Chuyên đề: Thể tích – góc – khoảng cách

 trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy, các mặt bên chính là các hình chữ nhật. cạnh bên chính là đường cao.
b)Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
c) Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, các mặt bên là các hình bình hành, các đường chéo của hình hộp đồng quy tại một điểm.
Lưu ý: Nếu dữ kiện không nói gì, thì hình hộp không phải là lăng trụ đứng.
d) Hình hộp chữ nhật: là lăng trụ đứng. Là đa diện có 6 mặt đều là hình chữ nhật
e) Hình lập phương: Là lăng trụ đứng, có tất cả các mặt đều là hình vuông.
B. Các dạng toán:
1. hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều:
1.1.1. Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a. Góc giữa đường chéo A’C và đáy là . Tính thể tích khối lăng trụ và diện tích xung quanh khối lăng trụ đã cho.
Giải:
- Hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều, nên hai đáy ABCD, A’B’C’D’ là các hình vuông, và các cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng (ABCD) và A’B’C’D’.
- Ta có AA’ vuông góc với đáy (ABCD), nên AC là hình chiếu của A’C trên mặt phẳng đáy. 
- Trong tam giác vuông A’AC vuông tại A ta có: 
-Vậy thể tích của khối lăng trụ: (đvtt)
* Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ: 
 (đvdt)
1.1.2 Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Khoảng cách từ trọng tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ đều đó.
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của O lên A’M.
Ta có: . 
Do đó: 
- Đặt AA’=x, khi đó ta có đồng dạng với nên: 
.Vậy: (đvtt)
1.1.3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C bằng . Tính thể tích khối lăng trụ 
Giải:
Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’. Gọi H là hình chiếu của M trên M’C. khi đó ta có: AB//(A’B’C) ta có: 
Do đó ta có: 
- Vậy 
 (đvtt)
2. hình lăng trụ xiên:
1.2.1. Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ , đáy ABCD là hình thoi cạnh a và , AA’=A’B=A’D và cạnh bên hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 
Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A’ và góc . Tính thể tích của khối hộp đã cho.
Giải:
 * Tam giác ABD là tam giác đều, ta có AA’=A’B=A’D . Do vậy A’.ABD là hình chóp tam giác đều.
Gọi H là trọng tâm tam giác ABD, nên hình chiếu của A’ xuống đáy (ABCD) chính là H.
Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là góc 
* Tính thể tích khối chóp:
Trong tam giác đều ABD: 
Trong tam giác vuông AA’H:
Diện tích hình thoi ABCD: 
Thể tích khối hộp: 
1.2.2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, , BC=2a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng vơi strung điểm I của CM. Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt phẳng đáy (ABC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và C’I.
Giải:
Tam giác ABC vuông tại C, 
Do nên IC là hình chiếu của CC’ xuống mặt phẳng đáy (ABC). Vậy , vậy tam giác CIC’ là tam giác vuông cân tại C
Có * Từ I dựng 
Vậy IH chính là đoạn vuông góc chung của BC và C’I, vậy d(BC; C’I)=IH
vuông tại I, 
1.2.3. Cho hình chóp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. Các mặt bên là hinh thoi, biết . Tính 
Giải:
Do các mặt bên là hình thoi nên Mà .
 là các tam giác đều cạnh a. Vậy nên AA’=AB’=AD’ suy ra chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của hình lăng trụ chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Mà tam giác vuông tại A’ nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là trung điểm H của B’D’ 
Ta có:
1.2.4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Giải.
Gọi M là trung điểm của BC, Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên AA’. Khi đó (P) chính là mặt phẳng (HBC).
- Thật vậy: và 
 (vì )
 Vậy: 
- Theo đề bài ra: 
Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên ta có: 
Suy ra thể tích khối lăng trụ: (đvtt)
Bài tập rèn luyện:
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm D thuộc cạnh BC sao cho DB=2DC. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD. TÍnh thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Góc giữa (SBC) và đáy bằng 600. Gọi M là trung điểm của AB. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a.
Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 600. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp SABMN theo a
Vấn đề 3: Góc các bài toán liên quan
A.Kiến thức cần nhớ.
1. Góc giữa hai đường thẳng:
a. Khái niệm: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng a và b .
b. chú ý: góc giữa hai đường thẳng 
c. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b.
+ Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc thì 
+ Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì 
+ Nếu hai đường thẳng a và b không song song , không trùng nhau, và cũng không vuông góc với nhau. Khi đó ta xác định góc theo các bước sau:
Bước 1. Chọn điểm O trong không gian sao cho từ O có thể xác định được các đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b.
