Chuyên đề Một số hệ phương trình

Luyện thi THPT Quốc gia 2015 
Giáo viên: Lê Bá Bảo...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Nội dung 5*: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
 
 
2
2
8 3
2
1 3
2

  


   

x
x y
x
x y
x x y
 2) 
  2
2
2 2 
4 3 1 3 2
     

     
x y x x y y y
x y x y
3) 
2 2
8 
9 9 10
 

   
x y
x y
 4) 
2 2
2 3
2 1
     

  
x x y y xy
xy x y
5) 
2 2
2
2
1

   
   
xy
x y
x y
x y x y
 6) 
2 2 2 2
2
1 3
    

    
x y x y
x y x y
7)
2 2
3 2 6 0
2 4 3 0
   

    
xy x y
x y x y
 8) 
 2 2
2 2
2 1 3
3 2
    

   
x x y y y
x xy y x y
9) 
 2 2
2 2
3
369
     

 
x xy xy y x y
x y
 10) 
2
5 3
    

 
x y x y y
x y
11) 
2
2 2
1
2 2
2 2

  

    
x x
y
y y x y
 12) 
1 1 4
6 4 6
    

   
x y
x y
13) 
2 2
3 3
2 1
2 2
  

  
y x
x y y x
 14) 
 
 
2 2
2 2
2 3
10
  

 
y x y x
x x y y
15) 
2 2
2 2 2
6
1 5
  

 
y xy x
x y x
 16) 
3 2
2 2
2 12 0
8 12
   

 
x xy y
x y
17) 
5
5 5 8
  

   
x y
x y
 18) 
3 2 3
2
3 3 1
5
    

  
x x y x
x xy y
19) 
3 31 1 3
9
    

 
x y
x y
 20) 
2 2
2 2
   

  
x y
x y
------- Hết ------ 
Luyện thi THPT Quốc gia 2015 
Giáo viên: Lê Bá Bảo...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
GỢI Ý ĐÁP ÁN: 
1) Đặt 
1
,   u v x y
x
, có 
2
3 3 3
33 3
2
3
8
2 16 2 3 16 2 02
3 2 2 32 2 3 2 2 3
2

         
     
         

u v
v uu uv u vu
v uvv uv v uv
v u
v
2) Xét (1):    2 22 2 2 2 0           x y x x y y y x y y x x y y 
    
1
2 0 2 0
2 2
 
                 
x y
x y x y x y x y x y
x y y x y y
Thay x y vào phương trình (2), có 2 24 3 1 3 2 4 3 3 2 1            x x x x x x x x (*) 
Đặt 
2
2 2 2
2 2
3 1 3 1
2 4 3
1 2 1
     
    
     
u x u x
u v x x
v x v x x
. 
Lúc đó (*) có dạng: 
 
2 2
2 22 2
0 0 0
2
0 22 02
     
       
      
u v u v u v
u v u v
u u vu uvu v u v
3) Hệ phương trình 
 
22 2 2
88
9 9 10 9 8 9 10 (*)
   
  
          
y xy x
x y x x
Xét (*):     
22 2 2 29 8 9 10 8 41 9 16 73 50            x x x x x x x 
       
2
2 2 2 2 2 2
2
9 16 73 8 9 9 16 73 8 9
8 16 0 4
               
     
x x x x x x x x x x
x x x
4) Hệ phương trình
2 2 2 3 (1)
2 1 (2)
     
 
  
x xy y x y
xy x y
Cộng (1), (2) vế theo vế ta có: 
2 2 2 3 (1)
2 1 (2)
     
 
  
x xy y x y
xy x y
   
22 2
1
2 3 3 4 3 4 0
4
 
            
  
x y
x xy y x y x y x y
x y
5) Xét phương trình  
22 2 2 21 2 1 0        
 
xy xy
x y x y xy
x y x y
Luyện thi THPT Quốc gia 2015 
Giáo viên: Lê Bá Bảo...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
     
    
3
2 2 0
1 1 2 0 1
       
            
x y xy x y xy x y
x y x y x y xy x y
6) Đặt 
0
0
  

  
u x y
v x y
; có  
22 2
2 4 (1)2
2 2 2
3 3 (2)
2 2
    

     
    
 
u v uvu v
u v u v uv
uv uv
Thay (1) vào (2) ta có:    
2 2
8 9 3 8 9 3 0          uv uv uv uv uv uv uv 
7) Hệ 
  
2 2
3 3 0
2 4 3 0
   
 
    
x y
x y x y
Cách khác: Tổng quát hơn: 
   
2 22 2
3 2 6 03 2 6 0
2 4 3 0 1 2 2
       
 
         
xy x yxy x y
x y x y x y
Đặt 
1
2
 

 
u x
v y
. Hệ trở thành
   
 
22 2
1 01 0
2 2 2
         
 
      
uv u vuv u v
u v u v uv
8) Hệ phương trình
2 2
2 2
2 3
3 2
    
 
   
x xy y y x
x xy y x y
 (*) 
 TH 1: Xét 0 0  y x thỏa mãn hệ (*). 
 TH 2: Xét 0y . Đặt x yt . 
Hệ (*) trở thành: 
   
   
2 2
2 2
2 1 3 (1)
3 2 (2)
    

   
y t t y t
y t t y t
Từ (1) ta có: 
2
3
2 1


 
t
y
t t
 thay vào (2) ta được: 
2
3 2
2
2 1 3
3 7 3 7 0
3 2
  
     
  
t t t
t t t
t t t
9) Hệ phương trình
     
2 2
3
369
     
 
 
x x y y x y x y
x y
 (*) 
Đặt 
2
2
0
0
   

  
u x xy
v xy y
. Hệ (*) trở thành: 
2 2
2 2
3
369
   

 
u v u v
u v
10) Phương trình(1)  2 2 2 22 2 4 2      x x y y x y y x 
2
2 0
5 4
 
 

y x
y xy
Luyện thi THPT Quốc gia 2015 
Giáo viên: Lê Bá Bảo...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
11) Hệ phương trình
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0

   

 
    

x x
y
x
y y
 đưa hệ về dạng 
2
2
2 2 0
2 2 0
    

   
u u v
v v u
12) Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ: 
6 1 4 1 10
6 1 4 1 2
        

       
x x y y
x x y y
Đặt 1 6 0    u x x , 1 4 0    v y y . Ta có hệ 
10
5
5 5
52
 

 
  

u v
u
v
u v
. 
13) Ta có:   3 3 2 2 3 2 2 32 2 2 2 2 5 0        x y y x y x x x y xy y . (PT đẳng cấp bậc ba) 
14) Biến đổi: 
2
2 2
22 2
1
(1) 2 3 2 3 1
. . . .
(2) 10 10
1
 
       
  
  
 
y
y x y x y x
yx x y y x y
x
x
15) Biến đổi:
2 2
2 2 2
2
2
1 1
6 6 (1)
1 1
5 5 2 (2)
    
       
    
  
        
            
        
x x
x x
y y y y
x x x
x x
y y y y y
. Thay (1) vào (2). 
16)  3 2 2 2Thay (2) vµo (1): 2 8 0. §©y lµ pt ®¼ng cÊp bËc 3.    x xy x y y 
17) Biến đổi:
   
   
   5 5 135 5 13
5 5
35 5 3
5 5
              
  
       
    
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
§Æt 5, 5     u x x v y y 
18) 3 2 3(1) 3 3 1    x x x y  
3 31 1     x y y x 
19) Đặt 3 31, 1   u x v y 
20) Cách1: Biến đổi:
§
2 2 2 2
2 22 2
      
  
     
TX
y x x y x
x y yx y
 x y 
Cách 2: LÊy (1) (2) : 2 2 .
2 2
 
          
   
x y y x
x y x y x y
x y x y