Đề cương ôn tâp học kỳ I Toán 9

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 
A. Kiến thức cần nhớ: 
Căn bậc hai
Một cách tổng quát: 
Với hai số a và b không âm ta có: 
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức 
Với mọi A ta có 
Như vậy: + nếu A 0
 + nếu A < 0
Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
+ Với A 0 và B 0 ta có: 
+ Đặc biệt với A 0 ta có 
Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có: 
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là
+ Nếu A 0 và B 0 thì 
+ Nếu A < 0 và B 0 thì 
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì 
+ Nếu A < 0 và B 0 thì 
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có 
Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
- Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có 
- Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có
Căn bậc ba
Khái niệm căn bậc ba:
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
Với mọi a thì 
Tính chất
Với a < b thì 
Với mọi a, b thì 
Với mọi a và thì 
BÀI TẬP ĐƠN GIẢN
Bài 1/ Thöïc hieän pheùp tính: 
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
6/ 
Bài 2/ Chöùng minh:
 1/ 2/ vôùi x > 0; y > 0
Bài 3/ Giải phương trình
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính (rút gọn):
Bài 3 : Tính giá trị của các biểu thức sau đây (sau khi rút gọn, nếu được)
1. với 
2. 	với 
3. 	với 
Bài 4: Tính:
a. 
b. B = + 	
c. C = 5. + . + 
Bài 5: Cho biểu thức A = 
Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
Tìm giá trị của x để A = .
Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9
HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
I. Hàm số bậc nhất
Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
 Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó
+ + 
+ + 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. 
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b 
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x
 Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB
Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và .
 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên; 
Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng và y = - 2x lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.
Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
 Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.
Bài 4: Cho hàm số y = 3x + 2
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 3x + 2 và trục Ox (làm tròn đến phút).
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Phần I: Lý thuyết cần nhớ:
I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. 
Trong một tam giác vuông:
; 
e. BC2 = AB2 + AC2
Bài 1: Tìm x và y
Bài 2: Tìm x và y (biết EF = 16)
Bài 3: Tìm x và y
Bài 4: Tìm x và y
Bài 5:
1/ Viết hệ thức liên hệ giữa:
a) đường cao và hai cạnh góc vuông.
b) cạnh góc vuông, cạnh huyền và hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
2/ Biết b’ = 6cm; a’ = 8cm. Tính AH, AT, AK
3/ Viết các tỉ số lượng giác của góc B, C.
II. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
1. Các tỉ số lượng giác.
Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Không – Hư, tan Đoàn – Kết, Cot Kết – Đoàn”
2. Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ:
a. Với góc nhọn () thì 
b. 
c. 
d. 
3. Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau.
Nếu thì các giá trị lượng giác của và chéo nhau, tức là:
4. Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. 
Bµi 6: Cho vuông tại A, biết AB = 9cm, BC= 15cm. Tính tỉ số lượng giác của hai góc nhọn B và C.
Bµi 7: Cho có AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20cm.
a/ Tính đường cao AH của .
b/ Chứng minh rằng AB cosB + AC cosC = 20cm.
Bµi 8: Cho vuông tại A, biết AC= 12cm, BC= 15cm.
a/ Giải tam vuông .
b/ Tính đường cao AH, đường phân giác AD của ( Số đo góc làm tròn đến độ, độ dài làm tròn đến số thập phân thứ tư)
Bài 9: Tam giác ABC có ; ; AB = 4cm. Tính độ dài BC, AC.
Bài 10: Cho có đường cao BH. Biết AB = 40cm, AC = 58cm, BC = 42cm.
1/ có phải là tam giác vuông hay không ? Vì sao ? 
2/ Tính tỉ số lượng giác của góc A.
3/ Kẻ và . Tính BH ; BE ; BF và diện tích tứ giác EFCA.
GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
*Đường tròn:
1,Định nghĩa:
 Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đường tròn tâm 0 bán kính R. Kí hiệu: (0; R)
2, Vị trí tương đối:
* Của một điểm với một đường tròn:
xét (0; R ) và điểm M bất kì
Vị trí tương đối
Hệ thức
M nằm ngoài (O ; R)
OM > R
M nằm trên( O ; R ) hay M thuộc (O ; R)
OM = R
M nằm trong (O ; R)
OM < R
* Vị trí của một đường thẳng với một đường tròn:
xét ( O; R) và đường thẳng a bất kì (với d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a)
vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức
a cắt ( O ; R )
2
d < R
 a tiếp xúc ( O ; R )
1
d = R
a và ( O ; R ) không giao nhau
0
d > R
* Của hai đường tròn:
xét ( O;R) và (O’; R’) ( với d = O O’ ) 
vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau
2
R - r < d < R- r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: 
+ tiếp xúc ngoài:
+ tiếp xúc trong:
1
d = R + r
d = R – r
Haiđường tròn không giao nhau:
+hai đường tròn ở ngoài nhau:
+đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ:
0
d > R + r
d < R -r
3 . Tiếp tuyến của đường tròn:
a. Định nghĩa: đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường đó.
b, Tính chất:
+ Tính chất 1: Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+ Tính chất 2: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
c, Cách chứng minh:
Cách 1: chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó.
Cách 2: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn.
4 . Quan hệ giữa đường kính và dây cung:
* Định lí 1: Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau.
* Định lí 2: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm:
* Định lí 1: Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.
* Định lí 2: Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.
Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 
1) Chứng minh rằng OABC.
2) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
3) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.
Bài 2: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
1/ Chứng minh OA là đường trung trực của BC.
2/ Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh HA.HO = HB.HC.
3/ Đoạn thẳng AO cắt (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp .
Bài 3: Cho nữa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a) 
b) CD = AC + BD
c) AC.BD = R2
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh AC + BD = CD.
Chứng minh = 900.
Chứng minh AC. BD = .
Chứng minh OC // BM