Đề cương ôn tập tự chọn môn Toán Lớp 7 - Học kỳ II

Đề cương ôn tập HK 2 TC Toán 7
Câu 1: Cho °ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA
a) C/m 
b) C/m AD là phân giác của góc 
c) Vẽ . C/m AK = AH
d) C/m AB + AC < BC + 2AH
Giải
a) Xét °ABD ta có: AB = BD (gt) °ABD cân tại B ( tính chất)
b) Xét ° vuông HAD và ° vuông ABC ta có : và 
mà (cmt) AD là phân giác của 
c) Xét ° vuông HAD và ° vuông KAD ta có: 
AD cạnh huyền chung
(cmt)
Vậy ° vuông HAD = ° vuông KAD (cạnh huyền-góc nhọn) AK = AH
d) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào °ABH ta được:
AB<AH+HB (1)
Tương tự. Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào °ACH ta được:
AC< AH+HC (2). Từ (1) và (2) suy ra AB+AC< 2AH+ (HB+HC)
 AB+AC<2AH+BC
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác góc B cắt AC tại I. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE= BA
1) C/m tam giác ABI = tam giác EBI và suy ra góc BEI= 
2) Hai tia BA và EI cắt nhau tại D. C/m tam giác AID= tam giác EIC và suy ra tam giác IDC cân
3) C/m AE // DC
Giải
1) Xét °ABI và °EBI ta có:
 AB = EB ( cách lấy điểm E)
 (gt)
BI: cạnh chung
Vậy °ABI = °EBI (c.g.c) mà (gt) 
2) °ABI = °EBI (c.g.c) (cmt) AI=EI
Xét ° vuông AID và ° vuông EIC ta có:
AI=EI (cmt)
 (dối đỉnh)
Vậy ° vuông AID = ° vuông EIC (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) ID=IC 
 °IDC cân tại I
3) Xét °ABE ta có:
BA= BE (cách lấy điểm E) °ABE cân tại B . Do BI là đường phân giác của góc 
 ( đường phân giác đồng thời là đường cao) (1)
 Do ° vuông AID = ° vuông EIC (cmt) AD=EC mà BA= BE (cách lấy điểm E) 
 BA+AD=BE+EC hay BD=BC °BDC cân tại B . Do BI là đường phân giác của góc ( đường phân giác đồng thời là đường cao) (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra AE//DC( cùng vuông góc với BI).
Câu 3:
Cho °ABC cân tại A ( ). Kẻ , , BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : BD = CE
b) Chứng minh : °BHC cân
c) Chứng minh : AH là đường trung trực của BC 
d) Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. So sánh : và . 
Giải
a) Xét ° vuông ADB và ° vuông ACE ta có:
AB = AC (gt)
 : chung
Vậy ° vuông ADB = ° vuông ACE (cạnh huyền-góc nhọn) BD = CE 
b) Do °ABC cân tại A (t/c) mà hay °BHC cân tại H.
c) Do °ABC cân tại A AB = AC A thuôc đường trung trực của BC (1)
 Do °BHC cân tại H (cmt) HB = HC H thuộc đường trung trực của BC (2)
. Từ (1) và (2) suy ra AH là đưởng trung trực của BC.
d) Xét °BCK ta có:
D là trung điểm của BK (do cách lấy điểm K) CD là đường trung tuyến của °BCK (3) . Do (gt) CD là đường cao cùa °BCK (4) . 
Từ (3) và (4) suy ra °BCK cân tại C mà (cmt) hay
 = 
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE.
Chứng minh:
a) °ABD = °EBD
b) BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE
c) AD < DC
d) và E, D, F thẳng hàng.
Giải
a) Xét ° vuông ABD và ° vuông EBD 
BD cạnh huyền chung
 (gt)
Vậy ° vuông ABD = ° vuông EBD (cạnh huyền-góc nhọn)
b) Do ° vuông ABD = ° vuông EBD (cmt) AB = BE và AD = DE B, D thuộc đường trung trực của AE hay BD là đường trung trực của đoạn AE.
c) Do AD = DE (cmt). Xét ° vuông DEC ta có DE <DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) AD < DC.
d) Xét ° vuông ADF và ° vuông EDC ta có:
AD = DE (cmt)
AF = EC (do cách lấy điểm F)
Vậy ° vuông ADF = ° vuông EDC (cạnh góc vuông-cạnh góc vuông)
 mà (do A, D, C thẳng hàng)
 suy ra E, D, F thẳng hàng.
Câu 5: Cho °ABC có AB = 3cm; AC = 5cm; BC = 4cm.
a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại B.
b) Vẽ phân giác AD (D thuộc BC). Từ D, vẽ . Chứng minh DB = DE.
c) ED cắt AB tại F. Chứng minh °BDF = °EDC rồi suy ra DF > DE.
d) Chứng minh AB + BC > DE + AC
Giải
a) Ta thấy (vì ), theo định lý py-ta-go đảo ta suy ra °ABC vuông tại B.
b) Xét ° vuông ABD và ° vuông AED ta có:
AD cạnh huyền chung
 (gt)
Vậy ° vuông ABD = ° vuông AED (cạnh huyền-góc nhọn)
 DB = DE
c) Xét ° vuông BDF và ° vuông EDC ta có:
DB =DE (cmt)
 (đối đỉnh)
Vậy ° vuông BDF = ° vuông EDC (cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
 DF =DC
Xét ° vuông EDC ta có: DC > DE (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)
Suy ra DF > DE.
d) Xét ° vuông EDC suy ra DC > EC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (1)
Cộng hai vế của (1) với BD ta được BD+ DC > BD + EC mà BD = DE (cmt)
Suy ra BD + DC > DE + EC, suy ra BC > DE + EC (2).
Cộng hai vế của (2) với AB ta được: AB + BC > AB + DE + EC (3).
Mà ° vuông ABD = ° vuông AED (cạnh huyền-góc nhọn).
 AB = AE (4). Từ (3) và (4) suy ra AB+ BC > DE + (AE+ EC) 
Hay AB + BC > DE + AC.
Câu 6:
Cho °ABC vuông tại A có . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD. Tia phân giác của cắt AC tại I
a) Chứng minh °BAD đều
b) Chứng minh °IBC cân
c) Chứng minh D là trung điểm của BC
d) Cho AB = 6cm. Tính BC, AC.
Giải
a) Xét °BAD ta có: BA = BD ( do cách lấy điểm D) °BAD cân tại B mà (gt) suy ra °BAD đều.
b) Xét ° vuông ABC , ta có (t/c) mà (gt) suy ra . 
Do . Do đó °IBC cân tại I.
c) Xét °ABI và °DBI ta có:
BI cạnh chung
 (gt)
BA = BD (cách lấy điểm D)
Vậy °ABI = °DBI (c.g.c) suy ra mà 
Suy ra .
Do °IBC cân tại I (cmt), suy ra đường cao ID đồng thời là đường trung tuyến của °IBC D là trung điểm của BC suy ra BD = DC.
d) AB = 6cm
AB = BD (do cách lấy điểm D) mà BD = DC (cmt) suy ra BC = 2BD = 2AB= 2.6= 12cm. Áp dụng định lý py-ta-go vào ° vuông ABC ta có:
Hết