Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Trường THPT Đại Từ

 tham số. Xác định các giá trị 
của m để hàm số ( )y f x không có cực trị. 
Giải 
+ Khi m = 0 1y x   , nên hàm số không có cực trị. 
+ Khi 0m   2' 3 6 1y mx mx m     
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0y  không có nghiệm hoặc có nghiệm kép 
 2 2' 9 3 1 12 3 0m m m m m      
1
0
4
m   
Vậy 0 4m  là gtct 
Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x        (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 
Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. 
Giải 
2 23 2(2 1) ( 3 2)y x m x m m       . 
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT 0y  có 2 nghiệm trái dấu 
 23( 3 2) 0m m    1 2m  . 
Ví dụ 7: Tìm m để hàm số      3 21 11 3 2
3 3
f x mx m x m x      đạt cực trị tại x1, x2 thỏa 
mãn 1 22 1x x  . 
Giải: 
Hàm số có CĐ, CT       2 2 1 3 2 0f x mx m x m       có 2 nghiệm phân biệt 
     20 1 3 2 0m m m m       6 61 0 12 2m     (*) 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 19 Trường THPT Đại Từ 
Với điều kiện (*) thì   0f x  có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, 
x2. Theo định lý Viet ta có: 
   
1 2 1 2
2 1 3 2
;
m m
x x x x
m m
    
Ta có: 
   
1 2 2 1
2 1 2 12 2 3 42 1 1 ;
m mm m mx x x x
m m m m m
            
      3 22 3 4 2 3 4 3 2mm m m m m m
m m m
        
2
2
3
m
m

  

Cả 2 giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*). Vậy 
1 22 1x x 
22
3
m m    
Ví dụ 8. Cho hàm số 3 2 33 4y x mx m   (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) 
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 
Giải 
Ta có: y’ = 3x2  6mx = 0  
0
2
x
x m

 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0. 
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  3(2 ; 4 )AB m m  
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x 
và I thuộc đường thẳng y = x 
3
3
2 4 0
2
m m
m m
  
 

Giải hệ phương trình ta được 
2
2
m   ; m = 0 
Kết hợp với điều kiện ta có: 
2
2
m   
Ví dụ 9. Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m      (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị 
đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng 
cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. 
Giải 
 Ta có 2 23 6 3( 1)y x mx m    
Hàm số (1) có cực trị thì PT 0y  có 2 nghiệm phân biệt 
2 22 1 0x mx m     có 2 nhiệm phân biệt 1 0, m    
Khi đó, điểm cực đại ( 1;2 2 )A m m  và điểm cực tiểu ( 1; 2 2 )B m m   
Ta có 
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
m
OA OB m m
m
   
      
  
. 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 20 Trường THPT Đại Từ 
Ví dụ 10. Cho hàm số  4 2 22 1 my x m x C   (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị 
là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. 
Giải 
Ta có:  3 2 2 2 2 2
0
' 4 4 4 0 0 (*)
x
y x m x x x m m
x m

       

Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị. Gọi ba điểm cực trị là: 
     4 40;1 ; ;1 ; ;1A B m m C m m   . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông 
cân, thì đỉnh sẽ là A. 
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa 
mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC. 
     4 4; ; ; ; 2 ;0AB m m AC m m BC m       
Tam giác ABC vuông khi:  2 2 2 2 2 8 2 84BC AB AC m m m m m       
 2 4 42 1 0; 1 1m m m m        
Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 11. Cho hàm số 4 2 22 1y x m x   (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có 
ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích). 
Giải 
+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0 
2 2
0x
x m



 ; ĐK có 3 điểm cực trị: m  0 
+) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ; 
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4). 
+) 
541 . 32 2
2
ABCS AI BC m m m m       (tm) 
Ví dụ 12. Cho hàm số 4 22 1y x mx   (1). Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số 
(1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. 
Giải 
Ta có 3' 4 4y x mx  
2
0
' 0
x
y
x m

  

Hàm số có 3 cực trị  y’ đổi dấu 3 lần 
 phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt m > 0 
Khi m > 0, đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 
2 2( ;1 ) , ( ;1 ) , (0 ;1)A m m B m m C   
Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. 
Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung. 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 21 Trường THPT Đại Từ 
Đặt I(0 ; y0). Ta có: IC = R 
02
0
0
0
(1 ) 1
2
y
y
y

    

(0 ; 0)I O  hoặc (0 ; 2)I 
* Với (0 ; 0)I O 
IA = R 2 2 4 2
0
1
1 5(1 ) 1 2 0
2
1 5
2
m
m
m m m m m m
m

 

           

  


So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = 
1 5
2
 
* Với I(0 ; 2) 
IA = R 2 2 4 2( 1 ) 1 2 0m m m m m         (*) 
Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0 
Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m = 
1 5
2
 
Ví dụ 13. Cho hàm số 4 22 1y x mx m    (1), với m là tham số thực. Xác định m để hàm 
số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán 
kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . 
Giải 
 ' 3 2 2
0
4 4 4 0
x
y x mx x x m
x m

      

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  pt ' 0y  có ba nghiệm phân biệt và 'y đổi dấu khi x đi 
qua các nghiệm đó 0m  
 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 
     2 20; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m        
 2
1
.
2
ABC B A C BS y y x x m m    ; 
4 , 2AB AC m m BC m    
 4 3
2
1
2. .
1 1 2 1 0 5 1
4 4
2
ABC
m
m m mAB AC BC
R m m
S m m m

           

Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 22 Trường THPT Đại Từ 
 Bài tập tự luyện 
Bài 1. Cho hàm số  3 22 3 1 6y x m x mx    . 
 a) Tìm m để hàm số có cực trị. 
 b) Tìm m để hàm số có hai cực trị trên  0; . 
 c) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. 
d) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành 
Bài 2. Cho hàm số    3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x      . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
0x  . 
Bài 3. Tìm m để hàm số  3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x     có hai điểm cực trị 1x và 2x sao cho: 
 1 2 1 22 1x x x x   
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  3 2 2
1 1
3
3 2
y x mx m x    có cực đại tại xCĐ 
cực tiểu tại CTx sao cho xCĐ, CTx là độ dài các cạnh góc vuông tại một tam giác vuông có độ dài 
cạnh huyền bằng 
5
2
. 
Bài 5. Xác định m để hàm số  3 22 1 1y mx m x x     đạt cực trị tại 1 2, x x sao cho 
1 2
16
9
x x  . 
Bài 6. Xác định m để hàm số  3 23 1 9y x m x x m     đạt cực trị tại 1 2, x x sao cho 
1 2 2x x  . 
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số  3 22 3 1 6y x m x mx    có hai điểm cực trị A và B sao cho 
đường thẳng AB vuông góc với đường. 
Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 33 3y x mx m   có hai điểm cực trị A và B sao cho tam 
giác OAB có diện tích bằng 48. 
Bài 9. Cho hàm số 3 2 33 4y x mx m   (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số 
(1) có hai điểm cực trị A và B sao cho 2 2 20OA OB  . 
Bài 10. Cho hàm số 3 2
1
2 3
3
y x x x   (1). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
2. Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục 
hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. 
Bài 11. Cho hàm số 3 2 3
3 1
2 2
y x mx m   Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại, cực 
tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x. 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 23 Trường THPT Đại Từ 
Bài 12. Cho hàm số: 3 2y = x 3mx + 2 (1), m là tham sốTìm m để đường thẳng qua hai 
điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. 
Bài 13. Cho hàm số    3 2 2 23 3 1 3 1 1y x x m x m       Tìm m để hàm số (1) có cực đại, 
cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác 
vuông tại O. 
Bài 14. Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số.Tìm tất cả các giá trị 
của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT. 
Bài 15. Cho hàm số    3 23 3 1 1 3 my x x m x m C      Tìm m để hàm số có cực đại, cực 
tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có 
diện tích bằng 4. 
Bài 16. Cho hàm số 3 2 2 23 3(1 ) 2 2 1y x x m x m m       (m là tham số)Tìm tất cả các giá 
trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực trị của đồ 
thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng : 4 5 0.d x y   
Bài 17. Cho hàm số 3 2
3
( 2) 3( 1) 1
2
y x m x m x      (1), m là tham số. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2m   . 
b) Tìm 0m  để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là Đ,C CTy y thỏa 
mãn Đ2 4C CTy y  . 
Bài 18. Cho hàm số 3 2
1 5
4 4 ( )
3 2
y x mx mx C    . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 1 2,x x sao 
cho biểu thức 
2 2
2 1
2 2
1 2
5 12
5 12
m x mx m
A
x mx m m
 
 
 
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 19. Tìm m để hàm số    3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x      đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn 
x1 + 2x2 = 1. 
Bài 20. Tìm m để hàm số  4 2 29 10y mx m x    có 3 điểm cực trị. 
Bài 21. Tìm m để đồ thị hàm số y = -x4 +2(m+2)x2 –2m –3 chỉ có cực đại, không có cực tiểu. 
Bài 22. Tìm m để (C):    4 2
1
3 1 2 1
4
y x m x m     có 3 điểm cực trị lập thành một tam 
giác có trọng tâm là gốc tọa độ. 
Bài 23. Cho hàm số 4 22( 1)y x m x m    (1), m là tham số. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa 
độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 
Bài 24. Cho hàm số 4 22 4y x mx    có đồ thị  mC . ( m là tham số thực) 
Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị  mC nằm trên các trục tọa độ. 
Bài 25. Cho hàm số  4 2 2 42 1y x m x m m    , m là tham số thực. 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 24 Trường THPT Đại Từ 
Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1 
Bài 26. Cho hàm số 4 22 2 1y x mx m     (1), m là tham số. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m  . 
 b) Tìm m để ĐTHS (1) có ba điểm cực trị nằm trên một đường tròn có bán kính bằng 1. 
Bài 27. Cho hàm số  4 24 1 2 1y x m x m     có đồ thị  mC 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số khi 
3
2
m  . 
 b) Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều 
Bài 28. Cho hàm số 4 2 2 42 1(1).y x m x m    Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm 
cực trị , ,A B C sao cho các điểm , ,A B C và điểm O nằm trên một đường tròn, trong đó O là 
gốc tọa độ. 
Bài 29. Cho hàm số  4 2 2 42 1y x m x m m    , m là tham số thực. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m   . 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32. 
Bài 30. Cho hàm số 4 22 1y x mx m    có đồ thị  mC .Tìm các giá trị thực của tham số m 
để đồ thị  mC có ba điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính bằng 1. 
Bài 31. Cho hàm số 4 2
1
2 2 (1)
3
y x mx   , với m là tham số. Tìm m để đồ thị của hàm số 
(1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa 
độ. 
Bài 32. Cho hàm số    4 2 22 2 5 5y f x x m x m m       
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1. 
 b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam 
giác vuông cân. 
3. Chủ đề 3: Bài toán tương giao 
3.1. Kiến thức cơ bản 
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát: 
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm 
của phương trình 
 f(x, m) = g(x,m) (1). 
 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. 
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C). 
3.1.2. Bài toán cơ bản: 
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1) 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 25 Trường THPT Đại Từ 
Chú ý: 
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng: 
y – y0 = k(x – x0). 
+ Khai thác tọa độ giao điểm ( ( ; )M MM x y của (C) và d, ta cần chú ý: Mx là nghiệm của 
(1);M thuộc d nên 
M My ax b  
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet 
 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ 
Cho phương trình: 11 1 0( ) ... 0
n n
n nf x a x a x a x a

      . 
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ 
p
x
q
 (p, q)=1 thì \ nq a và 0\p a . 
 Phương pháp hàm số 
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m. 
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m. 
3.2. Ví dụ và bài tập 
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 23 1y x x    
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. 
 b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 23 0x x m   . 
Giải 
a) 
 TXĐ: D = R. 
 2' 3x 6xy    
2
0
' 0 3x 6x=0
2
x
y
x

      
 Giới hạn: lim , lim
x x
y y
 
    
 Bảng biến thiên: 
 Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên ( ;0) và (2; ) . 
 Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1. 
 Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 26 Trường THPT Đại Từ 
b) 
 3 2 3 23 0 3 1 1x x m x x m 
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 23 1y x x    với 
đường thẳng y = m – 1. 
Vậy 
1 3 4m m    : Phương trình có 1 nghiệm. 
1 3 4m m    : Phương trình có 2 nghiệm. 
3 1 1 4 0m m       : Phương trình có 3 nghiệm. 
1 1 0m m     : Phương trình có 2 nghiệm. 
1 1 0m m     : Phương trình có 1 nghiệm. 
Ví dụ 2.Cho hàm số 4 23x 1y x    có đồ thị (C) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình 4 2x 3x 0m   có 4 nghiệm phân biệt. 
Giải 
a) 
 Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau: 
b) 
 4 2 4 2x 3x 0 3 1 1m x x m        
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1. 
 Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
13 9
1 1 0
4 4
m m       
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 27 Trường THPT Đại Từ 
Ví dụ 3. Cho hàm số 
2 1
2
x
y
x



 có đồ thị (C). 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại 
hai điểm phân biệt. 
Giải 
a) HS tự trình bày. 
b) 
 Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 
2 1
2
x
x m
x

 

 có hai nghiệm phân biệt. 
 Xét phương trình: 
2 1
( 2)
2
x
x m x
x

  

2
2
2 1 ( )( 2)
4 1 2 0
(4 ) 1 2 0
x x m x
x x mx m
x m x m
    
     
     
 Có 2(4 ) 4(1 2 )m m     
2
2
8 16 4 8
12 0
m m m
m m
    
   
 Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 
Ví dụ 4.Cho hàm số  3 23 4y x x C   .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ 
số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm 
B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. 
Giải 
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là: 
 y = k(x+1) = kx+ k. 
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k 
 x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0  (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0 

2
1
( ) 4 4 0
x
g x x x k
 

    
 có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai 
nghiệm phân biệt khác - 1
' 0 0
0 9 (*)
( 1) 0 9 0
k
k
g k
   
     
    
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành 
độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0. 
Gọi    1 1 2 2; ; ;B x y C x y với 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình: 
2 4 4 0x x k    . Còn 
1 1 2 2;y kx k y kx k    . 
Ta có:         2 2 22 1 2 1 2 1 2 1; 1 1BC x x k x x BC x x k x x k          
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 28 Trường THPT Đại Từ 
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: 
21
k
h
k


Vậy theo giả thiết: 
2 3 3 3
32
1 1 1 1 1
. . 2 1 2 1
2 2 2 4 41
k
S h BC k k k k k k
k
          

Ví dụ 5. Cho hàm số  
2 1
1
x
y C
x



Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị 
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 . 
Giải 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 
22 1 2 ( 1) ( ) 2 ( 4) 1 0 (1)
1
x
x m x g x x m x m
x

           

D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
2 2( 4) 8(1 ) 0 8 0
( 1) 0 ( 1) 1 0
m m m
g g
        
  
      
2 8 0m m R     . 
Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B 
Gọi    1 1 2 2; 2 ; ; 2A x x m B x x m    . Với: 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (1) 
Ta có       
1
2 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1;2 4 5AB x x x x AB x x x x x x          . 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h: 
2 52 1
m m
h  

Theo giả thiết: 2 1 2
1 1 1 1
. 5 . . 8 3
2 2 2 2 45
x x
S AB h m
 
      
Vậy: 2 2 2 2 28 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)m m m m         
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 6. Cho hàm số  3 22 3 4y x mx m x     (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt 
đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. 
(Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ). 
Giải 
Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C có hoành độ là nghiệm của phương trình: 
 3 2 2
2
0
2 3 4 4; 2 2 0
2 2 0
x
x mx m x x x x mx m
x mx m

                   
2' 2 0 1 2 (*)m m m m          
Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), còn hai điểm B,C có hoành độ là hai 
nghiệm của phương trình: 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
Ths. Đỗ Hồng Thái 29 Trường THPT Đại Từ 
2
2 ' 2 02 2 0 1 2; 2
2 0
m m
x mx m m m m
m
    
            
 
- Ta có      1 1 2 2 2 1 2 1; 4 ; ; 4 ;B x x C x x BC x x x x      
    
2 2
2 1 2 1 2 1 2BC x x x x x x       
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d. h là khoảng cách từ M đến d thì: 
2 1 2 1
1 3 4 1 1
2 . 2. 2
2 22
h S BC h x x x x
 
         
- Theo giả thiết: S = 4 2 22 1 4; 2 ' 4; 2 4 6 0x x m m m m              
Kết luận: với m thỏa mãn: 2 3 3m m m      (chọn). 
Ví dụ 7. Cho hàm số    4 21 my x m x m C    . Xác định 1m  để đồ thị  mC cắt trục Ox 
tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