Chuyên đề Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng
Để viết pt măt phẳng có 2 cách cơ bản :
. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: 
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT =(A;B;C)
	A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
	Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) VTPT Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q) VTPT P = Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d
- Từ (d) VTCP d = (A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT P=d =(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt P.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT Q ; VTPT R
- Vì (P) (Q) và (R) VTPT P và P R
Chọn P = [Q; R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT P = [Q; R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính , và = [, ]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT P= = [, ]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
- Tính , vtpt Q và tính [,Q]
- Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn P=[,Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT Q của mp (Q); VTCP d của đường thẳng (d).
- Tính [d,Q]
- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT P = [d,Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà 
- Mp (P) đi qua I và nhận làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)
- Tính và [d, ]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT P =[d, ]. 
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ()
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Từ () VTCP và tính [d, ]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT = [d, ].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Từ (Q) VTPT Q và tính [d, Q]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT =[d, Q].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 
( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì (d) nằm trong (P) d. P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt()một góc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Tính sin ((P),( )) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất 
- Gọi H là hình chiếu của A lên (d) 
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH 
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max AK = AH KH
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= Rtìm được D' 
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm 
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = và diện tích S = tính r.
- d(I,(P)) = (1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP d và điểm M (d)
- d (P) d. P=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = và diện tích S = tính r.
- Vì d (P) d. P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0, 
 chọn M trên đường thẳng d.
 =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r = để r min d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IKIh ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH
- PT mp(P) đi qua H và nhận làm VTPT
Phương trình đường thẳng
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP =(a,b,c)
PP: phương trình tham số của đường thẳng d là:
 (d): với t R 
* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính 
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ()
- Từ pt() VTCP 
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)
- Tìm VTPT của mp(P) là P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP d = P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)
- Từ (d1),(d2)=> tính [,].
- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP d= [,]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP d= [,]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp 
(P):Ax + By + Cz + D = 0
(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
- Từ (P) và (Q) P ,Q
- Tính [P ,Q]
- Xét hệ .
Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP d =[P ,Q].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
 - Hình chiếu cần tìm d' = (P)(Q)
Cách 2: + Tìm A = ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
 + Lấy M và xác định hình chiếu H của M lên (P)
 + Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: 
Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
 * Tìm B = 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
 - Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 
 - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 
Cách 1 : - Viết pt mp qua A và vuông góc d1 
 - Tìm giao điểm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp qua A và vuông góc d1
 * Viết pt mp qua A và chứa d1
 * Đường thẳng cần tìm d = 
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp, cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với 
 - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
 - Đường thẳng cần tìm d = 
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với 
 * Tìm B = 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
 - Tìm giao điểm A=d1và B=d2
 - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'.
 * Tìm giao điểm I' = d'
 * Tìm VTCP của d' và VTPT của (P) và tính 
 * Viết ptđt d qua I và có VTCP 
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : 
 - Gọi , 
 và 
 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
 - Ta có hệ .
 - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 .
 * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
 * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
 * Đường thẳng d = 
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 .
 - Viết pt mp qua A và vuông góc d1 
 - Tìm giao điểm B = 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc (= 300, 450, 600) 
 * Gọi VTCP của d là 
 * Vì =>phương trình (1)
 Vì => phương trình (2)
 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc thì có)
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc .
 - Gọi VTCP của d là 
 - Vì d//(P) nên => phương trình (1).
 - Vì nên có phương trình (2).
 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
 =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp 
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc .
 - Gọi VTCP của d là 
 - Vì d(P) nên => phương trình (1).
 - Vì nên có phương trình (2).
 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. 
 =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp 
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.
 * Gọi VTCP của d là 
 * Vì d nên => phương trình (1).
 * Vì => phương trình (2).
 *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. 
 =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp