Chuyên đề ôn tập môm Toán Lớp 6

b) 100! + 7 ; c) 10100 + 1050 + 1. 
Bài toán 10. Chứng minh rằng 
a) 20022004 - 10021000 10 b) 1999 2001 + 2012005 10; 
Bài toán 11. Chứng minh rằng: a) 0,3 . ( 20032003 - 19971997) là một số từ nhiên 
b) 
2006 19982004 19941 (1997 1993 )
10
 
CHUYÊN ĐỀ 4: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN 
I. Kiến thức bổ sung: 
1. a m ; b m  k1a + k2b m 
2. a m ; b m ; a + b + c m  c m 
II. Bài tập: 
* Các phương pháp chứng minh chia hết. 
PP 1: Để chứng minh A b (b 0 ). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k  N 
PP 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng. 
 Nếu a b m và a m thì b m. 
PP 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho b(b khác 
0) ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b. 
PP 4. Để chứng minh A b. Ta biểu diễn b dưới dạng b = m.n. Khi đó. 
+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A m và A n suy ra A m.n hay A b. 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 7 - 
+ Nếu (m,n)  1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 m; a2 n thì 
tích a1.a2 m.n suy ra A b. 
PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết. 
PP 6. Để chứng minh A b ta biểu diễn 1 2 ... nA A A A   và chứng minh các 
( 1, )iA i n b 
Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi n N thì 60n +45 chia hết cho 15 nhưng 
không chia hết cho 30. 
Bài toán 2. Cho a,b N. Hỏi số ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không? 
Bài toán 3. Cho n N. CMR 5n – 1 4 
Bài toán 4: Chứng minh rằng: a) 11ab ba b) 9ab ba với a>b. 
Bài toán 5: Chứng minh rằng: 
a) A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+239 là bội của 15 T = 1257 -259 là bội của 124 
c) M = 2 3 4 20007 7 7 7 ... 7 8     d) P = 2 3 2... 1na a a a a     với a,n N 
Bài toán 6: CMR tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự 
nhiên liên tiếp chia hết cho 5. 
Bài toán 7: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6 
 + Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6. 
 + Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ 
liên tiếp thì chia 10 dư 5 
Bài toán 8: Cho a,b  N và a - b 7 . CMR 4a +3b 7. 
Bài toán 9: Tìm n  N để. 
a) n + 6 n ; 4n + 5 n ; 38 - 3n n 
b) n + 5 n + 1 ; 3n + 4 n - 1 ; 2n + 1 16 - 3n 
Bài toán 10. Chứng minh rằng: (5n)100 125 
Bài toán 11. Cho A = 2 + 22 + 23 +... + 22004 . 
CMR A chia hết cho 7;15;3 
Bài toán 12. Cho S = 3 +32 +33 +...+ 31998 . CMR 
 a) S 12 ; b) S 39 
Bài toán 13. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 31000; CMR B 120 
Bài toán 14. Chứng minh rằng: 
a) 3636 - 910 45 ; b) 810 - 89 - 88 55 ; c) 55 - 54 + 53 7 
d) 6 5 47 7 7 11  e) 9 8 710 10 10 222  
g) 6 710 5 59 h) 2 2 *3 2 3 2 10n n n n n N      i) 7 9 1381 27 9 45  
Bài toán 15. Tìm n  N để : 
a) 3n + 2 n - 1 b) n2 + 2n + 7 n + 2 c) n2 + 1 n - 1 
d) n + 8 n + 3 e) n + 6 n - 1 g) 4n - 5 2n - 1 
Bài toán 16. CMR: 
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. 
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. 
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24. 
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. 
(Chú ý: Bài toán trên được sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại) 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 8 - 
Bài toán 17. cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được 
những số dư khác nhau. CMR tổng của chúng chia hết cho 5. 
Bài toán 18. Cho số abc không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất 
mấy lần để dược một số chia hết cho 3. 
Bài toán 19: Cho n  N, Cmr n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 
5. 
Bài toán 20. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ 
số của nó. 
Bài toán 21. Cmr a) n N  thì 
. / 1
2 11...1 3
n c s
A n  
 b) , ,a b n N  thì  
. / 1
10 1 . 11..1 . 9n
n c s
B a n b
 
