 
    
 
Giải (4), xét      2 22log 0 ' 1ln 2f x x x x f x x      
  2' 0
ln 2
f x x   . 
Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm. 
Mà      2 4 0 4f f   có hai nghiệm 2; 4x x  
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm        ; : 8;7 ; 2;1 ; 4;3x y 
Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 
 3 21) 3 4 2 3 2 3 1x x x x x      
52)3 3 2 2 6
2 1
x x
x
   
 
3 2 2 333) 2 10 17 8 2 5x x x x x x      
2 24) 15 3 2 8x x x     
    
 
2
2
2 1 1
15)
4 1 8 4 4 3 1
xx y x y
x
x y x x x x
      
       
   3 3 2 2
3
3 2 3 5 2 6 0
6)
3 2 2 4 3
x y x y x y
x y
       

    
3
1 2 17)
22 1 3
x
xx
  
 
2 3
2
1 9 18)2 1
8 8
x x
x x
    
6 3 2 22 9 33 29
9)
2 3
x y x y y
x x y
     

   
   
 
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
10)
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x
    

    
4. Phương pháp đánh giá. 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 
    2 2
24
3 5 1 3 6
, , .
2 1 3 4
x x y x x y
x y
y y y x
       
     
 (x; y  R). 
Lời giải 
■ Điều kiện : 2 2 1 0 y y    
   2 2( )3 5 (1 1 3 5)x x y x x y        
  2 2
3 5
3 5 1 0( )
1
y x
x y x y
y x
 
        
 
Với y = 3x - 5 thay vào (2) ta được 24 2 1 1 0y y      vô nghiệm 
Với 2 1y x  thay vào (2) ta được 4 24 2 3 3x x x    (*) 
Điệu kiện 4 42 2x   . 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
4
44 51.1.1. 2
4
xx   
Từ (3) ta có: 
4
2 4 253 3 4 12 7 0
4
xx x x x x        
    2 21 2 7 0 1x x x x       
 Thử lại x = 1 thỏa mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm là (1; 0) 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
   
 
32 2 2 2
2 2 3
2
76 20 2 4 8 1
x x y x x y
x y x x
    

    
. 
Lời giải: 
Điều kiện: 2x y 
Pt     32 3 22 0x x y x x y     
     2 2 2 22 0x x x y x y x x y          
     2 2 2
2 2 2
2 0x x y x x x y x y
x x y y x x
          
     
Khi đó pt (2) trở thành:  2 396 20 2 4 8 1x x x x    
    2 3
8 18 13 28 1 4 8 1
2 3
xx
x x x
 
     
Sử dụng BĐT Cô si cho 3 số ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình 1
8
x  
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
Vậy hệ phương trình có nghiệm   1 7 1 7; ; ; ; .
8 8 8 8
x y
          
     
Ví dụ 3. (Đề thi Đại học khối A – năm 2014) Giải hệ phương trình
2
3
12 (12 ) 12
8 1 2 2
x y y x
x x y
    

   
Lời giải: 
Ta có   2 2 212 (12 ) 12 12 12x y x y x x y y         
Dấu “=” xảy ra 
2
12
12
yx
yy
 

 2(12 )(12 )x y y x    (3) 
Khi đó (1) tương đương với (3) 
(3) 
2 2 2 2 2
0 0 0
144 12 12 12 144 12 12 (4)
x x x
x y x y x y y x y x
    
             
Thế (4) vào (2) ta có 
3 2 3 2(2) 8 1 2 10 8 1 2 10 0x x x x x x           
 3 28 3 2 1 10 0x x x          22 21 (10 )3 3 1 2. 01 10
xx x x
x
      
 
  
2
2
2
93 3 1 2. 0
1 10
xx x x
x
     
 
   2
2
2( 3)3 3 1 0
1 10
xx x x
x
         
2
2
3
2( 3)3 1 0
1 10
x
xx x
x

     
  
 3 3x y    
Vậy 
3
3
x
y

 
5. Một số bài tập khác. 
Bài 1. Giải phương trình  2 32 15 34 3 4 8 1 .x x x    
Lời giải: 
Ta có 2 32 15 34 0 3 4 8 0 2x x x x        
Cách 1:(Liên hợp thành phần) 
        
 
2 3
2 33
12 4
1 2 15 28 3 4 8 2 4 2 7
4 8 2 4 8 4
x
x x x x x
x x

         
   
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
 
 
 
2 33
4
12 *2 7 0
4 8 2 4 8 4
x
x
x x

    
    
