Bài toán nguyên hàm có 13 nhiều cách giải

Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
1 
BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM CÓ 13 NHIỀU CÁCH GIẢI 
Bài toán: Tính 
1 sin
.
1 cos
xxI e dx
x

 
Bài giải: 
Cách 1: (tách, dùng nguyên hàm từng phần) 
Ta có 
1 sin
. .
1 cos 1 cos
x xxI e dx e dx
x x
 
   (1) 
Xét 
sin
.
1 cos
xxJ e dx
x

 . 
Đặt 
 
2 2
2
sin cos cos sin
1 cos 1 cos1 cos
x x x x dx
u du dx
x xx
    
 
x xdv e dx v e   . 
sin
.
1 cos 1 cos
x
xx eJ e dx
x x
  
  (2). 
Từ (1) và (2) ta có: 
sin
.
1 cos
xxI e C
x
 

. 
Cách 2: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
Ta có 
  
  
1 sin 1 cos1 sin
. .
1 cos 1 cos 1 cos
x x
x xx
I e dx e dx
x x x
  
   
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
2 
2
1 cos sin sin cos
.
1 cos
xx x x x e dx
x
  

2
1 cos
.
1 cos
xx e dx
x

 2
sin sin cos
.
1 cos
xx x x e dx
x


2
1 cos
.
sin
xx e dx
x
  1 cos .
sin
xx e dx
x
 (1) 
Xét 
2 2
2 2
1 cos sin cos cos
. .
sin sin
x xx x x xJ e dx e dx
x x
     
     ' '
2
1 cos sin sin 1 cos
.
sin
x
x x x x
e dx
x
  
  
'
1 cos 1 cos
.
sin sin
x xx xe dx e d
x x
                
1 cos 1 cos
sin sin
x xx xe e dx
x x
               
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
1 cos
.
sin
xxI e C
x
  . 
Cách 3: (phương pháp tách, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
Ta có 
  
  
1 sin 1 cos1 sin
. .
1 cos 1 cos 1 cos
x x
x xx
I e dx e dx
x x x
  
   
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
3 
2
1 sin sin cos
.
1 cos
xcox x x x e dx
x
  

2 2
1 1 cos
. . . .
sin sinsin sin
x x x xcox xe dx e dx e dx e dx
x xx x
       
Đặt 1 2
1
.
sin
xI e dx
x
  ; 2 2 .sin
xcoxI e dx
x
  ; 3
1
.
sin
xI e dx
x
  ; 
4
cos
.
sin
xxI e dx
x
  . 
Ta có: 
 1 21 . cot cot cot .sin
x x x xI e dx e d x e x x e dx
x
        
4
cos
cot . cot
sin
x x xxe x e dx e x I
x
      . 
1 4 cot
xI I e x    . 
 3 1 1 1.sin sin sin sin
x
x x xeI e dx d e e d
x x x x
           
 22
. cos
sin sinsin
x x xe e x e
dx I
x xx
    . 
3 2 sin
xe
I I
x
   . 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
4 
Vậy ta có:    1 2 3 4 1 4 3 2I I I I I I I I I        
1 cos
cot .
sin sin
x
x xe xe x e
x x
    
Suy ra 
1 cos
.
sin
xxI e C
x
  . 
 * Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng! 
  
 
 
 
21 cos1 cos 1 cos1 cos
. . .
sin sin 1 cos sin 1 cos
x x x
xx xx
e e e
x x x x x
   
 
  
2sin sin
. .
1 cossin 1 cos
x xx xe e
xx x
 

Cách 4: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
Ta có 
2
2
2
2 tan
21
1 tan1 sin 2. .
1 cos
1 tan
21
1 tan
2
x x
x
x
x
I e dx e dx
x x
x

 
 


  
2tan 2 tan 1
2 2 .
2
x
x x
e dx
 
  21 tan 1 tan .
2 2 2
x xx xe dx e dx
        
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
5 
 tan tan
2 2
x xx xe d d e
       
   . tan tan tan
2 2 2
x x xx x xe d e d e    . 
Suy ra . tan
2
x xI e C  . 
Cách 5: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
Ta có : 
1 sin 1 sin
. . .
1 cos 1 cos 1 cos
x x xx xI e dx e dx e dx
x x x
  