    
 
Bài toán 22. Hai số tự nhiên a và 2.a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh 
rằng a 3 
Bài toán 23. CMR: m + 4n 1310m + n 13. ,m n N  
CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ 
A. Kiến thức bổ sung: 
+ Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho mọi 
số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. 
+ Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. 
+ Cách xác định số lượng các ước của một số: 
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax . by cz thì số lượng các ước 
của M là ( x + 1)( y + 1)( z + 1). 
+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên 
tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra. 
- Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22. 
- Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24. 
- Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32. 
- Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24. 
- Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52. 
+ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: 
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p. 
Đặc biệt nếu an p thì a p 
+ Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên 
không vượt quá nó. 
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 4 1n 
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 6 1n 
+ Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị 
+ Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’. 
 Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 9 - 
B. Bài tập. 
Bài 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601. 
Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó. 
Bài 3. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100 
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? 
b) Số A có phải là số chính phương không? 
Bài 4. Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó. 
Cách liệt kê: 54 = 2.33 
1 3 32 33 
1 2 
1 3 32 33 hay 1 3 9 27 
2 2.3 2. 32 2.33 2 6 18 54 
Bài 5. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số? 
a) 1.3.5.713 + 20 
b) 147.247.347 – 13 
Bài6.Tìm số nguyên tố p sao cho 
a) 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. 
b) P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố. 
c) P + 10; p +14 đều là số nguyên tố. 
Bài 7. Cho n N*; Chứng minh rằng: 
/ 1 / 1
111...12111...1
nc s nc s
A  là hợp số. 
Bài 8. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n2 chia 3 dư 1. 
 + Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số? 
Bài 9. Cho n N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n2 – 1 và n2 + 1 không thể 
đồng thời là số nguyên tố. 
Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố, 
số còn lại là số nguyên tố hay hợp số? 
Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. 
Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số. 
CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG – ƯCLN – BỘI CHUNG – BCNH 
A. Kiến thức bổ sung. 
1. ƯC - ƯCLN 
+ Nếu a b thì (a,b) = b. 
+ a và b nguyên tố cùng nhau  (a,b) = 1 
+ Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta tìm các ước của ƯCLN của các số 
đó. 
+ Cho ba số a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 
1 
 Tính chất chhia hết liên quan đến ƯCLN 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 10 - 
- Cho (a,b) = d . Nếu chia a và b cho p thì thương của chúng là những số 
nguyên tố cùng nhau. 
- Cho a.b mà (a,m) = 1 thì b m 
2 . BC – BCNN 
+ Nếu số lớn nhất trong một nhóm chia hết cho các số còn lại thì số này là BCNN 
của nhóm đó. 
+ Nếu các số nguyên tố với nhau từng đôi một thì BCNN của chúng là tích của 
các số đó. 
+ Muốn tìm BC của các số đã cho, ta tìm bội của BCNN của các số đó. 
 Nâng cao. 
- Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng. 
 a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b) 
 - Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a và b thì các thương của chúng là những 