+ Nếu  4 * 0x VT    phương trình (*) vô nghiệm 
+ Nếu  4 * 0x VT    phương trình (*) vô nghiệm 
+ Nếu 4x  . Thỏa mãn phương trình (*) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 4x  . 
Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn) 
   2 31 2 16 32 3 4 8 2x x x x       
     
     
2
2
2 233
4 14
2 4 0
9 4 8 3 4 8 2 2
x x
x
x x x x
 
   
     
 
     
 
2 233
4
14 *2 0
9 4 8 3 4 8 2 2
x
x
x x x x

          
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 4x  . 
Cách 3:(Phương pháp đánh giá) 
Ta có:    3 33 4 8 .8.8 4 8 4 8 2x x x x       ( Theo bất đẳng thức Cô si) 
Do đó  222 15 34 2 2 4 0 4x x x x x         . Thử lại thấy thỏa mãn. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 4x  . 
Bài 2. (Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013) 
Giải hệ phương trình 
 
3 2 2
3 2 23
1
.
9 6 3 15 3 6 2
x x y x x y
x y x y x
     

     
Lời giải: 
        3 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1x x y x x y x x y x y x x y x x                
1 0x y    (vì 2 1 0,x x   ) 
Thế vào phương trình (2) ta có 3 2 239 6 6 3 6 2x x x x     
       3 2 231 3 1 6 2 3 6 2 3x x x x       
Xét hàm số        3 23 ' 3 3 0f t t t f t t t f t         đồng biến trên  . 
Phương trình (3)    2 23 31 6 2 1 6 2f x f x x x        . 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
3 29 3 3 0x x x        3 31 2 1x x    .  
3
3
3
2 11 2 1
2 1
x x x      


3
2
2 1
y 

. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm  
3
3 3
2 1 2; ;
2 1 2 1
x y
     
. 
Bài 3. Giải hệ phương trình:    
2 2 2
3 4 2
5
 .
9 6 1 0
x x y x y x y
y x x
    

   
Lời giải: 
       33 2 2 3 2 21 5 0 4 2 0x xy x y x y x x x y x y            
2
2
0
2
3
x
x x y
y x

     
 ( Vì x =y =0 không là nghiệm của hệ ) 
Thế vào pt (2) ta có 3 2 2 1 0y y y    (*) 
Ta giải phương trình (*) trên tập  . 
Thật vậy: xét  2;2y  , Đặt 2sin , ;
2 2
y t t       
, 
Pt(*) trở thành: 3 28sin 4sin 2sin 1 0t t t    
 2 2 24sin 1 2sin 1 4sin 4sin .cos 2 4cos 3t t t t t t       
sin 4 os3t c t  ( Do cos 0t  không là nghiệm của pt) 
 
2
14 7sin 4 sin 3
2 2
2
kt
t t k
t k
 

 
             
 
Vì 5 3 5 3; ; ; 2sin ;2sin ; 2sin
2 2 14 14 14 14 14 14
t t y                            
Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt(*) có 3 nghiệm như trên 
Kết hợp với điều kiện 0y  ta có 
2sin
142sin
14 3
32sin5 142sin
14 3
y x
y x






  



   

Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình. 
Bài 4. (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013) 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
Giải hệ phương trình: 
 
 
2
2
2
1 11 
3 12 13 174 26 42
.2 13 1
9 6
( 1)y x
y yx xx x
x
yx
x
 
         
  
Lời giải: 
ĐK: 
24 26 42 0 73
1 0 2
11 0
x x
x
y
yx
          
     
Ta có 2 217 74 26 42 0, 2 13 19 2, 3;
8 2
x x x x x               
2
2 2
2 2
2 13 17 24 26 42 4 26 42 1 2
2 13 19 2 13 19
x xx x x x
x x x x
           
   
Do đó,    33 1 12 1 2 1 12 0 1 2 3y y y y y y              
Với 3y  ta có      ln 1 ln 12
1 1
x y
x y
 
 
 
Xét hàm số    ln , 0;ag a a
a
   
   2
1 ln' , ' 0ag a g a a e
a
    
Do        5 ln 2 ln 21 2; 1 2 ; 1 4 1 4
2 2 2
x g x g y g y g              
Từ đó suy ra 3, 3x y  
Thử lại 3, 3x y  thỏa mãn hệ phương trình. 
Bài 5: Giải hệ phương trình  
3 2
3 2
3 4 3 4 0
,
3 1 8 3
x y x x y
x y
x y x
   