     (1) 
Xét nguyên hàm 
 2
1 1 cos
. .
1 cos 1 cos
x xxJ e dx e dx
x x
 
 
  
 
2 2
2
sin cos cos
.
1 cos
xx x x e dx
x
 

 
 
 2
cos cos 1 sin . sin
.
1 cos
x
x x x x
e dx
x
 


 
     
 
' '
2
sin cos 1 cos 1 . sin
.
1 cos
x
x x x x
e dx
x
  


 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
6 
'
sin sin
1 cos 1 cos
x xx xe dx e d
x x
                
sin sin
. .
1 cos 1 cos
x xx xe e dx
x x
 
  (2) 
Từ (1) và (2) ta được : 
sin
.
1 cos
xxI e C
x
 

. 
Cách 6: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
Ta có 
1 sin
. .
1 cos 1 cos
x xxI e dx e dx
x x
 
   (1) 
Xét 
2
1
. tan
1 cos 2
2 cos
2
x
x xe xJ e dx dx e d
x x
           
sin
2. tan tan . . tan .
2 2 2
cos
2
x x x x
x
x x x
e e dx e e dx
x
     
2
2 sin . cos
2 2. tan tan . . tan .
2 2 2
2 cos
2
x x x x
x x
x x x
e e dx e e dx
x
     
sin
. tan tan . . tan .
2 2 2 1 cos
x x x xx x x xe e dx e e dx
x
   
  (2) 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
7 
Từ (1) và (2) ta có: . tan
2
x xI e C  . 
* Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng! 
2
sin 2 sin . cos sin2 2 2. tan . . .
2 1 cos
cos 2 cos
2 2
x x x x
x x x
x x
e e e e
x x x
   
. 
Cách 7: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
Ta có 
1 sin
. .
1 cos 1 cos
x xxI e dx e dx
x x
 
   
2 2
2 sin . cos
2 2 .
2 cos 2 cos
2 2
x
x
x x
e
dx e dx
x x
   
  tan tan
2 2
x xx xe d d e
       
 tan tan . . tan
2 2 2
x x xx x xe d e e d
                
Suy ra: . tan
2
x xI e C  . 
Cách 8: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
8 
Ta có 
2 2
2
sin 2 sin cos cos1 sin 2 2 2 2. .
1 cos
2 cos
2
x x
x x x x
x
I e dx e dx
x x
    
2
2
2
sin cos
2 2 1
. tan 1 .
2 2
2 cos
2
x x
x x
x
e dx e dx
x
              
 2
1 1
tan 1 . 2 tan .
2 2 2 2
x xx xe dx e dx
        
2
1 1
. tan .
2 2
cos
2
x xxe dx e dx
x
   
  tan tan
2 2
x xx xe d d e
       
 tan tan . . tan
2 2 2
x x xx x xe d e e d
                
Suy ra: . tan
2
x xI e C  . 
Cách 9: (dùng nguyên hàm từng phần hai lần) 
Đặt 
 
2 2
2
1 sin cos cos sin sin
1 cos 1 cos
x x x x x
u du dx
x x
     
 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
9 
 2
1 cos sin
1 cos
x x
dx
x
 

. 
x xdv e dx v e   . 
Ta có 
 2
1 sin 1 cos sin
. .
1 cos 1 cos
x xx x xI e e dx
x x
   
 
 
   2 2
1 sin 1 cos sin
. . .
1 cos 1 cos 1 cos
x x xx x xe e dx e dx
x x x
   
  
  
 2
1 sin sin
. .
1 cos 1 cos 1 cos
x
x xx e dx xe e dx
x x x
  
  
  (1) 
Xét 
 2
sin
.
1 cos
xxJ e dx
x


 . 
Đặt x xu e du e dx   ; 
 
 
 2 2
1 cossin 1
1 cos1 cos 1 cos
d xx
dv dx v
xx x
 
     
. 
1 cos 1 cos
x xe e
J dx
x x
  
  (2). 
Từ (1) và (2) ta có: 
sin
.
1 cos
xxI e C
x
 

. 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
10 
Cách 10: (phương pháp hệ số bất định) 
Ta xác định hệ số a, b, c sao cho: 
'
cos sin 1 sin
.
1 cos 1 cos
x xa x b x c xe e
x x
         