số nguyên tố cùng nhau. 
 - Nếu a m và a n thì a chia hết cho BCNN(m,n). Từ đó suy ra 
 + Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích 
của chúng. 
 + Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết 
cho tích của chúng. 
B. Bài tập. 
Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của 48 và 120. 
Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 120 a và 150 a. 
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 210 x , 126 x và 10 < x < 35. 
Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a 120 và a 86. 
Bài 5. Tìm các bội chung nhỏ hơn 300 của 25 và 20. 
Bài 6. Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành 
mấy tổ để số bác sỹ và y tá được chia đều cho các tổ? 
Bài 7. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều 
vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng 200 đến 500. Tìm số sách. 
Bài 8. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 
người. Tính số đội viên của liên đội đó biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 
150. 
Bài 9. Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 
người, nhưng xếp hàng 7 thì và đủ. Biết rằng số học sinh đó chưa đến 300. Tính 
số học sinh đó. 
Bài 10. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150 dm. Một bước nhảy của chó dài 
 9 dm, một bước nhảy của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ củng 
nhảy một bước. Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bước mới đuổi kịp thỏ? 
Bài 11. Tôi nghĩ một số có ba chữ số. 
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì được số chia hết cho 7. 
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 8 thì được số chia hết cho 8. 
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 9 thì được số chia hết cho 9. 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 11 - 
Hỏi số tôi nghĩ là số nào? 
Bài 12. chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Bài 13. CMR các số sau đây nguyên tố cùng nhau. 
a) Hai số lẻ liên tiếp. 
b) 2n + 5 và 3n + 7. 
Bài 14. ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ. 
Bài 15. Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18. 
Bài 16. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15. 
Bài 17. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng 
 là 210. 
Bài 18. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khi chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự 
là 3,4,5. 
Bài 19. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3, cho 4, cho 5 có số dư theo thứ tự là 
1;3;1. 
Bài 20. Cho ƯCLN(a,b)= 1. CMR 
a) ƯCLN(a+b,ab) = 1. 
b) Tìm ƯCLN(a+b, a-b). 
Bài 21. Có 760 quả và cam, vừa táo, vừa chuối. Số chuối nhiều hơn số táo 80 quả, số 
táo nhiều hơn số cam 40 quả. Số cam, số táo, số chuối được chia đều cho các bạn 
trong lớp. Hỏi chia như vậy thì số học sinh nhiều nhất của lớp là bao nhiêu? mỗi 
phần có bao nhiêu quả mỗi loại? 
Bài 22. a) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 4, số nhỏ bằng 8. tìm số lớn. 
b) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 16, số lớn bằng 96, tìm số nhỏ. 
Bài 23. Tìm hai số tự nhiên biết rằng : 
a) Hiệu của chúng bằng 84,ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. 
b) Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12. 
Bài 24. Tìm hai số tự nhiên biết rằng: 
a) Tích bằng 720 và ƯCLN bằng 6. 
b) Tích bằng 4050 và ƯCLN bằng 3. 
Bài 25. CMR với mọi số tự nhiên n , các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. 
a) 7n +10 và 5n + 7 
b) 2n +3 và 4n +8. 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 12 - 
 TẬP HỢP Z CÁC SỐ NGUYÊN . THỨ TỰ TRONG Z 
A) Kiến thức Bổ sung. 
1. với a, b  Z bao giờ củng có một và chỉ một trong ba trường hợp a = b hoặc a > b 
hoặc a < b. 
2. Với a, b, c  Z nếu a < b, b < c thì a < c (tính chất bắc cầu) 
3. Kí hiệu “ Hoặc”; kí hiệu “ và” 
A
B



