Đề cương ôn thi học sinh giỏi Toán 9 Phần Số học

Gi¸o viªn : NguyÔn M¹nh Hïng 
Tr­êng THCS Thanh Thuû- Phó Thä
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN 9
PHẦN SỐ HỌC
A. PHÉP CHIA HẾT TRÊN Z
Bài 1: Cho 3 số chính phương a, b, c. Chứng tỏ rằng P = (a – b)(b – c)(c – a)12
Bài 2: Cho P = (a + b)(b + c)(c + a) + abc với a,b,c
 Chứng minh rằng nếu (a + b + c)4 thì P4
Bài 3: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x,y,z thỏa mãn:
Bài 4: Tồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn: (1)
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để: 
Bài 6: Tìm số nguyên dương n sao cho n + 600 và n – 9 đều là lũy thừa bậc bốn của một số nguyên dương.
Bài 7: Cho đa thức f(x) = . Gọi m là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc chẵn của x và n là tổng các hệ số ứng với lũy thừa bậc lẻ của x. Hỏi m, n là các số lẻ hay chẵn?
Bài 8: Tồn tại hay không một đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn các điều kiện: f(2) = 1945, f(9) = 2009.
Bài 9: Cho n. CMR: 
Bài 10: CMR: S = không chia hết cho 49 với 
Bài 11: CMR: A = với 
Bài 12: Cho n chia hết cho .
Bài 13: Cho và thỏa mãn 
 CMR: 
Bài 14: CMR với ta có: 
Bài 15: Cho x,y,z là các số nguyên khác 0. CMR nếu :
thì tổng 
Bài 16: Tìm cặp số nguyên dương (m,n) sao cho 2m + 1n và 2n + 1m.
Bài 17: CMR: 
Bài 18: Tìm số dư trong phép chia A = cho 91
B. SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A = 111(2n chữ số 1) và B = 444(n chữ số 4); 
 CMR: A + B + 1 là một số chính phương.
Bài 2: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR: p4 – 1 
Bài 3: CMR với thì 3m không thể là lập phương của một số nguyên biết:
 m = 1.3 +2.4 + 3.5 ++ n(n + 2) .
Bài 4: Tìm để là một số nguyên tố.
Bài 5: Tìm để là số chính phương.
Bài 6: Giả sử a,b,c là các số nguyên dương và a là số nguyên tố sao cho . CMR: b = c + 1 và a < c.
Bài 7: Cho thỏa mãn : đều là các số chính phương.
Bài 8: Tìm để là số chính phương.
Bài 9: Tìm số nguyên tố p để: là số chính phương.
Bài 10: Cho , 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương. CMR: 
Bài 11: Tìm để là số chính phương.
Bài 12: Cho , n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương. CMR: .
Bài 13: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương:
Bài 14: Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố.
Bài 15: Tìm n sao cho x = 2003 + 2n và y = 2005 + 3n đều là những số chính phương.
C. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM MGUYÊN
Bài 1: Tìm các số nguyên dương x,y,z thoả mãn: 
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 3: Xác định giá trị của a để phương trình có nghiệm nguyên dương. 
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR phương trình 
Luôn có nghiệm nguyên dương .
Bài 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình:
 .
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 .
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 10: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 .
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 .
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: p(x + y) = xy, với p là số nguyên tố.
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z = xyz.
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 19: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(y + z) = x( yz – 1).
Bài 21: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Bài 23: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Bài 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
D. PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ
Bài 1: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm phần nguyên của :
 .
Bài 2: Tính phần nguyên của biểu thức 
Bài 3: CMR 
 Áp dụng tính tổng: với x = 2008.
Bài 4: CMR phần nguyên của số là số lẻ.
Bài 5: Cho n, CMR: a) 
 b) .
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: A = . 
HƯỚNG DẪN
A. PHÉP CHIA HẾT TRÊN Z
Bài 1: Một số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1. Theo nguyên lý Đi-rich-le thì trong ba số a,b,c phải tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3, do đó trong các số a-b, b-c, c-a phải có ít nhất một số chia hết cho 3 
 Tương tự ta cũng có 
Mà (3;4) = 1 và 3.4 = 12 nên 
Bài 2: Ta có 3P = 
 Vì a,b,c (vì (3;4) = 1)
Bài 3: Ta có 
Mà 2005 không chia hết cho 3
đpcm
Bài 4: Giả sử tồn tại số nguyên n thỏa mãn (1), ta có:
Mặt khác chia cho 3 dư 2 (3)
Từ (2) và (3) dẫn đến mâu thuẫn. Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (1).
Bài 5: k
Bài 6: Giả sử n + 600 = a4 và n – 9 = b4 (a,b nguyên dương) 
Dễ thấy a>bnên ta có 4 trường hợp xẩy ra. Từ đó tìm được n = 25.
Bài 7: Ta có f(x) = 
Khi đó f(1) = m + n = 32006; f(-1) = m – n = 1 m lẻ, n chẵn.
Bài 8: Giả sử f(x) = 
Suy ra f(9) – f(2)7. Nhưng 2006 – 1945 = 61 không chia hết cho 7không tồn tại đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 9: Ta có A = 
Bài 10: Giả sử 
Lại có S = 
Thay vào S ta có: S = không chia hết cho 49mâu thuẫnđpcm
Bài 11: Chứng minh 
Bài 12: Ta có 2Sn = n(n + 1)
Mặt khác và n lẻ, ta có:
Mà (n, n+1) = 1 .
Bài 13: Đặt 
Hơn nữa nên trong các số thì số các số bằng 1 bằng số các số bằng -1. Giả sử có m số bằng 1có m số bằng -1 
 chẵn đpcm.
Bài 14: Ta có 
Mà
.
Bài 15: Ta có 
Bài 16: Ta có
 (2m + 1)(2n + 1)mnđều lẻ (1)
Lại có: 
Từ (1) và (2) 
Bài 17: Đặt A = 
 = 
.
Bài 18: Ta có 
 chia cho 91 dư 11.
B. SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Tự làm
Bài 2: Tự làm
Bài 3: Ta có 
 (1)
Mà (2)
Thay (2) vào (1) ta được 
Vậy nếu 3m là lập phương của một số nguyên thì :
.
 Phương trình này không có nghiệm nguyên dương nên ta có đpcm.
Bài 4: Ta có A = , từ đó tìm được n = 3.
Bài 5: Ta có A = = 
Dễ thấy nếu n = 0 thì A = 0 là số chính phương
Nếu n > 0 ta có : không thể là số chính phương.
Vậy n = 0 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Ta có 
Do a là số nguyên tố nên 
+ Từ b – c = 1 lẻ hay 
Vậy đpcm.
Bài 7: Theo bài ra 
Hơn nữa đều là số chính phương.
Bài 8: Giả sử A = 
Ta có hoặc 
Từ đó tìm được n = 2 và n = -3.
Bài 9: Giả sử 
Khi đó 
Mặt khác: 
vì p là số nguyên tố nên p = 3.
Bài 10: Đặt . Vì 2n + 1 lẻ nên k lẻ 
chẵn lẻ 
Từ (2) (3)
Ta lại có 
Từ (3) và (4) .
Bài 11: 
Với n = 0 là số chính phương
Với n = 1 là số chính phương
Với n > 1 là số chính phương là số chính phương
Nhưng (vì n > 1) không là số chính phương.
Vậy n = 0; n = 1 là các giá trị cần tìm.
Bài 12: Đặt 
suy ra m lẻ và chẵn lẻ là tích hai số chẵn liên tiếp nên 
Mặt khác chia cho 3 dư 1, do đó 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 13: Đặt 
Ta thấy 
Ta sẽ chứng minh 
Thật vậy 
Vậy nên .
Bài 14: Ta thấy p = 2 và p = 3 không thỏa mãn bài toán.
Giả sử 
Ta có ; 
+ Nếu không chia hết cho 5
+ Nếu không chia hết cho 5
+ Nếu không chia hết cho 5
+ Nếu không chia hết cho 5
+ Nếu không chia hết cho 5
Như vậy trong ba số có đúng một số chia hết cho 5. 
Do p > 3 nên .
Vậy để nguyên tố thì , mà p là số nguyên tố nên p = 5.
Khi đó là số nguyên tố. Vậy p = 5 thỏa mãn bài toán.
Bài 15: Giả sử 
Khi đó lẻ
Đặt thế vào (1) ta có :
.
Điều này không xảy ra dù b chẵn hay lẻ. Vậy không tồn tại t/m đề bài.
 C. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM MGUYÊN
Bài 1: Tìm các số nguyên dương x,y,z thoả mãn: (1)
Từ 
Tương tự ta cũng có 
Từ (1) ta lại có 
Đặt thì (2) trở thành: 
Lấy thì y = m và z = m + 1
Thay x = m, y = m, z = m + 1 vào (1) ta thấy thỏa mãn. Vậy bộ ba số cần tìm là (x, y, z) = (m, m, m + 1).
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Ta có 
Vì và 64 chỉ được phân tích thành: 64 = nên ta có :
 hoặc 
Hoặc 
Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Bài 3: Xác định giá trị của a để phương trình có nghiệm nguyên dương. 
Giả sử (x,y) là nghiệm nguyên dương của PT (1). Đặt d = ƯCLN(x,y)
với 
Ta có (1) 
Vì nên là ước của 1
Mà y nguyên dương nên y1 = 1
Thay x = y vào (1) ta được (1) có nghiệm nguyên dương khi a + 2 là số chính phương
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Đặt thì (1) trở thành: 
Mặt khác 
Mà . Từ (*) suy ra 
Xét từng trường hợp ta tìm được 4 nghiệm nguyên là: 
Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR phương trình 
luôn có nghiệm nguyên dương .
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3
Nếu p chia cho 3 dư 1 
Ta có 
Do đó là một hoán vị của 2k, 4k+1, 4k+2
Nếu p chia cho 3 dư 2 
Ta có 
Do đó là một hoán vị của 2k+2, 4k+2, 4k+3
Vậy trong mọi trường hợp PT đã cho luôn có nghiệm nguyên dương .
Bài 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình:
 .
Ta có 
Nếu y = 0 thì luôn đúng 
Nếu , khi đó: 
Xem (2) là PT bậc hai ẩn y. Để (2) có nghiệm nguyên thì :
 phải là số chính phương
Ta có 
 là số chính phương 
Vì nên ta có 6 trường hợp xảy ra. Từ đó tìm được các nghiệm nguyên (x,y) của PT đã cho là: 
 với .
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 .
Ta có 
có nghiệm 
Nếu thì vô nghiệm.
Nếu y = 1 thì . PT này có 2 nghiệm là 
Vậy nghiệm nguyên dương của PT (1) là (x,y,z) = (z;1;z), (z+1;1;z) với z
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có (1) 
Dễ thấy vì nếu x = y thì (1) trở thành , vô nghiệm.
Do 
Xét 2 trường hợp:
* khi đó , vô nghiệm.
* khi đó 
- Nếu x = 0 thì từ (1) có 
- Nếu y = 0 thì từ (1) có 
- Nếu x,y đều khác 0 thì . Do nên chỉ có hoặc
 trong 2 số x,y có một số chẵn và một số lẻ. Khi đó VT của (1) lẻ, còn VP của (1) chẵn nên PT vô nghiệm.
Vậy nghiệm của PT đã cho là .
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
ĐK : 
Với x = 0 thì y = 0 suy ra (0;0) là một nghiệm của PT
Với x > 0 thì y > 0. Bình phương 2 vế của PT ta được:
Đặt . Nhưng 
.
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên duy nhất (0;0).
Bài 10: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 .
Ta có 
Để (x,y,z) là nghiệm của (1) thì 
 hoặc hoặc 
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là: (x = n, y = 1, z = n) với 
 và (x = k, y = 1, z = k – 1) với 
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 .
Vì 105 là số lẻ nên 2x + 5y + 1 lẻ nên y chẵn. Mà chẵn nên lẻ 
Với x = 0 ta có PT: 
 hoặc 
Thử lại ta thấy x = 0, y = 4 là nghiệm của PT.
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: p(x + y) = xy, với p là số nguyên tố.
HD: Giả sử ta có: p(x + y) = xy 
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z = xyz (1).
Giả sử . Từ (1) suy ra: 
Với x = 1 ta có: 
 Vậy nghiệm của PT là (1,2,3) và các hoán vị của nó.
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có: 
Nếu x > 0 thì từ không thể là số chính phương nên (2) không có nghiệm nguyên.
Nếu x < -1 thì từ cũng suy ra (2) không có nghiệm nguyên.
Nếu x = 0 hoặc x = -1 thì từ (2) suy ra hoặc 
Vậy PT có 4 nghiệm nguyên 
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Giả sử là nghiệm của PT, khi đó ta có: 
Đặt thay vào (2) ta được: 
Đặt thay vào (3) ta được: 
Đặt thay vào (4) ta được: cũng là nghiệm của PT (1). Một cách tổng quát ta suy ra cũng là nghiệm của PT (1) với , hay do đó .
Vậy (0;0;0) là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
Bài 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có 
 x = 2
 y = 1 hoặc (loại)
 x = 0
 y = 1 hoặc (loại)
Vậy nghiệm của PT là (2;1), (0;1).
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có là số chính phương. Mà xy và 
xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên từ (2) suy ra: 
 xy = -1 xy = 0
 hoặc 
 xy + 1 = 0 xy + 1 = 1
Từ đó tìm được các nghiệm của PT là .
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có 
Do đó nếu x,y là nghiệm của PT thì hoặc 
Nếu 
Nếu 
Vậy PT có ba nghiệm nguyên là: .
Bài 19: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Ta có: 
Nên 
Do đó . Kết hợp với (1) ta có :
 hoặc 
Vậy nghiệm nguyên của PT (1) là: .
Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(y + z) = x( yz – 1) (1).
Với x = 1 PT có dạng 
Ta tìm được các nghiệm (x,y,z) là: (1;3;7) và (1;7;3).
Với , giả sử 
+ Nếu y = 1 thì PT (1) có dạng: 
Ta được các nghiệm là: 
+ Nếu từ (2) suy ra y = 2, PT (1) có dạng :
 . PT này có nghiệm (x,y,z) = (2;2;3)
Tương tự xét y > z thì PT đã cho có tất cả 10 nghiệm là:
.
Bài 21: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
Ta có 
Vì lẻ nên cùng lẻ
Lại có đều là số chính phương.
Do là 2 số nguyên liên tiếp và cùng là số chính phương nên số nhỏ bằng 0, do đó x = 0 y = 0 hoặc y = -1 
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Ta có 
Lại có 
 x < -1
 x > 2
Như vậy với x 2 thì nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp. Suy ra PT vô nghiệm.
Bài 23: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Giả sử . Từ lẻ chia cho 4 dư 1 chẵn chẵn.
Đặt thay vào (1) ta được:
Đặt 
Với a = 0 thì x = 1 thay vao (1) ta được y = 1.
Với thì n và 2n + 1 là 2 số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau, có tích bằng b2 nên mỗi số đều là số chính phương.
Đặt . Điều này vô lí vì: 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm (1;0) và (-1;0).
Bài 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD: Đặt u = 0 hoặc 9
 .