Chuyên đề thảo luận môn Giải tích 11 - Chủ đề: Tổ hợp, chỉnh hợp và các phương trình tổ hợp - chỉnh hợp - Năm học 2015-2016

g 2,3,,6 và áp dụng quy tắc cộng, ta được số cách chọn 8 người thỏa mãn bài toán là 
 Thí dụ 2. Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” tại trường THPT Hùng Vương vừa qua ban giám khảo đã sử dụng ba loại sách gồm: 8 cuốn sách về Toán, 6 cuốn sách về Lí và 5 cuốn sách về Hóa. Mỗi loại dều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?
 Lời giải: ( sử dụng cách tính gián tiếp).
Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách một cách bất kì là .
Các cạnh chọn không đủ cả ba loại sách là:
Số cách chọn 7 trong số 11 cuốn sách Lí và Hóa là ( không có sách Toán).
Số cách chọn 7 trong số 13 cuốn sách Hóa và Toán là (không có sách Lí).
Số cách chọn 7 trong số 14 cuốn sách Toán và Lí là ( không có sách Hóa).
Số cách chọn 7 trong số 8 cuốn sách Toán là ( không có sách Lí và Hóa).
Vì mỗi cách chọn chỉ có sách Toán, tức là không có sách Lí và Hóa, thuộc cả hai phép chọn: không có sách Lí và không có sách Hóa nên số cách chọn phải tìm là
Lưu ý. Khi tính theo phương pháp gián tiếp, mỗi số hạng ứng với trường hợp không thỏa mãn bài toán được đặt sau dấu trừ. Số hạng đồng thời thuộc hai trường hợp không thỏa mãn bài toán được đặt sau dấu cộng ( bạn đọc tự suy luận cho số hạng đồng thời thuộc ba trường hợp không thỏa mãn bài toán).
 *Bài toán tổng quát 2: Có tất cả n vật, trong đó có m vật giống nhau trong hộp A, k vật giống nhau trong hộp B (m+k<n), các vật còn lại đôi một khác nhau. Khi đó số cách sắp xếp n vật thành một hàng ngang là .
 Thí dụ 3: Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3 bi đỏ đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi?
 Lời giải:
Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì sô hoán vị chúng tạo thành là . Nhưng các hoán vị của 5 bi xanh và các hoán vị của 4 bi trắng cho cùng một cách sắp xếp đối với 12 viên bi nên số cách sắp xếp phải tìm là
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: 166320 cách.
 *Bài toán tổng quát 3: Cho tập hợp A có m phần tử, tập hợp B có k phần tử . Số cách xếp m+k phần tử trên theo vòng tròn sao cho không có hai phần tử của B xếp cạnh nhau là
 Thí dụ 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? (Nếu có hai cách sắp xếp mà cách xếp này quay quanh tâm vong tròn được cách sắp xếp kia thì ta coi chỉ là một cách sắp xếp)
 Lời giải:
 Giả sử đã xếp chỗ cho 5 học sinh nam. Vì ba học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 3 trong năm vị trí xen kẽ giữa các họ sinh nam, số cách chọn là . Vì hai cách xếp vị trí cho 8 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 4 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 4!
Theo quy tắc nhân, số khả năng phải tìm là 4! (cách)
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: 1440 cách.
 Thí dụ 5: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật?
 Lời giải:
 Giả sử 100 đồ vật được xếp thành một hàng ngang, giữa chúng có 99 khoảng trống. Đặt một cách bất kì 3 vạch vào 3 trong số 99 khoảng trống đó, ta được một cách chia 100 đồ vật ra thành 4 phần để lần lượt gán cho 4 người. Khi đó mỗi người được ít nhất một đồ vật và tổng số đồ vật của 4 người bằng 100, thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
 Vậy số cách chia là (cách)
Lưu ý. Bằng cách giải tương tự như trên, ta có thể chứng minh rằng, phương trình
 (1)
có tính chất:
Với ; thì số nghiệm của phương trình (1) trong tập hợp các số nguyên dương là 
Với thì số nghiệm của phương trình (1) trong tập hợp các số tự nhiên là 
Hướng dẫn giải:
s với , rồi áp dụng kết quả nêu trên
 Thí dụ 6: Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho ba người sao cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật?
 Lời giải:
 Giả sử có 3 người là A,B,C.
Với cách chọn người A được 2 đồ vật ta có:
Số cách chọn 2 trong 8 đồ vật cho người A được 2 đồ vật là , sau đó số cách chọn 3 trong số 6 đồ vật còn lại cho người B được 3 đồ vật là , 3 đồ vật còn lại chia cho người C. Chú ý rằng đổi thứ tự người B và người C không cho cách chọn mới. Như vậy sẽ có cách chọn mà người A được 2 đồ vật, mỗi người B,C được 3 đồ vật.
Lần lượt cho người B, người C được 2 đồ vật thì theo quy tắc nhân, số cách chia phải tìm là (cách)
 Vậy số cách chia thỏa mãn là: 1680 cách.
Lưu ý. Khi giải bài toán trên, nhiều bạn cho đáp số sai là hoặc . Trường hợp thứ nhất, bạn đã coi vai trò của người được 2 đồ vật và người được 3 đồ vật như nhau (!). Trường hợp thứ hai, bạn đã coi vai trò của hai người cùng được 3 đồ vật khác nhau (!)
Bài tập
Câu 1. Có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật đôi một khác nhau cho hai người, sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật?
Đáp số: 
Câu 2: Có 5 cuốn sách giáo khoa giống nhau và 3 cuốn sách tham khảo đôi một khác nhau được đem làm giải thưởng cho 8 học sinh sao cho mỗi người được 1 cuốn sách. Tính số cách nhận giải thưởng của các học sinh trên.
Đáp số: 
Câu 3. Có bao nhiêu cách chia 6 người ra thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người, trong mỗi trường hợp sau:
 a) Phân biệt thứ tự các nhóm là: nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3
 b) Không phân biệt thứ tự của các nhóm?
Đáp số: a) 
b) 
Câu 4. Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật?
Hướng dẫn:
 TH1: Mỗi người được 2 đồ vật 
 TH2: Một người được 1, một người được 2, một người được 3 đồ vật 
 TH3: Hai người mỗi người được 1, một người được 4 
Sử dụng quy tắc cộng, ta được 540 cách chia.
Câu 5: Đội thanh niên xung kích của trường THPT Hùng Vương có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.
Đáp số : 270
Câu 6: Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 7 cuốn sách Lý giống nhau và 8 cuốn sách Hóa giống nhau được đem làm giải thưởng cho 10 em học sinh sao cho mỗi người được hai cuốn sách khác loại. Hỏi số cách chọn giải thưởng dành cho 10 em học sinh giỏi nói trên.
 Đáp số : 2520
Câu 7 . Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn Văn học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội hoạ ( Các cuốn đôi một khác nhau) . Thầy giáo muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn sao cho sau khi tặng xong, một trong 3 thể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?
 Đáp số: 579600 
Câu 8: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi trong hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn số bi lấy ra không đủ cả ba màu.
Đáp số : 645
Câu 9: Một trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em học sinh giỏi đi trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em không có cặp anh em nào sinh đôi.
Đáp số : 19408
Câu 10: Trong 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ gồm 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
Đáp số : 7560
Dạng 2. Các bài toán hình học 
Các ví dụ
 Ví dụ 1: Người ta cần xây một cầu thang từ vị trí A đến vị trí B.
Khoảng cách AC bằng 4,5m, khoảng cách CB bằng 1,5m. chiều cao mỗi bậc thang là 30cm, chiều rộng của mỗi bậc là 50cm.Hỏi có bao nhiêu phương pháp xây?
 Lời giải: 
 Từ giả thiết, ta thấy cầu thang phải có =5 bậc. 
Mặt khác, vì 4,5:0,5=9  nên có tất cả 10 chỗ có thế xây bậc.
Cần chọn 5 chỗ trong 10 chỗ đó để xây thang.
Vì vậy có tất cả =252 cách xây.
Ví dụ 2: Cho đa giác đều ...(n≥2,n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết số tam giác có 3 đỉnh trong 2n điểm ,,...nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm ,,.... Tìm n.