Bước 2. Trên đường thẳng a’ ta chọn điểm M (khác O) ; trên đường thẳng b’ ta chọn điểm N (khác O), sao cho ta có thể tính được dựa vào định lí cô sin trong tam giác OMN.
Bước 3. Kết luận góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc nếu hoặc nếu .
 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
a. khái niệm:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ()
+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì góc giữa d và () bằng .
+ Trường hợp nếu d và () không vuông góc với nhau thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên () chính là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ().
b. Chú ý: 
c. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng().
+ Nếu d và vuông góc với nhau thì góc của chúng 
+ Nếu d và song song với nhau thì:
 +Nếu d và không song song và cũng không vuông góc ta xác định như sau:
Bước 1. Xác định điểm O=dÇ(α) 
 Bước 2. Trên đường thẳng d ta chọn điểm A (Khác O) sao cho ta có thể xác định được hình chiếu H của A trên 
Bước 3. Kết luận góc giữa d và là: 
3. Góc giữa hai mặt phẳng.
 a. Khái niệm: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó
b. Chú ý: 
c. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì góc bằng 
+ Nếu hai mặt phẳng song song thì góc bằng 
+ Nếu hai mặt phẳng không song song và vuông góc thì ta xác định theo các bước sau:
Bước 1. 
Xác định giao tuyến d=(α)Ç(β) 
Bước 2. Lấy điểm A trên, Gọi H, O lần lượt là hình chiếu của A trên .Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) chính là góc .
B. BÀI TẬP MINH HỌA.
1. Hình có liên quan đến việc xác định góc giữa hai đường thẳng.
3.1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Giải:
+ Vì mặt bên SAB vuông góc với đáy, gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD). Khi đó 
+ Trong tam giác SAB ta có vuông tại S
+ Ta có (đvdt)
Vậy: 
* Tính cô sin của góc SM, DN:
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua M và song song với DN và cắt AD tại E. Gọi j là góc giữa hai đường thẳng SM và DN, khi đó:
+ Xét tam giác SAE vuông tại A, nên (1).
+ Xét tam giác MAE vuông tại A, nên (2).
Từ (1) và (2), suy ra tam giác SME cân tại E nên Þ
3.1.2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính côsin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. 
Giải.
* Tính thể tích khối chóp:
+ Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó 
+ Theo giả thiết, tam giác ABC vuông tại A nên: .
Xét tam giác A’AH vuông tại H nên .
Vậy 
* Gọi j là góc giữa hai đường thẳng A’A và 
B’C’. 
 Xét tam giác A’B’H vuông tại A’ nên , do đó tam giác BB’H cân tại B’.
Từ đó, ta có (vì A’A//BB’ và B’C’//BC). Suy ra 
2. Hình có liên quan đến việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
3.2.1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải.
+ Ta có HC là hình chiếu của SC trên mặt đáy (ABC) nên 
+ Xét DBHC, ta có: Þ
+Trong tam giác vuông SHC ta có:
Vậy: 
+ Kẻ Ax //BC. Gọi N, M lần lượt là hình chiếu của H trên các cạnh Ax và SN. Ta có BC//(SAN) và nên d(SA;BC)=d(B;(SAN))=. Ta có: do đó . Suy ra
+ Ta có ,
Vậy: 
Vấn đề 4: Khoảng cách
A.Kiến thức cần nhớ.
I . BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
 1.Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực hiện theo các bước sau :
 B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vuông góc d với H thuộc d
B2 : Tính độ dài OH 
 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=AB=2a, và 
Tính 
Tính và
 Giải:
a)
Gọi I là hình chiếu của O trên SC
Ta có 
Vì đồng dạng với nên . 
 Vậy 
b) Kẻ OH vuông góc với SB tại H, khi đó d(O;SB)=OH. Ta có mà nên . Vậy tam giác SOB vuông tại O. Do OH là đường cao của tam giác vuông nên 
- Ta có 
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB .
 a) Tính khoảng cách từ I đến CM
b) Tính khoảng cách từ S đến CM
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB=a, BC=2a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ngoài ra còn có SC vuông góc với BD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM=x với . Tính khoảng cách từ D đến BM theo a và x. Tìm các giá trị của xđẻ khoảng cách này có GTNN, GTLN
II . BÀI TOÁN 2. Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P)
 Tính khoảng cách từ một điểm M tới mặt phẳng (P) có thể thực hiện theo 4 phương pháp như sau:
Xác định trực tiếp
Khoảng cách d(M;(P))
Phương pháp đổi điểm
Phương pháp đổi đỉnh ( thể tích)
Phương pháp tọa độ trong không gian
 1. Phương pháp trực tiếp:
B1: Dựng OH với H là hình chiếu của O lên () bằng cách:
 ▪ Dựng mp(P) qua O vuông góc
 với () cắt () theo giao tuyến a
 ▪ Trong (P) dựng tại H
B2: Tính độ dài OH
 Bài mẫu 1. Khoảng cách từ chân đường 
vuông góc tới mặt phẳng
 Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, tam giác ABC không vuông tại B, C. 
