Chuyên đề: Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện

CB
A
 Giải
ABDV đều cạnh a 
2
ABD
a 3S
4
⇒ =
2
ABCD ABD
a 3S 2S
2
⇒ = =
ABB'V vuông tạiB oBB' ABt an30 a 3⇒ = =
 Vậy 
3
ABCD
3aV B.h S .BB'
2
= = =
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết 
A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ
 ĐS: 
3a 2V
16
= 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết 
BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
 ĐS: 
3a 3V
2
= 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp
với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . 
Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: AB' a 3= ;
3a 3V
2
= 
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết 
AC = a và ¼ oACB 60= biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . 
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: 3 6V a= , S = 
23a 3
2
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .
 Tính thể tích lăng trụ ĐS: 
332aV
9
=
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C
hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .
 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs: 
3a 2V
8
=
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của
ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o.
 Đs:1)
32a 6V
9
= ;2)
3a 3V
4
= ;3)
34a 3V
9
=
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và 
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đs: 1)V = 
3a 3
16
 2)V = 
3a 2
8
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một
đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng
trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' =
AC' = CA' = 2 2 2a b c+ +
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc
đường chéo. Chứng minh rằng 2 2 2sin x sin y sin z 1+ + = .
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 
 600 .Tính thể tích lăng trụ.
C'
B'
A'
C
B
A
o60
Lời giải:
Ta có A'A (ABC)& BC AB BC A'B⊥ ⊥ ⇒ ⊥
 Vậy ¼ ogóc[(A 'BC),(ABC)] ABA' 60= =
0ABA' AA' AB.tan 60 a 3⇒ = =V
 SABC = 
21 aBA.BC
2 2
=
 Vậy V = SABC.AA' = 
3a 3
2
 Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt 
 (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. 
 Tính thể tích khối lăng trụ.
x
o30
I
C'
B'
A'
C
B
A
Giải: ABCV đều AI BC⇒ ⊥ mà AA' (ABC)⊥
nên A'I BC⊥ (đl 3 ⊥ ). 
 Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =¼A'IA = 30o
 Giả sử BI = x 3
2
32 xxAI ==⇒ .Ta có 
xxAIAIIAAIA 2
3
32
3
230cos:':' 0 ====∆
 A’A = AI.tan 300 = xx =
3
3.3
 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 2=⇒ x
 Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3
 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng 
 (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
a060
O
A'
D'
B'
C'
C
A
D
B
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nênOC BD⊥
CC' ⊥ (ABCD) nên OC' ⊥ BD (đl 3 ⊥ ). Vậy
góc[(BDC');(ABCD)] = ¼COC' = 60o 
 Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 
OCC'V vuông nên CC' = OC.tan60o = a 6
2
 Vậy V = 
3a 6
2
 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng 
 (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một 
 góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
2a
o
30
o60
D'
C'B'
A'
D
C
B
A
Ta có AA' (ABCD)⊥ ⇒ AC là hình chiếu
của A'C trên (ABCD) . 
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼ oA'CA 30=
BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A'B (đl 3 ⊥ ) . 
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼ oA'BA 60=
A'AC ⇒V AC = AA'.cot30o = 2a 3
A'AB ⇒V AB = AA'.cot60o = 2a 3
3
2 2 4a 6ABC BC AC AB
3
⇒ = − =V
 Vậy V = AB.BC.AA' = 
316a 2
3
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy
ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ
nhật. Đs: 
32a 2V
3
=
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a
biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a
biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: 3V a 2=
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a
và ¼ oBAC 120= biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: 
3a 3V
8
=
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB
= h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: 
3h 2V
4
=
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
 Đs: 1) 3V a 3= ; 2) V = 
3a 3
4
 ; V = 3a 3
 Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính 
 thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
 Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V = 
316a
3
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
 Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
 Đs: 1) 
3a 6
2
V = ; 2) V = 3a ; V = 3a 2
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A
= 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a2
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
 Đs: 1) 
33a 3V
4
= ; 2) V = 
33a 2
8
 ; V = 
33a
2
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a
 Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o
3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300
 Đs: 1) 3 2V 8a= ; 2) V = 3 115a ; V = 316a
4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o .
 Tính thể tích lăng trụ.
Ho
60
a
B'
A' C'
C
B
A
Lời giải:
 Ta có C'H (ABC) CH⊥ ⇒ là hình chiếu 
của CC' trên (ABC)
 Vậy ¼ ogóc[CC',(ABC)] C'CH 60= =
0 3aCHC' C'H CC'.sin 60
2
⇒ = =V
 SABC = 
2 3a
4
= .Vậy V = SABC.C'H = 
33a 3
8
Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
H
O
o60
C'
A
a
B'
A'
C
B
Lời giải:
 1) Ta có A'O (ABC) OA⊥ ⇒ là hình 
chiếu của AA' trên (ABC)
 Vậy ¼ ogóc[AA',(ABC)] OAA' 60= =
 Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt 
bên của lăng trụ)
 AO BC⊥ tại trung điểm H của BC nên
BC A'H⊥ (đl 3 ⊥ )
BC (AA'H) BC AA'⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà AA'//BB' 
nên BC BB'⊥ .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.
2) ABCV đều nên 2 2 a 3 a 3AO AH
3 3 2 3
= = =
oAOA' A'O AO t an60 a⇒ = =V
 Vậy V = SABC.A'O = 
3a 3
4
 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với 
 AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy 
 những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
H
N
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Lời giải:
Kẻ A’H )(ABCD⊥ ,HM ADHNAB ⊥⊥ ,
ADNAABMA ⊥⊥⇒ ',' (đl 3 ⊥ )
¼ ¼o oA'MH 45 ,A'NH 60⇒ = =
Đặt A’H = x . Khi đó 
A’N = x : sin 600 = 
3
2x
AN = HMxNAAA =−=−
3
43''
2
22
Mà HM = x.cot 450 = x
Nghĩa là x = 
7
3
3
43 2
=⇒
− xx
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x 
 = 33. 7. 3
7
=
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp
với đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 3a 2
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên
bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c v༠oBAD 30= và biết cạnh
bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
 Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' 
cách đều A,B,C biết AA' = 2a 3
3
.Tính thể tích lăng trụ. Đs: 
3a 3V
4
= 
 Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có 
 hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb 
 BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs: 
33a 3V
8
=
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a
hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1) 
2a 3S
2
= 2) 
33a 3V
8
=
 Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông
góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2) 
3 3aV
8
=
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu
của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và
2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o
 Đs: 
327aV
4 2
=
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của
A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau
một góc 60o .
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
3) Tính thể tích của hộp. Đs: 2) 2 2ACC'A' BDD'B'S a 2;S a= = . 3) 
3a 2V
2
=
Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc 
A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy
biết BB' = a.
 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
 Đs: 1) 60o 2) 
3
23aV &S a 15
4
= =
LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1) Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) 
 và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
_
\
/
/
a
B
S
C
A Lời giải:
 Ta có 
(ABC) (SBC)
(ASC) (SBC)

⊥
⊥ AC (SBC)⇒ ⊥ 
Do đó 
2 3
SBC
1 1 a 3 a 3V S .AC a
3 3 4 12
= = =
 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với 
 AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 
2)Tính thể tích hình chóp .
ao60
S
C
B
A
Lời giải:
1) SA (ABC) SA AB &SA AC⊥ ⇒ ⊥ ⊥
 mà BC AB BC SB⊥ ⇒ ⊥ ( đl 3 ⊥ ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
 2) Ta cóSA (ABC) AB⊥ ⇒ là hình chiếu 
của SB trên (ABC).
 Vậy góc[SB,(ABC)] = ¼ oSAB 60= .
ABCV vuông cân nên BA = BC = 
a
2
 SABC = 
21 aBA.BC
2 4
= 
o a 6SAB SA AB.t an60
2
⇒ = =V
Vậy 
2 3
ABC
1 1 a a 6 a 6V S .SA
3 3 4 2 24
= = = 
 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA 
 vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.
 Tính thể tích hình chóp .
a
o60
M
C
B
A
S Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác
ABC đều nên AM ⊥ BC⇒ SA ⊥ BC (đl3 ⊥ ) .
 Vậy góc[(SBC);(ABC)] = ¼ oSMA 60= .
Ta có V = ABC
1 1B.h S .SA
3 3
=
o 3aSAM SA AMtan60
2
⇒ = =V
Vậy V = 
3
ABC
1 1 a 3B.h S .SA
3 3 8
= =
 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA 
 vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải: 1)Ta có SA (ABC)⊥ và
CD AD CD SD⊥ ⇒ ⊥ ( đl 3 ⊥ ).(1)
 Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = ¼SDA = 60o .