 nghĩa là A hoặc B 
A
B



 nghĩa là A và B 
Ví dụ: x > 3 hoặc x < -3 là 
3
3
x
x

  
x > -5 và x < 5 viết là -5 <x < 5 hay 
5
5
x
x
 


B. Bài tập: 
Bài tập 1. Mệnh đề sau đúng hay sai? 
Nếu a < b thì a b 
(Để chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể mà mệnh 
đề sai. Một thí dụ như thế được gọi là một phản ví dụ) 
Bài tập 2. Tìm x  Z biết 
a) 4x  b) 4x  c) x >4 
Bài tập 3. Cho 
 
 
 
/ 9
/ 4
/ 2
A x Z x
B x Z x
C x Z x
   
   
   
Tìm ; ;A B B C C A   
Bài tập 4. trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? 
a) Nếu a = b thì a b 
b) Nếu a b thì a = b 
c) Nếu a b thì a < b. 
Bài tập 5. Tìm x biết: 
a) 5 7x     b) 6 . 54x  
Bài tập 6. Tìm x, y, z  Z biết 0x y z   . 
 Trả bài kiểm tra một tiết Số học và Hình học 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 13 - 
Phép cộng hai số nguyên - Tính chất phép cộng các số nguyên 
Bài tập 1. Tính nhanh. 
a) 2004 + [ 520 + (-2004)] b) [(-851) + 5924] + [(-5924) + 851] 
c) 921 + [97 + (-921) + (-47)] d) 2003 + 2004 + (-2005) + (-2006). 
Bài tập 2. Tính tổng các số nguyên x thỏa mãn. 
a) - 7 x > -5 c) 8x  
Bài tập 3. Tính tổng A = 2 + (-4) + (-6) + 8 + 10 + (-12) + (-14) + 16 +  + 2010. 
B = 1 + (-3) + (-5 ) + 7 + 9 +(-11) + (-13) + 15 +  + 2009. 
Bài tập 4. Cho x và y là hai số nguyên cùng dấu. Tính x + y biết 10x y  
Bài tập 5. Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn 
a) 2. 0x y  b) 3. 2. 0x y  
Bài tập 6. Với giá trị nào của x và y thì tổng S = 2. 2 1998x y y    đạt giá trị 
nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
Bài tập 7. Tìm số nguyên x biết rằng 
a) x + 4 là số nguyên dương nhỏ nhất 
b) 10 -x là số nguyên âm lớn nhất 
Bài tập 8. Tìm các số nguyên a, b, c biết rằng: a + b = 11, b + c = 3; c + a = 2. 
Bài tập 9. Tìm các số nguyên a, b, c, d biết rằng: 
a + b + c + d = 1, 
a + c + d =2, 
a + b + d = 3, 
a + b + c = 4. 
Bài tập 10. Cho x 1 + x2 + x3 + + x49 + x50 + x51 = 0 và x1+ x2 = x3 + x4 = = x47 + 
x48 = x49 + x50 = x50 + x51 = 1.Tính x50. 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 14 - 
ÔN TẬP HỌC KỲ I. 
Dạng 1. Thực hiện các phép tính. 
Bài 1. Tính nhanh. 
a) 32 . 47 + 32 . 53 b) (-24) + 6 + 10 + 24 c) (24 + 42) + (120 - 24 - 42) 
d) (13 - 145 + 49) - (13 + 49) e) 25 . 22 + (15 – 18 ) + (12 - 19 + 10) 
Bài 2. Thực hiện các phép tính (tính nhanh nếu có thể) 
a) 3.52 - 16:22 b) 23.17 – 23.14 c) 20 – [ 30 – (5 - 1)] 
d) 600 : [450 :{ 450 – (4.53 – 23 . 52 )}] e) 
10 10
9 4
3 .11 3 .5
3 .2
A

 
Dạng 2. Tìm x 
Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết. 
a) 6.x – 5 = 613 b) x – 15 = 24 c) 2.x – 138 = 23.32 
d) 10 + 2.x = 45 : 43 e) 70 – 5.(x - 3) = 45 g) 315 + (146 – x ) = 401 
Bài 2. Tìm số nguyên x biết 
a) 3 + x = 7 b) x + 9 = 2 c) 11 – (15 + 21) = x – (25 -9) 
d) 2 – x = 17 –(- 5) e) x – 12 = (-9) – 15 g) 9 – 25 = (7 –x ) – (25 + 7) 
Dạng 3. ƯC - ƯCLN – BC – BCNN 
Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm các ƯC của 90 và 126. 
Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 480 a và 600 a. 
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 126 x, 210 x và 15 < x < 30. 
Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 126; a 198. 
Bài 5. Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400. 
Bài 6. Biết số học sinh của một trường trong khoảng 700 đến 800 học sinh, Khi xếp 
hàng 30, hàng 36, hàng 40 đều thừa 10 học sinh. Tính số học sinh của trường đó. 
Dạng 4. Hình học. a) Vẽ đoạn thẳng AB = 8 cm. Trên AB lấy hai điểm M, N sao 
cho; AM = 3 cm; An = 6 cm. 
b) Tính độ dài các đoạn thẳng MN,NB. 
Hỏi M có phải là trung điểm của đoạn AN hay không? vì sao? 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 15 - 
Ôn tập về Quy tắc dấu ngoặc – Quy tắc chuyển vế 
Bài tập 1. Tìm số nguyên x biết. 
 a) 5 – x = 17 –(-5) ; b) x – 12 = (-9) –(-15) ; 
 c) 9 –25 = (-7 – x ) – (25 - 7) d) 11 + (15 - 11 ) = x – (25 - 9) 
 e) 17 – {-x – [-x – (-x)]}=-16 g) x + {(x + 3 ) –[(x + 3) – (- x - 2)]} = 
x 
Bài tập 2. Tính các tổng sau một cách hợp lý: 
 a) 2075 + 37 – 2076 – 47 ; b) 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17 
 c) – 7624 + (1543 + 7624) ; d) (27 – 514 ) – ( 486 - 73) 
Bài tập 3. Rút gọn các biểu thức. 
a) x + 45 – [90 + (- 20 ) + 5 – (-45)] ; b) x + (294 + 13 ) + (94 - 13) 
Bài tập 4. Đơn giản các biểu thức. 
 a) – b – (b – a + c) ; b) –(a – b + c ) – (c - a) 
 c) b – (b + a – c ) ; d) a – (- b + a – c) 
Bài tập 5. Bỏ ngoặc rồi thu gọn các biểu thức sau. 
a) (a + b ) – (a – b ) + (a – c ) – (a + c) 
b) (a + b – c ) + (a – b + c ) – (b + c - a) – (a – b – c) 
Bài tập 6. Xét biểu thức. N = -{-(a + b) – [(a – b ) – (a + b)]} 
a) Bỏ dấu ngoặc và thu gọn 
b) Tính giá trị của N biết a = -5; b = -3. 
Bài tập 7. Tìm số nguyên x biết. 
 a) 3 16 4x     b) 26 9 13x    
Bài tập 8. Chứng minh đẳng thức 
- (- a + b + c) + (b + c - 1) = (b – c + 6 ) –(7 – a + b ) 
Bài tập 9. Cho A = a + b – 5 B = - b – c + 1 
 C = b – c – 4 D = b – a 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 16 - 
Chứng minh: A + B = C + DBài tập 10. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một 
ngôi sao 5 cánh sao cho tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng -6 
Buổi 14. Ôn tập chương II. 
I. Ôn tập lý thuyết. 
1. Giá trị tuyệt đối của số nguyên a là gì? cách tính giá trị tuyệt đối của một số 
nguyên dương, số nguyên âm, số 0. 
2. Phát biểu quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, cộng hai số nguyên khác dấu. 
3. Phát biểu quy tắc trừ hai số nguyên, nhân hai số nguyên. 
4. Viết dưới dạng công thức các tính chất của phép cộng, phép nhân các số nguyên. 
II. Bài tập. 
Dạng 1. Thực hiện các phép tính 
Bài 1. Tính. 
a) (-15) + 24 ; b) (-25) - 30 ; c) (-15) + 30 ; d) (-13) + (-35) 
e) (-34) . 30 ; g) (-12) . (-24) h) 36 : (-12) i) (-54) : (-3) 
Bài 2. Thực hiện các phép tính(tính nhanh nếu có thể). 
a) (-5).6.(-2).7 b) 123 - (-77) - 12.(-4) + 31 c) 3.(-3)3 + (-4).12 - 
34 
d) (37 - 17).(-5) + (-13 - 17) ; e) 34. (-27) + 27. 134 ; g) 24.36 - (-24).64 
Dạng 2. Tìm số nguyên x biết 
Bài 1. Tìm số nguyên a biết 
a) 4a  ; b) 3 6 12  c) 3 3a    d) 2 3 14a    
Bài 2. Tìm số nguyên x biết. 
a) x + 12 = 3; b) 2.x - 15 = 21; c) 13 - 3x = 4 
d) 2(x - 2) + 4 = 12; e) 15 - 3(x - 2) = 21; g) 25 + 4(3 - x) = 1 
h) 3x + 12 = 2x - 4; i) 14 - 3x = -x + 4 ; k) 2(x - 2)+ 7 = x - 25 
Bài 3. Tìm số nguyên n để 
a) n + 5 chia hết cho n -1 ; b) 2n - 4 chia hết cho n + 2 
c) 6n + 4 chia hết cho 2n + 1 d) 3 - 2n chia hết cho n+1 
Gia sư Tài Năng Việt 
 - 17 - 
Buổi 15. Ôn luyện về Hai phân số bằng nhau - Tính chất cơ bản 
của phân số -Rút gọn phân số 
A. Kiến thức cơ bản: 
1. Hai phân số 
a
b
 và 
c
d
 gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c 
2. Tính chất cơ bản của phân số. 
.
( ; 0)
.
a a m
m Z m
b b m
   
:
:
a a n
b b n
 (nƯC(a,b)) 
3. +)Muốn rút gọc một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước 
chung (khác 1 ) của chúng để được một phấn số mới đơn giản hơn. 
+) Phân số tối giản là phấn số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 . 
a
b
 tối giản  ( .a b )=1. 
B. Kiến thức bổ sung. 
1. Nếu đổi chổ cả tử và mẫu của một phân số thì ta được một phân số mí bằng phân 
số đã cho. a)
a
b
 và 
a
b

 b)
a
b


 và 
a
b
2. Muốn rút gọn một phân số thành phân số tối giản ta chia cả tử và mẫu của nó cho 
ƯCLN. 
3. Nếu 
a
b
 là phân số tói giản thì mọi phân số bằng nó đều có dạng 
.
( ; 0)
.
a m
m Z m
b m
  
C. Bài tập: 
 Bài tập 1. Tìm các số nguyên x và y biết. 
 a). 
5
6 24
x
 b) 
4 20
14y

 c) 
4 12
7 x
 d) 
3
7 21
y
 
Bài tập 2. Viết các phân số sau đay dưới dạng phân số có mẫu dương. 
3 17
;
4 3a

 
(với a < 3); 
2
6
1a 
Bài tập 3. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau. 
15 7 6 28 3
; ; ; ;
60 5 15 20 12


Gia sư Tài Năng Việt 
 - 18 - 
Bài tập 4. Tìm x biết 
 a) 
111 91
37 13
x  b)
84 108
14 9
x

  
 Bài tập 5. Tìm n  Z để các phân số sau đồng thời có giá trị nguyên. 
12 15 8
; ;
2 1n n n

 
Bài tập 6. Cho 
3 5
4
n
A
n



 . Tìm n  Z để A có giá trị nguyên. 
Bài tập 7. Tìm x  Z biết. 
 a) 
1 8
9 3
x 
 b) 
9
4
x
x
 
 c) 
18
4 1
x
x


Bài tập 8. Viết tập hợp A các phân số bằng phân số -7/15 với mẫu dương có hai chữ 
số. 
Bài tập 9. Tìm phân số bằng phân số 32/60, biết tổng của tử và mẫu bằng 115. 
Bài tập 10. Rút gọn các phân số sau. 
14 5 7
12 3 3
990 374 3600 75 9 .225 .8
; ; ;
2610 506 8400 175 18 .625 .24


Bài tập 11. Cho phân số 
a
b
. CMR :
a x a
b y b



 thì 
x a
y b
 
Bài tập 12. Rút gọn phân số 
71.52 53
530.71 180
A



 mà không cần thực hiện các phép tính ở 
tử. 
Bài tập 13. Hai phân số sau có bằng nhau hay không?