Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Phần 4

ng trình: 
Bài 6. Giải phương trình .
Bài 7. Giải hệ phương trình: 
Bài 8. Giải hệ phương trình: 
Bài 9. Giải phương trình: 
Bài 10. Giải phương trình: 
Bài 11. Giải phương trình: 
Bài 12. Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn giải
Bài 6.
Phương trình đã cho 
Ta có phương trình (1) nên (1) vô nghiệm. 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 
Bài 7. ĐK 
Từ (1) ta có x=y hoặc x2 = 2y (Loại)
x = y, thay vào phương trình ta có: 
. 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 
Bài 8. Hệ đã cho tương đương với 
Từ (1) suy ra , vì nếu y0, do đó VT(1) > VP( 1)
Thế vào phương trình (2) ta được: 
Đặt , ta có 
Khi đó . Vậy hệ phương trình có nghiệm 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 
Lời giải: 
Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ. 
Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được:
Đặt ta có .
Từ đây ta tìm được x và y.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
Lời giải: 
Hệ đã cho tương đương với 
 Đặt , ta được hệ mới 
Từ đó ta tìm được x, y.
Ví dụ 3. (Đề thi HSG Vĩnh Long 2012) Giải phương trình: 
Lời giải:
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
(*)
(*) 
Ÿ Với thì có một nghiệm là 
Ÿ Với thì có một nghiệm là 
Ÿ Khi thì 
 hoặc .
ŸKhi thì
 hoặc .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm ; .
Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 
3.Phương pháp hàm số.
 	Phương pháp hàm số là một trong những phương pháp quan trọng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Muốn làm tốt phương pháp này ngoài việc nắm chắc các kĩ thuật sử dụng hàm số còn cần phải chú ý những sai lầm thường gặp trong phương pháp này. Khi giải các bài toán này thường sử dụng một trong các tính chất sau:
Cho K là một khoảng ( hoặc là nửa khoảng, hoặc là đoạn)
Tính chất 1: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên K thì phương trình (c là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên K.
Tính chất 2: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến trên K, luôn nghịch biến trên K thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên K.
Tính chất 3: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên K thì với ta có .
Tính chất 4: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên K, nếu phương trình có nhiều nhất n nghiệm trên K thì phương trình có nhiều nhất n+1 nghiệm trên K.
Tính chất 5: Cho hàm số liên tục trên K, nếu hàm số luôn đồng biến trên K thì với ta có .
Ví dụ 1. (Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) Giải phương trình:
.
Lời giải 
 Điều kiện xác định: .
Phương trình đã cho tương đương: 
Đặt	 với x thuộc 
 với 
hàm số đồng biến trên .
phương trình có tối đa một nghiệm (1) 
Ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Nhận xét: Ngoài việc nắm rõ tính chất 1, để giải được bài tập trên cần phải lựu chọn đúng hàm số cần khảo sát. Ta xét tiếp bài tập sau: 
Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) Giải phương trình: 
Lời giải
TH1: 
TH2: (1)
Xét hàm số 
.
Suy ra, đồng biến trên từng khoảng 
Nên trên mỗi khoảng PT (1) có nhiều nhất một nghiệm
Mà . Suy ra, (1) có 2 nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 
Nhận xét: Nếu không nắm chắc các tính chất cơ bản học sinh rất hay mắc sai lầm là:
khi khẳng định được đồng biến trên từng khoảng vội vàng kết luận phương trình có nhiều nhất một nghiêm trên .
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử Đại học tỉnh Bắc Ninh 2013- 2014) Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
ĐK: 
Xét phương trình (1) ; 
Mà .
Khi đó ta có: 
Xét hàm số 
 Hàm số đồng biến trên
Do đó phương trình 
Thay vào phương trình (2) ta có
( Vì )
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 
Lời giải: 
Viết lại phương trình dưới dạng: 
Xét hàm số 
hàm số luôn đồng biến 
Do đó (1) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Ví dụ 5. (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải hệ phương trình: 
Lời giải: 
ĐK: 
Phương trình 
Thế vào (2) ta có 
Giải (4), xét 
. 
Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm. 
Mà có hai nghiệm 
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm 
Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau 
4. Phương pháp đánh giá.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: (x; y Î R). 
Lời giải
■ Điều kiện : 
Với y = 3x - 5 thay vào (2) ta được vô nghiệm
Với thay vào (2) ta được (*)
Điệu kiện .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 
Từ (3) ta có: 
 Thử lại x = 1 thỏa mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm là (1; 0) 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: .
Lời giải: 
Điều kiện: 
Pt 
Khi đó pt (2) trở thành: 
Sử dụng BĐT Cô si cho 3 số ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3. (Đề thi Đại học khối A – năm 2014) Giải hệ phương trình
Lời giải: 
Ta có 
Dấu “=” xảy ra (3)
Khi đó (1) tương đương với (3)
(3) 
Thế (4) vào (2) ta có
Vậy 
5. Một số bài tập khác.
Bài 1. Giải phương trình 
Lời giải: 
Ta có 
Cách 1:(Liên hợp thành phần)
+ Nếu phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu . Thỏa mãn phương trình (*)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Cách 3:(Phương pháp đánh giá)
Ta có: ( Theo bất đẳng thức Cô si)
Do đó . Thử lại thấy thỏa mãn. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 2. (Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)
Giải hệ phương trình 
Lời giải:
 (vì ) 
Thế vào phương trình (2) ta có 
Xét hàm số đồng biến trên . 
Phương trình (3) .
..
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
 ( Vì x =y =0 không là nghiệm của hệ )
Thế vào pt (2) ta có (*)
Ta giải phương trình (*) trên tập . 
Thật vậy: xét , Đặt , 
Pt(*) trở thành: 
 ( Do không là nghiệm của pt)
Vì 
Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt(*) có 3 nghiệm như trên
Kết hợp với điều kiện ta có 
Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.
Bài 4. (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)
Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
ĐK: 
Ta có 
Do đó, 
Với ta có 
Xét hàm số 
Do 
Từ đó suy ra 
Thử lại thỏa mãn hệ phương trình.
Bài 5: Giải hệ phương trình .
Lời giải: 
ĐK .
Nhận xét: không là nghiệm của hệ. Do đó hoặc 
Thay vào phương trình (2) ta có.
, Vì 
Ta có , với 
Do đó ta có 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 6: Giải hệ phương trình .
Lời giải: 
	ĐK .
Ta có: 
Mà 
Xét hàm số 
 đồng biến trên 
Khi đó phương trình 
Thế vào phương trình (2) ta có 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
7. Một số bài tập tham khảo
Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) ( Trích đề thi HSG Đắc Lắc 2013)
5) (Trích đề thi HSG TP HCM 2013) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 14) 
15) 16) 
17) 18) 
19) 20) 
21) 
22) ( Trích đề thi HSG Nam Định 2013)
23) (Trích đề thi HSG Ninh Bình 2012)
24) (Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
25) ( Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Hà Nội) 
26) 
 (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Kon Tum 2013)
27) 
 (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – TP HCM 2013)
28) 
29) 
CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT
Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần là bài toán khó nhất đề thi. Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này quan trọng khi giải các bài toán cực trị. Chuyên đề này đưa ra một số cách tiếp cận bài toán cực trị bằng phương pháp hàm số.
1. Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a) 
b) thỏa mãn x + y + z = 3.
Lời giải: 
a) Xét hàm số . Ta có 
và 
Ta có bảng biến thiên
x
 1 
f’(x)
 + 0 -
f(x)
 2 
-1 1
Từ bảng biến thiên suy ra .
b) Áp dụng câu a ta có 
Tương tự 
Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có
 (đpcm).
Ví dụ 2. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng .
Lời giải: 
Xét hàm số trên R. Ta có
và .
Ta có bảng biến thiên
x
 0 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 0
Suy ra 
Ví dụ 3. (Trích đề thi đại học khối D năm 2006)
Chứng minh rằng .
Lời giải:
 	Ta có 
Xét hàm số với x > 0. Ta có
,
nên f là hàm nghịch biến trên . Do đó (đpcm).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi ta có .