SADV vuông nên SA = AD.tan60o = a 3
Vậy 2
3
ABCD a
1 1 a 3V S .SA a 3
3 3 3
= = = 
 2) Ta dựng AH SD⊥ ,vì CD ⊥ (SAD) (do (1) )
nên CD ⊥ AH⇒ AH (SCD)⊥ 
 Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
Ha
D
CB
A
S
o60
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4SAD
AH SA AD 3a a 3a
⇒ = + = + =V
 Vậy AH = a 3
2
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với 
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. 
 Tính thể tích hình chóp . Đs: V = 
3a 2
6
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam
giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp
SABC . Đs: 
3h 3V
3
=
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết
SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh
rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp. 
 Đs: 
3a 3V
27
=
 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm,
 BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d = 
12
34
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc
¼ oBAC 120= , biết SA (ABC)⊥ và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối
chóp SABC. Đs: 
3aV
9
=
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết 
SA ⊥ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.
 Đs: 
3a 3V
48
=
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng 
SA ⊥ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a
Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3
 Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A 
 bằng 60o và SA ⊥ (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.
 Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: 
3a 2V
4
=
 Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B 
 biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o 
 Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs: 
3a 6V
2
=
 Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp 
 trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD 
 một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: 
33RV
4
=
2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
 Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
a
H
D
C
B
A
S
Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB.
SABV đều SH AB⇒ ⊥
mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD)⊥ ⇒ ⊥
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
2) Ta có tam giác SAB đều nên SA = a 3
2
suy ra 
3
ABCD
1 a 3V S .SH
3 6
= =
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , 
(ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
o60
a
H D
C
B
A Lời giải:
 Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD) , mà
(ABC) ⊥ (BCD) ⇒ AH (BCD)⊥ .
 Ta có AH ⊥ HD⇒ AH = AD.tan60o =a 3
& HD = AD.cot60o = a 3
3
BCD ⇒V BC = 2HD = 2a 3
3
suy ra
 V = 
3
BCD
1 1 1 a 3S .AH . BC.HD.AH
3 3 2 9
= =
 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
 BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 
450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
45
I
J
H
A
C
B
S Lời giải:
 a) Kẽ SH ⊥ BC vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥
mp(ABC). 
 Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⇒ 
SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết ¼ ¼ oSIH SJH 45= = 
 Ta có: HJHISHJSHI =⇒∆=∆ nên BH là 
đường phân giác của ABCV ừ đó suy ra H là trung 
điểm của AC.
b) HI = HJ = SH =
2
a
⇒ VSABC=
12
.
3
1 3aSHS ABC =
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại 
 S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
3a 3V
24
=
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác 
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với 
(ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs: 
3aV
12
=
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼ ¼o oBAC 90 ;ABC 30= = ; SBC là tam giác đều cạnh a và 
(SAB) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
2a 2V
24
=
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h
và (SBC) ⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp 
SABC. Đs: 
34h 3V
9
=
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng 
vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs: 
3a 6V
36
=
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều 
có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
 2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: 
34hV
9
=
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể 
tích hình chóp SABCD. Đs: 
3a 3V
4
=
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥
(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích 
hình chóp SABCD. Đs: 
38a 3V
9
= 
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác 
SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp 
SABCD. Đs: 
3a 5V
12
=
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = 
a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể 
tích khối chóp SABCD . Đs: 
3a 3V
2
=
3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. 
 Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác 
đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
a
2a
HO
C
B
A
S
Lời giải:
 Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC
suy ra OA = OB = OC
 Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên 
 AO = 2 2 a 3 a 3AH
3 3 2 3
= =
2
2 2 2 11aSAO SO SA OA
3
⇒ = − =V
a 11SO
3
⇒ = .Vậy 
3
ABC
1 a 11V S .SO
3 12
= =
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
 Dựng SO ⊥ (ABCD)
 Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD là
hình thoi có đường tròn gnoại tiếp
nên ABCD là hình vuông .
 Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2
aO
D
C
B
A
S
nên ASCV vuông tại S 2
2
aOS⇒ =
⇒ 
3
21 1 2 2.
3 3 2 6ABCD
a aV S SO a= = =
 Vậy 
3a 2V
6
=
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
aI
H
O
M
C
B
A
D
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của ABC∆ ( )DO ABC⇒ ⊥
1 .
3 ABC
V S DO=
2 3
4ABC
aS = , 2 3
3 3
aOC CI= =
 2 2ô ó :DOC vu ng c DO DC