Vẽ . Chứng minh:
 *Phân tích bài toán
Ta có sẵn (1)
Ta phải chứng minh: 
Thậtvậy
Từ ( 1) và (2) suy ra :
- Để tính AH ta sử dụng công thức 
Bài mẫu 2. Khoảng cách từ chân đường 
vuông góc tới mặt phẳng
 Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông tại B,
Vẽ . Chứng minh:
Ta có sẵn (1)
Ta phải chứng minh: 
Thậtvậy
Từ ( 1) và (2) suy ra :
- Để tính AH ta sử dụng công thức 
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABC, có 
độ dài các cạnh 
Tính d(A;(SBC))
 Giải
* Trong tam giác ABC ta có vậy tam giác vuông tại A.
Trong tam giác ABC hạ (1)
Ta phải chứng minh: 
Thậtvậy
Từ (1) và (2) suy ra:. Vậy d(A;(SBC))=AH
* Tính AH.
- Trong tam giác vuông ABC ta có 
- Trong tam giác vuông SAE ta có: 
Ví dụ 2 : Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến . Trên lấy hai điểm A, B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và AC=BD=AB. Tính khoảng cách từ A đên (BCD) theo a
 Giải 
- Trong tam giác ABC, hạ (1) 
- Ta cần chứng minh . Thật vậy ( vì ), (2)
- Từ (1) và (2) ta có . Vậy d(A, (BCD))=AH 
- Tính AH: trong tam giác ABC vuông tại A, AH chính là đường cao ứng với cạnh huyền 
 Vậy 
 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt
 bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc .Tính khoảng cách từ 
chân đường cao hình chóp đến mp(SCD)
 Giải
- Gọi H là trung điểm của AB suy ra SHAB HS (ABCD). Suy ra H là chân đường cao hạ từ S của hình chóp .
- SH (ABCD)CH là hình chiếu của SC xuống mặt phẳng (ABCD). Vậy góc giữa SC và đáy là góc 
- Gọi I là hình chiếu của H xuống DK, khi đó HISK (1)
- Gọi K là trung điểm CD. Ta có HK CD 
 Ta cần chứng minh IHCD, thật vậy CDHK,CDSH(2)
 Từ (1) và (2) suy ra: HI (SCD)
 Vậy HI là khoảng cách từ H đến mp(SCD)
- Trong tam giác vuông BHC vuông tại B
Tam giác SHC vuông tại H
Trong SHK vuông với HK = a , ta có:
 b. Bài tập tự luyện: 
Bài 1. (Bài 62-SBT). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, , BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mp(SBC) và mặt đáy là 600. Tính khoảng cách từ A đến mp(SCB)
Bài 2. (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết . Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a 
 2. Phương pháp đổi điểm: Tính khoảng cách từ M đến (P)
 Nếu điểm A là chân đường vuông góc (ta gọi là điểm dễ). Việc tính khoảng cách từ một điểm dễ đến một mặt phẳng được trình bày ở trên thông qua hai bài mẫu. Phương pháp đổi điểm đó là thay vì tính khoảng cách từ một điểm khó đến (P) ta chuyển về tính khoảng cách từ điểm dễ đến một mặt phẳng (P) sau đó suy ra khoảng cách cần tìm thông qua hệ thức tỉ lệ.
- Để sử dụng thạo phương pháp đổi điểm khi làm bài cần tìm điểm dễ. sau đó xem bài toán thuộc trường hợp nào trong 3 trường hợp sau:
TH1: Nếu AM//(P) thì d(M;(P))=d(A;(P))
TH2: Nếu AM không song song với (P) A,M cùng phía với (P) 
Gọi I là giao điểm của AM và (P). 
Vậy: 
TH3: Nếu AM không song song với (P)
 A,M ở hai phía với (P)
 - Gọi I là giao điểm của AM và (P). 
Vậy: 
 a . Các ví dụ:
Ví dụ 1: (ĐH 2013B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phảng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Giải
* Xác định khoảng cách;
- Gọi H là trung điểm của AB, vì tam giác SAB là tam giác đều nên ta có , mặt khác giả thiết: 
- Ta có AH//(SCD)
- Goi I là trung điểm CD, khi đó ta có , và 
- Trong tam giác vuông SHI hạ (1). Do (2)
Từ (1) và (2) ta có: vậy 
* Tính khoảng cách HK:
- Trong tam giác vuông SHI, ta có 
- Với SH là đường trung tuyến của tam giác đều nên và 
Vậy: 
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a. Cạnh bên AA’ = a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ B’ đến (AME)
Giải
- Vì E là trung điểm của BB’ 
Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi một vuông góc . 
