Chuyên đề Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
 Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A –B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
 Ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng :
 a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
 Giải: a) Ta xét hiệu: x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
 =đúng với mọi x;y;z
 Vì (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
 (y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
 Vậy x + y + z xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz
 =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
 Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z. Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) ; b) 
c) Hãy tổng quát bài toán
Giải: a) Ta xét hiệu = = 
 	=. Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu: =
 Vậy; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát: 
phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau: 
 Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng: a) 
 b) c)
 Giải: a) 
 (bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.
 Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 
Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ;
	 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) ú 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 
 ú 9 4ab + 8 ú 1 4ab ú (a + b)2 4ab
 	Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y Chứng minh 
Giải: Ta có: vì : xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 
Giải : Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0
 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1
 Û 2a2 + 2b2 - 1 0 Û 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) Û 4a2 - 4a + 1 0Û ( 2a - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab 
 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 
Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) b) 	c)
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski: 
 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
 Nếu 
 Nếu . Dấu bằng xảy ra khi
b/ Các ví dụ
 Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
 Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:
 Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ú 
 Tương tự ta thu được : , 
 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : 
 a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
Ví dụ 2 : Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = 
 	Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1
 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ú ú . Điều kiện : 
Ví dụ 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Giải : a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 => => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
Ví dụ 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : 
Giải : Ta có : , a , b > 0
 Ta có : .1 = .(a + b + c)
 == 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 
 Ví dụ 5: Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : 
Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : ị 
 => (x + y)( ) 4 => 
Ví dụ 6: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 tacó ac+bd
 mà 
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: 
	Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 4:dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì 
 b – Nếu thì 
 2) Nếu b, d >0 thì từ 
`
 Ví dụ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng: 
 Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: (1)
 Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có: < < (3)
 Tương tự ta có: (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
Ví dụ 2 : Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < 
Vậy < điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
Phương pháp 5: Phương pháp làm trội
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: 
 Khi đó :
 S = 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:= 
 Khi đó P = 
 Ví dụ 1 :Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng : 
 Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó: 
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với n là số nguyên
 Giải : Ta có 
Ta có: 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 
 Giải: Ta có 
 Ta có: 
 Vậy 
 Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0; và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Ví dụ 1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải: a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 ị 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác) . Chứng minh rằng : 
Giải: Ta có : p - a = 
 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 áp dụng bất đẳng thức ta được ; 
 Tương tự : ; 
 => => điều phải chứng minh .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ú a = b = c. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
Phương pháp 7: đổi biến số
Ví dụ1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = 
 => a = , b = , c = 
 Khi đó : VT = = 
 = 
Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng (1)
Giải: Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có 
 (1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 3. 
	3. . 
 Mà x+y+z < 1. Vậy (đpcm)
Phương pháp 8: dùng tam thức bậc hai
 Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu thì với hoặc ()
 với 
Ví dụ: Chứng minh rằng: (1)
 Giải:Ta có (1) 
 Vậy với mọi x, 
Phương pháp 9: dùng quy nạp toán học
 Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
 4 – kết luận BĐT đúng với mọi 
Ví dụ1: Chứng minh rằng 
 (1)
 Giải : Với n =2 ta có (đúng)
 Vậy BĐT (1) đúng với n =2
 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
 BĐT (1) đúng với n = k+1
 Thật vậy khi n =k+1 thì (1) 
 Theo giả thiết quy nạp 
 k2+2k<k2+2k+1. Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)được c/m.
Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì : 2n > 2n + 1 (*)
 Giải : + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1 
 ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 
 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) 
 + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) 
do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) 
 Vậy (**) đúng với mọi k 3 .
 + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng : ..... (*) (n là số nguyên dương ) 
 Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : ..... 
 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 
 ..... . .
 do đó chỉ cần chứng minh : 
 dùng phép biến đổi tương đương , ta có : 
 (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 
 ú 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4
 ú k 0 . => (**) đúng với mọi k 1 .
 Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n .
 Phương pháp 10: Chứng minh phản chứng
Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0. CMR: a > 0, b>0, c>0
Giải : Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0
 Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
 Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c , d thỏa mãn điều kiện: ac 2.(b+d). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , 
Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được(1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
 Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vì xyz = 1
 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương. Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết). Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
các bài tập nâng cao
i / Dùng biến đổi tương đương
 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng: 
 Giải :Ta có (vì xy = 1) 
 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng: 
 Giải : Ta có 
BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
ii / dùng bất đẳng thức phụ
 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1. Chứng minh rằng: 
 Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 2) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: (1)
 Giải : (1) 
 áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0
 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng. Vậy (đpcm)
Iii / dùng phương pháp bắc cầu
 So sánh 31 và 17
 Giải : Ta thấy < 
 Mặt khác 
 Vậy 31 < 17 (đpcm)
 iv/ dùng tính chất tỉ số
 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :
 Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
 (1)
 (2)
 (3)
 Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
 Chứng minh rằng:
 Giải :Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
 Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
 Từ (1) . Mặt khác 
 Vậy ta có Tương tự ta có 
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
 V/ phương pháp làm trội :
 1) Chứng minh BĐT sau: a) ; b) 
 Giải : a) Ta có 
Cho n chạy từ 1 đến k . Sau đó cộng lại ta có: (đpcm)
 b) Ta có: 
 < (đpcm)
ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
	- Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
 Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
 Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
 Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý : 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn: a +b =1 
Giải: B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
 Giải: a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 
 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0 ú (x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1 .
 => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
 Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 a, C = ; b, D = 
Giải : a, áp dụng BĐT : 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 .
 => C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
 c, minE = 4 khi : 2 x 3
Bài 4 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2
 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz 
 Giải : (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
 Tương tự : 2
 2
 Từ đó suy ra : P = xyz . MaxP = khi x = y = z = 
Bài 5 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = 
 Giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 
 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : 
 (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 
 Tương tự : 3
 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c)
 = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 9 => 81 => 27ị F + 27 + 6 = 33
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = . Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = .
Bài 7 : Cho G = .Tỡm giỏ trị lớn nhất của G.
 Giải : Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3 
 Ta có : G = + + 
 Theo BĐT Cụsi ta cú : => 
Tương tự : ; => G 
Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 .
 b. Tìm giá trị lớn nhất của K = 
 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : 
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình . Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm .
 Nếu VT > VP hoặc VT phương trình vô nghiệm .
 Bài 1 : Giải phương trình : 13 + 9 = 16x
 Giải: Điều kiện : x 1 (*)
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9
 = 13.2. + 3.2. 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra ú ú x = thoả mãn (*) 
	Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra. Vậy (1) có nghiệm x = .
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
 Giải : a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 ú + 2 => MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : (*) ú + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 . => phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 3 : Giải phương trình : + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
 Bài 4 : Giải phương trình : + = 5
 HD:2; ịVT 5. Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
 3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên
 Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . 
 Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
 Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : = 2 
 Giải : Không mất tính tổng quát, ta giả sử xy z ta có : 2 = => 2z 3,
 mà z nguyên dương. Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được : 
 Theo giả sử , x y , nên 1 = ; Do y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
 Với y = 1 không thích hợp. Với y = 2 ta có : x = 2 .
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
 Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là: (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : a) x2 +y2 ; b) x4+y4 
Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR: a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dương x,y và x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1
Bài 4: Cho hai số dương x,y CMR : 
Bài 5: Cho ab CMR: 
Bài 6 : Cho 3 số x,y,z không âm sao cho x+y+z=a. CMR: (a-x)(a-y)(a-z)8xyz
Bài 7: Cho a0,b0,c. CMR: a4+b4+c4abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x2+4y2=1 CMR: 
Bài 9: CMR: Nếu thì 
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dương n3thì 2n > 2n+1