 (1) 
Ta có: 
'
cos sin
.
1 cos
xa x b x c e
x
        
    
 2
sin cos 1 cos sin cos sin
1 cos
x
a x b x x x a x b x c
e
x
     
 

cos sin
.
1 cos
xa x b x c e
x
 

 
2
2
sin sin cos cos cos
1 cos
xa x a x x b x b x e
x
    

 
2
2
sin cos sin sin
1 cos
xa x x b x c x e
x
 

 2
( ). cos ( ) sin . ( ) cos
1 cos
x
a b c x b c x b c a b x
e
x
                 

 
2
2
cos
1 cos
xa x e
x


. 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
11 
Vậy ta chọn a, b, c sao cho : 
1 0
1 1
0 0
a b c b c a
b c a b b
a c
                      
Thay vào (1) ta được: 
'
sin 1 sin
.
1 cos 1 cos
x xx xe e
x x
        
. 
Vậy 
'
1 sin sin
. .
1 cos 1 cos
x xx xI e dx e dx
x x
          
sin
.
1 cos
xxd e
x
      
sin
.
1 cos
xx e C
x
 

. 
Cách 11: (dùng nguyên hàm phụ) 
Ta có 
2 2
2
sin cos 2 sin cos1 sin 2 2 2 2. .
1 cos
2 cos
2
x x
x x x x
x
I e dx e dx
x x
    
2 2
2 2
(sin cos ) cos ( )
2 2 2 4. .
2 cos cos
2 2
x x
x x x
e dx e dx
x x
 
   . 
Xét nguyên hàm phụ 
2
2
sin ( )
2 4 .
cos
2
x
x
J e dx
x

  . 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
12 
Ta có: 
2
1
. 2 tan
2
cos
2
x x xI J e dx e d
x
         
 (1) ; 
2 2
cos( ) sin2 . .
cos cos
2 2
x x
x x
I J e dx e dx
x x

    
2
2 sin . cos
2 2 . 2 tan .
2
cos
2
x x
x x
x
e dx e dx
x
   
 2 tan 2 . tan tan
2 2 2
x x xx x xd e e e d
           
  (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
2 tan
2
2 . tan 2 tan
2 2
x
x x
x
I J e d
x x
I J e e d
                    


Suy ra . tan
2
x xI e C  . 
Cách 12: (dùng nguyên hàm phụ) 
Ta có 
1 sin
.
1 cos
xxI e dx
x

 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
13 
Xét nguyên hàm phụ 
1 sin
.
1 cos
xxJ e dx
x

 . 
Ta có: 
2
1 1
2 . . 2 tan
1 cos 2
cos
2
x x x xI J e dx e dx e d
x x
            
 2 . tan 2 . tan
2 2
x xx xe e dx   (1); 
2
2 sin cossin 2 22 . 2 .
1 cos
2 cos
2
x x
x x
x
I J e dx e dx
x x
    
2 tan .
2
xx e dx  (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
2 . tan 2 . tan
2 2
2 tan .
2
x x
x
x x
I J e e dx
x
I J e dx
     


Suy ra . tan
2
x xI e C  . 
Cách 13: (dùng tính chất của nguyên hàm) 
Ta có 
1 sin 1 sin
. . .
1 cos 1 cos 1 cos
x x xx xe e e
x x x
  
  
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com
Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com ͟͠͞͡
14 
Mà 
 
' 2 2
2
sin cos cos sin 1
1 cos 1 cos1 cos
x x x x
x xx
           
Nên ta có: 
 
' '
'1 sin sin sin sin
. . . .
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x x xx x x xe e e e
x x x x
                              
. 
Vậy 
'
1 sin sin
. .
1 cos 1 cos
x xx xI e dx e dx
x x
          
'
sin sin
. .
1 cos 1 cos
x xx xd e e C
x x
        
. 
Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh 
Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 
www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam
 www.DeThiThuDaiHoc.com