 Lời giải: 
Số tam giác có 3 đỉnh trong 2n điểm ,,... là Số đường chéo đi qua tâm O của đa giác đều A1A2...A2n là n 
 Hai đường chéo đi qua tâm O thì có tương ứng một hình chữ nhật nên số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2,...,A2n là . Từ giả thiết ta có: 
=20  =20 2n −18n +16n=0 n=8 hoặc n=1(loại)
Vậy n=8 thỏa mãn
2. Bài tập luyện tập
Câu 1 Trên một đường tròn có 15 điểm.Có thể dựng được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng thuộc tập 15 điểm đó.?
 b) Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi 15 cạnh nội tiếp đường tròn đó
 Đáp số : 455 tam giác.
Câu 2: Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) ,,.... Xét tất cả các tam giác mà 3 đỉnh của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải cạnh của thập giác?
 Đáp số : 50
Câu 3: Cho đa giác lồi có n cạnh.
a) Tính số đường chéo của đa giác. 
b) Tính số giao điểm các đường chéo.
 Đáp số
Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh là . Do đó số đường chéo là −n
Cứ 4 điểm bất kỳ ta sẽ được 2 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm. Do đó số giao điểm là 
Câu 4: Cho đa giác đều (H) có 20 đỉnh
a)Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào của H
b)Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có 1 cạnh của H
Đáp số: a)800 b) 320
 Câu 5: Có 6 đường thẳng song song và 12 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành ? 
Đáp số: 990 hình bình hành.
Câu 6: Có hai đường thẳng song song d1 và d2.Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho
Đáp số: 1485
Câu 7: Cho hai đường thẳng song song d1, d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho .Tìm n.?
Đáp số: 20
Câu 8: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a có 10 điểm phân biệt và trên b có 13 điểm phân biệt. 
 Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng đã cho. 
Đáp số: 3510 .
Câu 9: Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi 15 cạnh nội tiếp đường tròn đó
Đáp số: 90
Câu 10 . Cho hai đường thẳng song song (d1) và (d2). Trên đường thẳng (d1) lấy 17 
điểm, trên đường thẳng (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Hãy tính số tam giác có các đỉnh là các điểm trong số các điểm đã lấy hai đường thẳng nói trên.
Đáp số: 5950
 II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ
 Trong bài này ta quy ước :
 Khi nói cho tập hợp gồm n chữ số, thì đó là các chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp 0, 1, ...,9 với n 10
 Một số có m chữ số thì đó là số tự nhiên có m chữ số và chữ số đầu khác 0.
Khi giải các bài toán loại này ta thường áp dụng các mệnh đề sau đây :
 Mệnh đề 1. Giả sử ta viết các chữ số theo hàng ngang và m, n là các số nguyên dương với m n thì
 1.1) Số cách viết m chữ số trong n chữ số khác nhau vào m vị trí định trước bằng .
 1.2) Số cách viết m chữ số phân biệt đã cho vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng (ở n-m vị trí còn lại chưa xét sự thay đổi chữ số).
 1.3) Số cách viết m chữ số giống nhau vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng = .
 Mệnh đề 2. Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó có chữ số 0, số các số có m chữ số khác nhau tạo thành từ chúng bằng (n-1). 
Sau đây là một số dạng toán thường gặp.
 DẠNG 1. Số tạo thành chứa các chữ số định trước
 Bài toán tổng quát 1. Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau (n 10), trong n chữ số đã cho có chữ số 0. Từ chúng có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên m chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với k < m n?
Cách gải. Số tạo thành gồm m chữ số có dang . Gọi tập hợp k chữ số định trước là X.
Trường hợp 1. X chứa chữ số 0
Ta có m - 1 cách chọn vị trí cho chữ số 0 ; số cách viết k - 1 chữ số khác 0 thuộc X vào k - 1 vị trí trong m - 1 vị trí còn lại bằng (theo mệnh đề 1.2) ; số cách viết m - k trong số n - k chữ số không thuộc X vào m - k vị trí còn lại bằng (theo mệnh đề 1.1).
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 1 bằng :
	S= (m -1). ..
Trường hợp 2. X không chứa chữ số 0
Ta tính theo các bước :
Bước 1. Tính các số tạo thành chứa chữ số 0.
Lần lượt có m - 1 cách chọn vị trí cho chữ số 0 ; số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m - 1 vị trí còn lại bằng (theo mệnh đề 1.2) ; số cách viết m - k - 1 trong số n - k - 1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m - k - 1 vị trí còn lại bằng (theo mệnh đề 1.1)
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành chứa chữ số 0 bằng :
	= (m - 1) ..
Bước 2. Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0.
Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m vị trí bằng (theo mệnh đề 1.2) ; số cách viết m - k trong số n - k - 1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m - k vị trí còn lại bằng (theo mệnh đề 1.1).
Theo quy tắc nhân, ta được số các số đó bằng = ..
Bước 3. Theo quy tắc cộng, ta được số các số tạo thành trong trường hợp thứ hai bằng= + = (m-1). .+..
 Thí dụ 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt đồng thời ba chữ số 0,1,2?
 Lời giải. Gọi số tạo thành là .
Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí : ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 ; số cách chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là ; số cách chọn 2 trong 7 chữ số còn lại (khác 0, 1, 2) cho 2 vị trí còn lại là .
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là 4. .=2016.
 Thí dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt các chữ số 1 và 2?
 Lời giải. 
Gọi số tạo thành là . Xét các trường hợp :
Trường hợp 1. Trong số tạo thành có chữ số 0. Theo kết quả thí dụ 1, ta có
Số đó là 4..=2016.
Trường hợp 2. Trong số tạo thành không có chữ số 0.
Sos tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí : số cách chọn 2 trong 5 vị trí cho hai chữ số 1 và 2 là ; số cách chọn 3 trong 7 chữ số còn lại (khác 0, 1, 2) cho 3 vị trí còn lại là .
Theo quy tắc nhân, số các số tạo thành trong trường hợp 2 là .=4200.
Theo quy tắc cộng, ta được số phải tìm là 2016 + 4200=6216.
 DẠNG 2. Số tạo thành chứa hai chữ số định trước không cạnh nhau
 Bài toán tổng quát 2. Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau 2 n 10 .Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên có m ( m n ) chữ số khác nhau sao cho trong đó có hai chữ số định trước không đứng cạnh nhau?
 Cách giải . Số tạo thành có dạng và hai chữ số định trước là (thuộc n chữ số đã cho). Ta xét các trường hợp của giả thiết về chữ số x, y và chữ số 0 như sau:
Trường hợp 1. Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số định trước x, y khác 0.
Bước 1. Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trước : có n - 1 cách chọn chữ số cho ; số cách chọn m - 1 trong n - 1 chữ số còn lại cho m - 1 vị trí còn lại là (Mệnh đề 1.1). Do đó số cách số tạo thành là
 = (n - 1). 
Bước 2. Tính số các số có hai chữ số x, y cạnh nhau theo thứ tự và 
Xét trường hợp x, y cạnh nhau theo thứ tự 
Với = .Khi đó mỗi số ứng với một chỉnh hợp chập m - 2 của n - 2 chữ số khác x, y . Theo Mệnh đề 1.1, số các số đó bằng = .
Với . Lần lượt ta có n - 3 cách chọn chữ số cho khác 0, x, y ; m - 2 cách chọn vị trí cho ; số cách chọn m - 3 trong n- 3 chữ số còn lại khác , x, y cho m- 3 vị trí còn lại là theo (Mệnh đề 1.1). Theo quy tắc nhân, số các số đó bằng = (n - 3).(m - 2). 
Từ hai trường hợp trên, ta được số các số có chứa bằng + 
Tương tự có + số có chứa.
Bước 3. Vậy số các số tạo thành trong trường hợp thứ nhất bằng S = - 2.( + ) = (n - 1). - 2.( + (n - 3).(m - 2). ).
Trường hợp 2. Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số định trước x, y bằng 0.
Bước 1. Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số x, y định trước bằng
	 =(n - 1). 	
Bước 2. Tính số các số tạo thành trong trước hợp thứ hai là S= - ( + ).
Trường hợp 3: Giả thiết n chữ số đã cho không có chữ số 0
Tương tự được S= - 2(m - 1). 
Thí dụ 3. Cho tập hợp gồm 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 .
Từ chúng viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau ?
 Lời giải. 
Gọi số tạo thành là .
Trước hết ta tính số tạo thành bất kì.
Số cách chọn chữ số cho là 5 ; số cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại của số tạo thành là . Theo quy tắc nhân, ta được số là 5.=300. 
Bây giờ ta tính số tạo thành sao cho trong đó có hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau.
 Giả sử 1 và 2 xếp theo thứ tự 12.
Nếu =12 : Số cách chọn 2 trong 4 chữ số còn lại cho 2 vị trí còn lại của số tạo thành là
Nếu 12 : Số cách chọn vị trí cho 12 là 2 ( hoặc ) ; số cách chọn chữ số cho là 3; số cách chọn 1 trong 3 chữ số cho vị trí còn lại của số tạo thành là = 3; ta được số là 2.3.3 = 18.
Theo quy tắc cộng, số tạo thành sao cho trong đó có chứa 12 là 12 + 18 = 30.
 Tương tự, số tạo thành sao cho trong đó có chứa 21 là 30.
Vậy số tạo thành sao cho không có khai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là 
	300 - 2.30 - 240.
.
DẠNG 3. Số tạo thành chứa chữ số lặp lại
Bài toán tổng quát 3. Cho tập hợp gồm n chữ số (3 n 10 ). Từ chúng viết được bao nhiêu số có m chữ số (n m 3) sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số khác xuất hiện q lần và một chữ số khác với hai chữ số trên với k + q + 1 = m ?
Cách giải, Ta xét hai bài toán nhỏ dưới đây.
	1) Giả thiết n chữ số đã cho có chữ số 0
Bước 1. Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta thấy:
Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có Ckm cách chọn k trong m vị trí cho chữ số đó. Sau đó có n - 1 cách chọn chữ số xuất hiện q lần (khác với chữ số trên) và có Cqm-k cách chọn q trong m - k vị trí còn lại cho chữ số đó. Cuối cùng có n - 2 cách chọn chữ số vào vị trí còn lại.
Theo quy tắc nhân, ta tính được số các số đó bằng S=n(n-1)(n-2) Ckm. Cqm-k
Bước 2. Vì vai tró của n chữ số như nhau nên dố các số có chữ số đứng đầu khác thỏa mãn bài toán bằng = (n-2) Ckm. Cqm-k
2. Giả thiết n chữ số đã cho không có chữ số 0
Bạn đọ tự giải được S = n. Ckm.(n - 1). Cqm-k.( n - 2)=n(n - 1)(n - 2) Ckm. Cqm-k
Ta có thể mở rộng bài toán tổng quát cho 1 chữ số trong đó mỗi chữ số xuất hiện lần lượt lần ( = m).
 Thí dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện ba lần, một chữ số khác xuất hiện hai lần và một chữ số khác với hai chữ số trên?
 Lời giải.
Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau.
Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có C36 cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất hiện 2 lần và có C23 cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó.Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng. Ta được số các số đó bằng.
Vì vai trò của 10 chữ số 0,1,.......9 như nhau nên số các số có chữ số đầu trái là 0 bằng S, do đó số các số có chữ số đầu trái khác 0 thỏa mãn bài toán bằng.
	S= 648. C36. C23	 = 38880.
DẠNG 4. Tính số tự nhiên chẵn
Thí dụ 5. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
 Lời giải. 
 Gọi số tạo thành là .
Trường hợp 1. = 0 : Số cách chọn 4 trong 9 chữ số còn lại cho 4 vị trí còn lại là = 3024.
Trường hợp 2. 0 : Lần lượt ta có
4 cách chọn chữ số chẵn cho a5 ; sau đó số cách chọn chữ số cho a1 là 8; tiếp theo số cách chọn 3 trong 8 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại l à A38.
Ta được số là 4.8.A83 = 10752.
Theo quy tắc cộng, ta được số là 10752 + 3024 = 13776.
Nhận xét. Số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau (ứng với 0 ) là 4.8.A83 = 10752.
DẠNG 5. Tính số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ
Thí dụ 6. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai chữ số lẻ?
 Lời giải. 
 Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.
Trường hợp 1. Tró số tạo thành có chữ số 0. Lần lượt ta có
Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; số cách chọn thêm 2 trong 4 chữ số chẵn là C24; số cách vị trí cho chữ số 2 trong 5 chữ số lẻ là C25; với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ chọn ra có 4! Hoán vị cách xếp vào bốn vị trí còn lại của số tạo thành. Ta được số là 4. C24.C25. 4! = 5760.
Trường hợp 2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Lần lượt ta có
Số cách chọn trong 4 chữ số chẵn khác 0 là C34; số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là C25; với 5 chữ số chọn ra có 5! Hoán vị cách xếp vào 5 vị trí của số tạo thành. Ta được số là C34. C25. 5! = 4800.
Theo quy tắc cộng, ta được số tạo thành là 5