Bài 3: Chứng minh rằng .
Tổng quát: Với a, b > 0 và x > y > 0 ta có .
Bài 4: Cho . Tìm GTLN của .
Bài 5: (VMO, 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức .
Bài 6: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xyz = 4. CMR: 
.
2. Phương pháp dồn dần về một biến
Đối với các bài toán cực trị nhiều biến, ta thường phối hợp với phương pháp chặn các biến bằng cách: sử dụng BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT phụ hoặc sử dụng hàm số,....đưa dần về một biến để khảo sát.
Ví dụ 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Nhìn biểu thức của ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số mà ta không thể quy trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy là biểu thức có đối xứng với , do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến bằng nhau. Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra khi hai biến số và bằng nhau. Khi đó ta có . Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ dàng bằng cách khảo sát hàm số trên khoảng . 
Ta có , . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ta có:
 , suy ra .
Vậy khi và chỉ khi . 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
.
Lời giải
 Đặt . Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng quát ta có thể giả sử .
Từ a + b + c = 3 và a + b > c suy ra (2). 
Ta biến đổi
Do 2 – 3c > 0 và , suy ra 
Ta có , nên f(c) đồng biến trên . Vì vậy, .
Đồng thời . Với giả thiết và a + b + c = 3 và (3) suy ra a = b = 1, tức là tam giác ABC đều.
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử ĐH khối B tỉnh Bắc Ninh năm 2013)
Cho hai số thực với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải 
Ta có dấu bằng xảy ra khi 
Lấy . Vì nên
Dấu bằng xảy ra khi (với hoặc không xảy ra dấu bằng)
Bây giờ ta đi tìm GTNN của 
Mà . Vậy đạt được khi .
Ví dụ 4. (Trích đề thi khối A năm 2011)
 Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và . Tìm GTNN của biểu thức
.
Lời giải
 	Trước hết ta chứng minh với mọi a, b dương, thì
 (*)
Thật vậy, ta có luôn đúng do a, b dương và .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc (1)
Đặt , khi đó .
Xét hàm ta có .
Suy ra, .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (2)
Do đó. Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9, y =1, z = 2.
Ví dụ 5. (Trích đề thi khối A năm 2014) 
	Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
	Ta có , dấu bằng xảy ra khi 
Ta lại có 
Do đó, 
Dấu bằng xảy ra khi hoặc .
Ví dụ 6. ( Đề thi chọn HSG QG THPT bảng B, 1999)
Xét phương trình với a, b là các số thực, , sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm GTNN của .
Lời giải
Gọi u, v, s là ba nghiệm thực dương của đa thức . Theo định lý Viete ta có
.
Từ đó suy ra a > 0, b > 0. 
Đặt . Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có
.
Mặt khác, .
Do đó 
Từ (1), (2) và (3) ta có
Xét hàm số với .
Ta được . Dấu bằng xảy ra khi . Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi , tức là . Vậy .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho các số dương a, b, c với .Chứng minh rằng
.
Bài 2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 3. Cho các số x, y, z thay đổi trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của .
Bài 4. (IMO, 1984) Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
.
Bài 5. Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của 
.
Bài 6. (Trích đề khối B năm 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 7. Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Bài 8. Cho ba số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức
.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì 
.
3. Phương pháp khảo sát hàm số theo từng biến
Đối với bài toán cực trị nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán đưa về việc khảo sát hàm một biến.
Ví dụ 1. Cho ba số thực , chứng minh rằng:
Lời giải
Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử , coi là biến số và coi là tham số trong hàm số 
Ta có 
và với mọi và . 
Điều đó chứng tỏ là hàm số đồng biến, suy ra 
 ( do ). 
Đến đây ta suy ra là hàm số đồng biến, như vậy . 
Vậy bài toán đã chứng minh xong!
Ví dụ 2. Cho . Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải 
Đặt . Xét hai trường hợp sau:
* TH1: . Ta có 
Suy ra, .
Mặt khác, 
Suy ra, 
Ta có, 
Bảng biến thiên
 b
 1 3
 + -
Từ bảng biến thiên suy ra .
* TH2: . Từ TH1 ta có . Mặt khác
.
Suy ra , .
Vậy , đạt được khi và chỉ khi .
Ví dụ 3. Cho . Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải
 Đặt . Ta có
và liên tục trên 
Nên f’(c) nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra
Suy ra, f(c) đồng biến trên [0; 1]. Do đó
.
Ta có 
Nên g’(a) nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra,
Suy ra g(a) đồng biến trên [0; 1]. Do đó, .
Ta có .
Suy ra h(b) đồng biến trên [0; 1], nên . 
Với a = b = c = 1 thì .
Ví dụ 4. (Đề thi VMO bảng A 1999)
Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức
.
Lời giải
 Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > 0. suy ra 
Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được 
Xét hàm số với 0 0). 
Ta có 
Trên thì có nghiệm duy nhất là (3) với . Qua thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại tại nên 
Từ đó theo (2) ta có .
Xét hàm số g(c) với c > 0. Ta có .
Với c > 0, thì g’(c) = 0 tại va qua thì g’(c) đổi dấu từ dương sang âm nên g() là giá trị cực đại, suy ra .
Giá trị đạt được khi theo (1) và (3).
Ví dụ 5. (Đề thi VMO năm 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện
Hãy tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải
 Từ điều kiện (1) và (2) suy ra (4)
a) Xét hàm số với x > 0 và tham số . Xét hai trường hợp
* Nếu thì theo (4) nên (5)
* Nếu thì theo (4) nên .
Xét hàm số g(z) với . Ta có.
Do đó g(z) là hàm nghịch biến và (6)
So sánh (5) và (6) ta có và (7)
b) Xét hàm số với tham số 
Từ điều kiện (1) và (3) suy ra (8)
Lập luận tương tự phần a) ta được 
* Nếu thì (9)
* Nếu thì (10)
So sánh (9) và (10) ta có và (11)
So sánh kết quả phần a) và b) ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy maxP = 13.
 Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu thì . 
Lời giải
Ta coi một trong ba số là một biến số của hàm số, chẳng hạn là , khi đó ta đặt và ta đi xét hàm số , 
Đặt . 
Khi đó , . 
Ta có 
Như vậy, ta luôn có , 
trong đó và . 
Ta xét tiếp trên đoạn có , 
trong đó và có 
Như vậy, 
Xét lần nữa và trên đoạn có , từ đó suy ra với mọi . 
Xét tương tự đối với trên đoạn ta cũng có 
.
Vậy , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh rằng .
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác (có thể suy biến). Đặt
.
Tìm maxT và chứng minh rằng .
Bài 4: (Bảng A, 2001) Cho hàm số trên miền 
.
Bài 5: ( Bảng A, 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện
Hãy tìm GTLN của biểu thức .
Bài 6: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac . Tìm GTNN của biểu thức .
4. Phương pháp đổi biến
Ví dụ 1. (Trích đề thi khối D năm 2012) 
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy £ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
Lời giải
 	Ta có
A = = 
A
Đặt t = x + y (), xét f(t) = f’(t) = 
f’(t) = 0 khi t = ; f(0) = 6, f(8) = 398, f() = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là xảy ra khi t = 
A f(t) . Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y = hay x = y = 
Ví dụ 2. (Trích đề thi khối B năm 2011) 
 Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
Lời giải
Theo giả thiết ta có . Từ đây suy ra:
 hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
Đặt t = , ta suy ra: 2t + 1 ³ Þ 4t2 – 4t – 15 ³ 0 Þ t ³ 
Mặt khác: P = = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 = f(t)
	f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) = 0 Þ t = hay t = 2
	Þ Min f(t) = khi t = 
	Vậy min P = khi a = 1 và b = 2 hay a = 2 và b = 1.
Ví dụ 3. Cho ba số thực và thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Lời giải
Đặt . Khi đó và . 
Ta có , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng với điều kiện và . 
Với nhận xét bài toán đối xứng với biến nên ta có thể đưa bài toán từ ba biến về hai biến bằng cách đặt , khi đó và . 