- Hạ , ta có 
-Trong tam giác BEK hạ (1) mặt khác 
-Từ (1) và (2) 
Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME) bằng 
 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA = và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Tính khoảng cách từ trung điểm M của SC tới mặt phẳng (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mp (SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp (SAC)
 Giải
a) Ta có MO // SA MO vuông góc (ABCD)
b) Nhận xét rằng
Hạ AH vuông góc với SB 
Trong SAB vuông tại A ta có 
Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng 
Vì AO ( SBC ) = C nên
c) Vì BG ( SAC ) = N nên
Ta có 
 b . Bài tập tự luyện:
Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC)
Bài 2: (Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
III. BÀI TOÁN 3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song . Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song.
1 . Phương pháp:
 Để tính khoảng cách từ d đến
 () với d // () (hoặc khoảng cách từ () đến () với ()//()) ta tiến hành theo các bước:
B1: Chọn 1 điểm A trên d (hoặc điểm A trên ()) sao cho các khoảng cách ấy dễ tính nhất 
B2: Kết luận 
 (hoặc )
 a . Một số ví du::
Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD .A’B’C’D’có tất cả các cạnh đều bằng a và. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) . 
Giải
 Từ giả thiết suy ra các tam giác A’AD, BAD, A’AB là các tam giác đều. Suy ra tứ diện A’ABD là tứ diện đều.
 Khi đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của ABD đều.
 Suy ra khoảng cách giữa mp(ABCD) và mp(A’B’C’D’) chính là độ dài A’H.
Ta có: 
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình hộp là A’H = 
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a và các mặt phẳng (AA’B’), (AA’C’), (AB’C’) tạo với mặt đáy một góc . Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy (ABC) và (A’B’C’) . 
Giải
- Gọi H là hình chiếu của A xuống đáy (ABC). 
- Từ H hạ HM, HP, HP lần lượt vuông góc với B’C’, A’C’, A’B’
Ta dễ dàng chứng minh được Do đó, góc giữa các mặt phẳng (AA’B’), (AA’C’), (AB’C’) tạo với mặt đáy chính là các góc từ đó ta có 
 vậy hình chiếu của A chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’. ( do tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp)
- trong tam giác , ta có , mà 
 Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có SA = và vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD). Đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD=2a. Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC)
Giải
Vì tứ giác ABCD là nửa lục giác đều đường kính AD
 DA//BC AD// (SBC) 
Hạ AK vuông góc với BC ta được 
Hạ AH vuông góc với SK suy ra 
Do ABCD là nửa lục giác đều đường kính 
AD = 2a 
Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC) bằng 
 b . Bài tập tự luyện: 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, và SA vuông góc với đáy (ABC). Biết AC=2a, SA=a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, SB.
tính khoảng cách từ MP đến mặt phẳng (SAC)
Tính khoảng cách từ (MNP) đến (SAC)
Bài tập về nhà, ngày 03/04/2015
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. Kiến thức cần nhớ.
1. Định nghĩa đoạn vuông góc chung:
Đoạn MN được gọi là đoạn vuông chung của d và d’
2.Định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Thế nào là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau?
Khoảng cách giưã hai đường thẳng chéo nhau d và d’ kí hiệu d(d,d’) chính bằng độ dài đoạn vuông góc chung MN.
3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Cách 1: 
- Xác định đoạn vuông góc chung
- Tính độ dài đoạn vuông góc chung
Chú ý: Khi hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau, ta thường dùng cách 1.
Cách 2: 
- Dựng ( tìm ) mặt phẳng trung gian (P) chứa d và song song với d’
- Khi đó khoảng cách từ d đến d’ chính bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d’ đến (P)
- Khi đó: 
Cách 3:
- Dựng mặt phẳng trung gian (P) chứa d và vuông góc với d’.
- . Từ I kẻ 
Vậy ta có: 
Nên MH chính là đoạn vuông góc chung của d và d’.
II Bài tập minh họa.
Bài 1. Cho chóp tứ giác đều ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường AD và SB.
Giải.
Cách 1 : tính trực tiếp gọi I là trung điểm AD, d(AD;SB)=d(I;(SBC))
Cách 2: AD//BC nên AD //(SBC) vậy d(AD ;SB)=d(AD ;(SBC))=d(A;(SBC))sb vầ
Chú ý: Trong bài toán này, ta có mặt phẳng trung gian là (SBC) vì (SBC) chứa SB và song song với AD
Bài 2. (KA-2010) Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọ