Chuyên đề Ôn tập về số tự nhiên

ột chữ số ở số chia thì thương không đổi, số dư giảm hơn trước 100 đơm vị. Tìm số bị chia và số chia lúc ban đầu.
4. Lũy thừa. Phối hợp các phép tính.
Bài 26. Tính:
410.815 b. 415.530 c. 2716:910
d. e. 
Bài 27. Tính giá trị của các biểu thức:
(1 + 2 + 3 + ... +100).(12 + 22 + 32 + ..+ 102).(65.111 – 13.15.37)
Bài 28. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
2x.4 = 128 b. x15 = x
c. (2x + 1)3 = 125 d. (x – 5)4 = (x – 5)6
Bài 29. Cho A = 3 + 32 + 33 + ...+ 3100
Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2A + 3 = 3n
Bài 30. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng bình phương của chữ số hàng chục bằng tích của hai chữ số kia và số tự nhiên đó trừ đi số gồm ba chữ sô ấy thei thứ tự ngược lại bằng 495.	 
Bài 31. Tính nhanh:
19.64 + 76.34 b. 35.12 + 65.13
c.136.68 + 16.272 d. (2 + 4 +...+100).(36.333 – 108.111)
e. 19991999.1998 – 19981998.1999
Bài 32. Không tính giá trị cụ thể các giá trị của A và B, hãy cho biết số nào lớn hơn và lơn hơn bao nhiêu ?
A =1998.1998 và B = 1996.2000
A = 2000.2000 và B = 1990.2010
A = 25.33 – 10 và B = 31.26 + 10
A = 32.53 – 31 và B = 53.31 + 32
Bài 33. Tìm thương của phép chia sau mà không cần tính kết quả cụ thể của số bị chia và số chia:
Bài 34. Tính:
Bài 35. Vận dụng các tính chất của phép tính để tìm kết quả bằng cách nhanh chóng:
1990.1990 – 1992.1998
(1374.57 + 687.86):(26.13 + 74.14)
(124.237 + 152):(870 + 235.122)
Bài 36. Tìm số tự nhiên a, biết rằng:
Bài 37. Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
720 : (41 – (2x – 5)) = 23.5
(x + 1) + (x+ 2) + (x + 3) + ...+ (x + 100) = 5750
Bài 38. Hãy viết năm dãy tính có kết quả bằng quả bằng 100, với sáu chữ số 5 cùng với dấu các phép tính (và cả dấu ngoặc nếu cần).
Bài 39. 
Hãy viết dãy tính có kết quả bằng 100, với năm chữ số như nhau cùng với dấu các phép tính (và dấu ngoặc nếu cần).
Cũng với câu hỏi trên với sáu chữ số giống nhau.
Bài 40. 
Hãy viết dãy tính có kết quả bằng 1 000 000, với năm chữ số như nhau cùng với dấu các phép tính (và cả dấu ngoặc nếu cần)
Cùng với câu hỏi trên với sáu chữ số như nhau.
Bài 41. Cho số 123456789. Hãy đặt một số dấu “+” và dấu “-“ vào giữa các chữ số để kết quả của phép tính bằng 100.
Bài 42. Cho số 987654321. Hãy đặt một số dấu”+” và “-“ vào giữa các chữ số để kết quả của phép tính bằng:
100 b. 99
B. TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN:
I. Lí thuyết:
1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b≠0. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q. Khi đó ta còn nói: a là bội của b hoặc b là ước của a.
2. Các tính chất:
- Bất cứ số nào khác không cũng chia hết cho chính nó.
- Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
- Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
- Bất kì số nào cũng chia hết cho 1.
3. Tính chất chia hết của tổng và hiệu:
- Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a – b chia hết cho m.
* Hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
- Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a + b, a – b không chia hết cho m.
4. Tính chất chia hết của tích:
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m.
- Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
* Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn
VD1: 
a. Chứng minh rằng: chia hết cho 11.
b. chia hết cho 9 với a > b.
Trả lời:
a. = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b, chia hết cho 11.
b. = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b, chia hết cho 9.
VD2: Quan sát các ví dụ sau:
14 + 19 = 33 chia hết cho 11, 1419 chia hết cho 11; 6 + 49 = 55 chia hết cho 11, 649 chia hết cho 11. Hãy rút ra nhận xét và chứng minh nhận xét ấy.
Trả lời:
* Nhận xét: Nếu chia hết cho 11 thì chia hết cho 11. 
 Thật vậy: chia hết cho 11.
VD3: Cho các số chia hết cho 27. Chứng minh rằng số chia hết cho 27.
Trả lời:
 ⋮ 27 ⋮ 27 ⋮ 27 ⋮ 27 ⋮ 27
 Do 27.37a ⋮ 27 nên ⋮ 27	
II. BÀI TẬP:
Bài 1. Có thể chọn được năm số trong dãy sau để tổng của chúng bằng 70 được không ?
1, 2, 3, .... , 29, 30;
1, 3, 5, ...., 27, 29;
Bài 2. Cho chín số 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Có thể phân chia được hay không chín số trên thành hai nhóm sao cho:
Tổng các số thuộc nhóm I gấp đôi tổng các số thuộc nhóm II ?
Tổng các số thuộc nhóm I bằng tổng các sô thuộc nhóm II ?
Bài 3. 
a. Có ba số tự nhiên nào mà tổng của chúng tận cùng bằng 4, tích của chúng tận cùng bằng 1 hay không ?
b. Có tồn tại hay không bốn số tự nhiên mà tổng và tích của chúng đều là số lẻ hay không ? 
Bài 4. Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a, b, c nào mà a.b.c + a =333, a.b.c + b = 335, a.b.c + c = 341
Bài 5. 
a.Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tụ ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
b. Cũng chứng minh như trên đối với số có ba chữ số.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu thì chia hết cho 67.
Bài 7. 
Chứng minh rằng: chia hết cho 7, 11, 13.
 chia hết cho 23 và 29, biết rằng 
Bài 8. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 11 thì chia hết chi 11.
Bài 9. 
a.Cho chia hết cho 37. Chứng minh rằng chia hết cho 37.
b. Cho chia hết cho 7. Chứng minh rằng chia hết cho 7.
c. Cho tám số tự nhiên có ba chữ sô. Chứng minh rằng trong tám số tự nhiên đó tồn tại hai số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành một số có sáu chữ số chia hết cho 7.
Bài 10. Tìm chữ số a biết rằng chia hết cho 7.
Bài 11. Cho ba chữ số khác nhau và khác 0. Lập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số ấy. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 6 và 37.
Bài 12. Có hai số tự nhiên x, y nào thỏa mãn (x + y)(x – y) = 1002 hay không ?
Bài 13. Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho nếu viết tiếp nó tiếp sau số1999 thì ta được một số chia hết cho 37.
Bài 14. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
(n + 10)(n + 15) chia hết cho 2;
n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3;
n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 và 3;
Bài 15. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a.
Bài 16. Một học sinh viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến . Bạn đó phải viết tất cả m chữ số. Biết rằng m chia hết cho m chia hết cho . Tìm .
Bài 17. Cho chín số tự nhiên viết theo thứ tự giảm dần từ 9 đến 1:
 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Có thể đặt được hay không một dấu “+” hoặc một dấu “-“ vào giữa các số đó để kết quả của phép tính bằng:
5 b. 6 ?
Bài 18. Cho tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...+9. Xóa hai sô bất kì rồi thay bằng hiệu của chúng và cứ làm như vậy nhiều lần. Có cách nào cho kết quả bằng 0 được hay không ?
Bài 19. Chứng minh rằng tổng các số ghi trên vé xổ số có sáu chữ số mà tổng ba chữ số đầu bằng tổng ba chữ số cuối thì chia hết cho 13 (Các chữ số đầu có thể bằng 0).
C. CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT:
I. Lý thuyết:
 Gọi . Ta có:
 A ⋮ 2 ⋮ 2; A ⋮ 5 ⋮ 5
 A ⋮ 4 ⋮ 4; A ⋮ 25 ⋮ 25
 A ⋮ 8 ⋮ 8; A ⋮ 125 ⋮ 125
 A ⋮ 3 ⋮ 3
 A ⋮ 9 ⋮ 9
VD1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ số giữa của số đó là 97.
Trả lời:
Gọi n là số phải tìm, n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và n phải chia hết cho 9. 
Xét n = chia hết cho 9 nên * = 6. Thử lại: 6975 không chia hết cho 27.
Xét n = Chia hết cho 9 nên * = 2. Thử lại: 2970 chia hết cho 27.
* Vậy số phải tìm là 27.
VD2: Hai số tụ nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k.Chứng minh rằng a chia hết cho 9.
Trả lời:
Ta biết rằng một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9, do đó hiệu của chúng chia hết cho 9.
 Như vậy: 2a – k ⋮ 9
 Và a – k ⋮ 9
 Suy ra: (2a – k) – (a – k) ⋮ 9
 Do đó: a ⋮ 9
VD3: Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.
Trả lời:
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1. 
Lấy A chia cho B ta được thương là: 	C = 
Như vậy A = B.C, trong đó B chia hết cho 9,còn C chia hết cho 3 nên A chia hết cho 27
VD4: Cho số tự nhiên bằng ba lần tích các chữ số của nó.
Chứng minh rằng b chia hết cho a.
Giả sử b = ka (k ∈ N), chứng minh rằng k là ước của 10.
Tìm các số nói trên.
Trả lời:
Theo đề bài: = 3ab
 	 (1)
 10a + b ⋮ a 
 b ⋮ a
Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta được:
 10a + ka = 3a.ka 
 10 + k = 3ak (2)
 10 + k ⋮ k
 10 ⋮ k
Do k < 10 nên k ∈ 
Với k = 1, thay vào (2): 11 = 3a (Loại)
Với k = 2, thay vào (2): 12 = 6a a = 2
 b = ka = 2.2 = 4. Ta có = 24 = 3.2.4
Với k = 5, thay vào (2): 15 = 15a a = 1;
 B = ka = 5.1. Ta có: = 15 = 3.1.5
Đáp số: 24 và 15.
* Chú ý: Cách giải câu c thông qua câu a và b.
	 = 3ab
 10a + b = 3ab
 10a = 3ab – b
 10a = b(3a – 1)
Ta thấy 10 a chia hết cho 3a – 1, mà a và 3a – 1 nguyên tố cùng nhau (Thật vậy, nếu a và 3a – 1 cùng chia hết cho d thì 3a – (3a – 1) chia hết cho d, tức là 1 ⋮ d, vậy d = 1). Nên 10 ⋮ 3a – 1	
3a - 1
1
2
5
10
3a
2
3
6
11
a
Loại
1
2
Loại
b
5
4
Đáp số: 15 và 24.
VD5: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Trả lời:
Gọi chữ sô phải tìm là , ta có: 10a + b ⋮ ab (1)
Suy ra: b ⋮ a. Đặt b = ka (2) thì k < 10 (k ∈ N).
Thay b = ka vào (1) ta có: 10a + ka ⋮ aka
 10a ⋮ ka 10 ⋮ k k ∈ 
Nếu k = 1 thì b = a. Thay vào (1) ta được 11a ⋮ a2 11 ⋮ a a = 1. Vậy ab = 11
Nếu k = 2 thì b = 2a. Xét các số 12, 24, 36, 48 ta có các số 12, 24, 36 thỏa mãn đề bài.
Nếu k = 5 thì b = 5a = 15 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
*Kết luận: Có 5 số thỏa mãn bài toán là 11, 12, 15, 24, 36.
II. Bài tập:
Bài 1. Cho A = 13! – 11!
A có chia hết cho 2 không ?
A có chia hết cho 5 không ?
A có chia hết cho 155 không ?
Bài 2. Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 không ? có chia hết cho 5 không ?
Bài 3. Cho A = 119 + 118 + 117+...+11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Bài 5. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 ?
Bài 6. Tìm các số tự nhiên chia 4 thì dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3. 
Bài 7. Tìm các số tự nhiên chia 3 thì dư 3, chia cho 125 thì dư 12.
Bài 8. Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp ba lần hiệu và số bị trừ bằng 1030 hay không 
Bài 9. Điền các chữ số thích hợp vào dấu *, sao cho:
 Chia hết cho 8.	
 chia hết cho 9, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng nghìn là 2.
Bài 10. Tìm các chữ số a, b sao cho: 
a – b = 4 và chia hết cho 3.
a – b = 6 và chia hết cho 9.
Bài 11. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 5 và 9, biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng hai chữ số kia.
Bài 12. Tìm số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng:
Tổng của chúng bằng và hiệu của chúng bằng 
Tổng của chúng bằng và số lớn gấp đôi số nhỏ.
Bài 13. Bạn An làm phép tính trừ trong đó số bị trừ là số có ba chữ số, số trừ là số gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại. An tính được hiệu bằng 188. Hãy chứng tỏ An tính sai.
Bài 14. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 45, biết rằng hiệu giữa số đó và số gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 297.
Bài 15. Chứng minh rằng:
1028 + 8 chia hết cho 72.
88 + 220 chia hết cho 17.
Bài 16. 
a. Cho A = 2 + 22 + 23 + ...+ 260. Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
b. Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+31991. Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41.
Bài 17. 
a. Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
b. 10n + 18 – 1 chia hết cho 27.
c. 10n + 72n – 1 chia hết cho 81.
Bài 18. Chứng minh rằng:
a. Số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81.
b. Số gồm 27 nhóm chữ số 10 thì chia hết cho 27.
Bài 19. Hai số tự nhiên a và 4a có tổng các chữ số bằng nhau, Chứng minh rằng a chia hết cho 3.
Bài 20. 
a.Tổng các chữ số của 3100 viết trong hệ thập phân có thể bằng 459 hay không ?
b. Tổng các chữ số của 31000 là A, tổng các chữ số của A là B, tổng các chữ số của B là C. Tính C
Bài 21. Cho hai số tự nhiên a, b tùy ý có số dư trong phép chia cho 9 theo thứ tự là r1 và r2. Chứng minh rằng r1.r2 và a.b có cùng số dư trong phép chia cho 9.
Bài 22. Một số tự nhiên chia hết cho 4 có ba chữ số đều chẵn, khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng tồn tại cách đổi vị trí các chữ số để được một số mới chia hết cho 4.
Bài 23. Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho các tích các số và .
Bài 24. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
Bài 25. Một cửa hàng có 6 hòm hàng và khối lượng 316kg, 327 kg, 336 kg, 338 kg, 349 kg, 351 kg. Cửa hàng đó đã bán 5 hòm, trong đó khối lượng hàng bán buổi sáng gấp bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều. Hỏi hòm còn lại là hòm nào ?
Bài 26. Từ bốn chữ số 1, 2, 3, 4. Lập tất cả các số có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số ấy. Trong các số ấy có tồn tại hai số nào mà một số chia hết cho số còn lại hay không ?
Bài 27. Chứng minh rằng trong tất cả các số tự nhiên khác nhau có bảy chữ số lập bởi cả bảy chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 không có hai số nào mà một số chia hết cho số còn lại.
D. SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ:
I. Lý thuyết:
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là (Tức là không có ước nào khác 1 và chính nó). Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước (Tức là có ước khác 1 và chính nó).
VD1: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và P + 4 cũng là các số nguyên tố.
Trả lời:
Số p có một trong ba dạng: 3k, 3k + 1 và 3k + 2 với k ∈ N*
- Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p cũng là số nguyên tố), khi đó p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là số nguyên tố.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số, trái với đề bài.
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số, trái với đề bài.
* Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm.
VD2: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r ?	
Trả lời:
Ta có p = 42.p + r = 2.3.7.k + r (k, r ∈ N, 0 < r < 42). 
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, 7
Các hợp số nhỏ hơn 42 và không chia hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39.
Loại đi các hợp số chia hết cho 3, cho 7 chỉ còn 25. Vậy r = 25
II. Bài tập:
Bài 1. Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay lẻ ?
Bài 2. Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
Bài 3. Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng của chúng là một số nguyên tố.
Bài 4. Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không ?
Bài 5. Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng và tích đều là số nguyên tố.
Bài 6. Các số sau la số nguyên tố hay hợp số:
A = 11...1 (2001 chữ số 1)
B = 11...1 (2000 chữ số 1)
C = 1010101
D = 1112111
E = 1! + 2! + 3! +...+ 100!
F = 3.5.7.9 – 28
G = 311141111
Bài 7. Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tụ ngược lại thì ta được một số lập phương của một số tự nhiên.
Bài 8. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vịm chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp.
Bài 9. Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
P + 2 và p + 10
P + 10 và P + 20
P + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
Bài 10. Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và hiệu hai của hai số nguyên tố.
Bài 11. Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.
Bài 12. Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
Bài 13. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.
Bài 14. Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
Bài 15. Cho p và 8p – 1 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số.
Bài 16. Đố vui: Ngày sinh của bạn
Một ngày đầu năm 2002, Huy viết thư hỏi thăm ngày sinh của Long và nhận được thư trả lời:
“Mình sinh ngày a tháng b năm 1900 + c và đến nay là d tuổi. Biết rằng a.b.c.d = 59007”. Huy đã tính được ngày sinh của Long và kịp gửi quà chúc mừng sinh nhật bạn. Hỏi Long sinh ngày nào ?
Bài 17. Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r. Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố.
Bài 18. Chứng minh rằng:
a.Số 17 không viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau.
b. Mọi số lẻ lớn hơn 17 đều viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau.
E. ƯỚC VÀ BỘI:
I. Lý thuyết:
Bằng cách phân phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta có thể tìm được ước và bội của số đó.
VD1: Tìm số chia và thương của phép chia có số bị chia bằng 145, số dư bằng 12, biết rằng thương khác 1 (Số chia và thương là các số tự nhiên)
Trả lời:
Gọi x là số chia, a là thương, ta có:
145 = ax + 12 ( x > 12). Như vậy x là ước của 145 – 12 = 133.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 133 = 7.19
Ước của 133 mà lớn hơn 12 là 19 và 133.
Nếu số chia bằng 19 thì thương bằng 7. Nếu số chia bằng 133 thì thương bằng 1, trái với đề bài. 
Vậy số chia bằng 19, thương bằng 7.
VD2: Hãy viết số 108 dưới dạng tổng của các sô tự nhiên liên tiếp lớn hơn 0.
Trả lời:
Giả sử số 108 viết được dưới dạng tổng của k số tự nhiên liên tiếp là n +1, n + 2, n + 3, ..., n + k (Với k, n ∈ N, k ≥ 2, n + 1 ≥ 1). Ta có:
 (n +1) + ( n + 2) + ( n + 3) + ...+( n + k) = 108
 (2n + k +1).k = 216
Bài toán đưa đến việc tìm ước của 216. Ta đưa ra hai nhận xét sau để giảm bớt số trường hợp phải xét:
2n + k + 1 > k ≫ 2.
Hiệu (2n + k +1) – k = 2n + 1, là số lẻ nên trong hai số 2n + k +1 và k có một số chẵn và một số lẻ.
Do đó, ta chỉ cần tìm ước lẻ của 216, đồng thời trong hai số 2n + k +1 và k có tích bằng 216, chọn k là số nhỏ hơn.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 216 = 23.33. ước lẻ của 216 lớn hơn là 3, 9, 27.
Với k = 3 thì 2n + k +1 = 72, ta được n = 34, do đó: 108 = 35 + 36 +37
Với k = 9 thì 2n + k + 1 = 24, ta được n = 7, do đó: 108 = 8 + 9 + ...+ 16
Với 2n + k + 1 = 27 thì k = 8, ta được n = 9, do đó: 108 = 10 + 11 + ...+17
II. Bài tập:
Bài 1. Tìm các số tự nhiên x và y, sao cho:
a. (2x + 1)(y – 3) = 10 b. (3x – 2)(2y – 3) = 1
c. (x + 1)(2y – 1) = 12 d. x + 6 = y(x – 1)
e. x – 3 = y(x + 2)
Bài 2. Một phép chia có số tự nhiên có số bị chia bằng 3193. Tìm số chia và thương của phép chia đó, biết rằng số chia có hai chữ số.
Bài 3. Tìm số chia của một phép chia, biết rằng: Số bị chia bằng 236, số dư bằng 15, số chia là số tự nhiên có hai chữ số.
Bài 4. Tìm ước của 161 trong khoảng từ 10 đến 150.
Bài 5. Tìm hai ước của số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 600.
Bài 6. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 2730.
Bài 7. Tìm ba số lẻ liên tiếp có tích bằng 12075.
Bài 8. Tìm số tự nhiên n, biết rằng:
 1 + 2 + 3 + ...+ n = 820
Bài 9. Hãy viết số 100 dưới dạng tổng của các số lẻ liê tiếp.
Bài 10. Tìm số tự nhiên n, sao cho:
a. n + 4 chia hết cho n + 1.
b. n2 + 4 chia hết cho n + 2.
c. 13n chia hết cho n – 1.
Bài 11. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với n (n là số tự nhiên, có thể gồm một hay nhiều chữ số).
F. ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT:
I. Lý thuyết:	
 Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ước chung lớn nhất của a, b, c được kí hiệu là ƯCLN(a,b,c) hoặc (a, b, c). Ta có: (a, b) = d
Tồn tại a’, b’ ∈ N sao cho a = d.a’, b = d.b’, (a’, b’) = 1.
VD1: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 264 chia cho a dư 24, còn 363 chia a dư 43.
Trả lời:
Số 264 chia a dư 24 nên a là ước của 264 – 24 = 240, còn 363 chia cho a dư 43 nên a là ước của 363 – 43 =320 và a > 43.
Do đó a là ước chung của 240 và 320, đồng thời a > 43.
ƯCLN (240, 320) = 80, ước chung lớn hơn 43 là 80. Vậy a = 80.
VD2: Xác định số chia và thương của một phép chia số tự nhiên biết rằng số bị chia và các số dư được viết như sau:
 452610 Số chia
 466 Thương
 210
 36
Trả lời:
Tính các tích riêng của từng chữ số củ thương với số chia, ta được:
452 – 46 = 406; 466 – 2 = 464; 210 – 36 = 174. Phép chia có dạng:
 452610	Số chia
 406	Thương
 466	
 464
 210
 174
 36
Số chia là ước chung của 406, 464, 174 và lớn hơn 46. Từ đó ta tìm được số chia là 58, thương là 7803.
II. Bài tập:
Bài 1. Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a thì dư 38, còn 450 chia cho a thì dư 18.
Bài 2. Tìm số tự nhiên a, biết r