Ta có 
Bây giờ xét hàm số có , 
 . 
Lập bảng biến thiên, biện luận so sánh với có: Nếu ta có 
Nếu ta có: 
Khảo sát trên có , từ đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và , tức là . 
Ví dụ 4. (Trích đề thi khối A năm 2012) Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 	.
Lời giải.
Cách 1
Đặt . Khi đó ta có
. 
Ta lại có, 
Tương tự nên ta có:
Khi đó, ta có 
Xét hàm số: 
Do đó, đồng biến trên nên 
Nên 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . 
Cách 2.
Do vai trò của như nhau nên có thể giả sử: . Thay vào P ta được
Tương tự như cách (1) ta có:
Ta chỉ cần chứng minh:
(đúng theo giả thiết)
Do đó, .
Ví dụ 5. (Trích đề thi khối A năm 2009) CMR với mọi số dương x,y,z thỏa mãn: x(x+y+z)=3yz, ta có 
Lời giải.
Cách 1. 
Đặt thì a,b,c dương và điều kiện bài toán trở thành (1) , ta phải chứng minh: 
Từ (1) ta có: 
và 
Có 
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hay x=y=z
Cách 2. 
Đặt y=ax,z=by ( a,b>0). Khi đó , ta có bài toán tương đương: 
“Cho a,b dương a+b+1=3ab (1).CMR (2) ”
Từ (1) ta có: (3)
Đặt t=a+b từ (3) ta có t≥2
suy ra , đúng với mọi t≥2
Dấu = xảy ra khi x=y=z
5. Phương pháp tiếp tuyến
Trong phần này chúng ta xét bài toán tổng quát: “Cho thoả mãn , với , cần chứng minh bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra khi ”. 
Bài toán này có tính chất nổi bật với vế trái là biểu thức đối xứng của các biến và viết được dưới dạng tổng của một hàm số với các biến số khác nhau. Dẫn đến suy nghĩ một cách tự nhiên để giải quyết bài toán này là ta xét hàm số , sau đó chứng minh với mọi , trong đó A, B thỏa mãn (hay ). Dễ thấy chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . 
Như vậy qua phân tích, chúng ta có thể đưa ra được lời giải cho bài toán tổng quát trên như sau: Xét hàm số , , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là . Ta chứng minh với mọi , từ đó suy ra: (đpcm).
Sau đây chúng ta xét một số bài toán điển hình để thể hiện rõ hơn cho phương pháp này. 
Ví dụ 1. Cho bốn số dương thoả mãn . Chứng minh rằng 
.
Lời giải
Từ giả thiết ta có và bất đẳng thức được viết dưới dạng với , đẳng thức xảy ra khi . Ta xét hàm số trên khoảng , phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm có hoành độ là . 
Xét , , suy ra , . 
Từ đó ta có , đẳng thức xảy ra khi . 
Ví dụ 2. Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng 
.
Lời giải
Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số thuộc khoảng , chẳng hạn thì ta có nên bài toán được chứng minh, do vậy ta chỉ xét . Ta xét hàm số trên đoạn , phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là . Ta có , suy ra ,.
 Từ đó ta có: , đẳng thức xảy ra khi . 
Ví dụ 3. Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng 
.
Lời giải
Như các bài toán trên, ta xét hàm số trên khoảng , phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là .
Xét , bây giờ ta chưa thể khẳng định được với mọi , nên ta đặt và xét hàm số trên khoảng , ta thấy không luôn dương trên , nên ta phải tìm cách chia khoảng xác định của tốt nhất có thể sao cho trên khoảng đó thì . Bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng , ta suy ra với mọi , từ đó ta có với mọi . Như vậy bài toán đã chứng minh xong khi và . Bây giờ ta xét trường hợp có ít nhất một trong ba số thuộc nửa khoảng , giả sử do đều dương và có tổng bằng 1 nên , dễ thấy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên , suy ra , , 
Vậy với mọi số thực dương thoả mãn . Đẳng thức xảy ra khi .
Thông qua bài toán này