Chuyên đề: Một số dạng hệ phương trình

Chuyên đề: MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giáo viên: Lê Thị Thanh Tình
Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Định
 Học sinh được bắt đầu học về hệ phương trình từ lớp 9 và được tiếp tục ở lớp 10. Ở sách giáo khoa và chương trình học trên lớp chỉ dừng lại ở một số hệ phương trình đơn giản và theo phương pháp giải cụ thể. Nhiều năm qua, trong các đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng; đề thi chọn học sinh giỏi của các Tỉnh thường có câu hệ phương trình, mức độ đề khá khó, yêu cầu biết được nhiều phương pháp trong việc giải hệ phương trình, các phương pháp giải và các dạng hệ không được trình bày trong sách giáo khoa. Để các em học sinh có thể tham khảo thêm về các dạng hệ phương trình và các phương pháp giải hệ thường gặp, tôi xin được trình bày trong chuyên đề này gồm các phần:
I. Một số dạng hệ phương trình 
II. Một số bài tập tham khảo
I.MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất (hai ẩn, ba ẩn):
Dạng tổng quát : 1. 2. 
Phương pháp: - Phương pháp thế (rút 1 ẩn ở 1 phương trình và thay vào phương trình còn lại)
 - Phương pháp cộng đại số
 - Sử dụng MTBT
2.Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai (hoặc bậc ba)
Dạng tổng quát : 
Trong đó thường là phương trình theo x, y; giả sử x,y có bậc hai thì phương trình có dạng
Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương trình 
VD: 
3.Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại I
Dạng tổng quát: trong đó 
Nhận dạng: đổi chổ hai ẩn thì từng phương trình trong hệ phương trình không thay đổi (trật tự các pt của hệ không thay đổi)
Phương pháp:
B1: Đặt điều kiện (nếu có)
B2: Đặt điều kiện 
B3: Thay hệ ban đầu bằng hệ mới theo ẩn S,P
B4: Giải tìm ra S, P . Khi đó( x, y ) là nghiệm của phương trình 
Một số biểu thức thường gặp được đưa về dưới dạng tổng, tích
VD: Giải hệ phương trình: 
Giải:
 Đặt điều kiện 
Hệ phương trình trở thành: 
Đối chiếu đk ta có 
Vậy hệ có tập nghiệm 
Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau
a, b, c, 
4.Dạng 4: Hệ đối xứng loại II
Dạng tổng quát : 
Nhận dạng: Khi đổi chổ hai ẩn x, y thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi.
Phương pháp: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử
VD: Giải hệ phương trình sau (I)
Giải: lấy (1) –(2) ta được: 
Với x = y 
Với hệ này là hệ đối xứng loại I đã trình bày cách giải ở trên, giải hệ này ta có hệ vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : 
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình: 
5. Hệ phương trình đẳng cấp:
Dạng tổng quát: trong đó là các biểu thức đẳng cấp bậc m, n, k, l thỏa mãn : m-n= k-l.
Thường gặp hệ đẳng cấp bậc hai. (5)
Phương pháp: 
- Giải hệ khi x = 0
- Khi Đặt . Thế vào (5) ta được hệ phương trình theo x và t, khử x ta được một phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình tìm t suy ra x, y
Lưu ý: hệ dạng 
Cũng giải theo phương pháp trên
Bài tập vận dụng:
Giải các hệ phương trình sau:
 Đs 
6. Hệ dạng: 
Trong đó là các biểu thức đẳng cấp bậc m, n, k thỏa mãn m+ n = k
Phương pháp giải: Sử dụng kĩ thuật đồng bậc 
Sau đó, đưa phương trình này thành phương trình bậc hai hay phương trình tích số hoặc tìm ra mối liên hệ giữa x và y trực tiếp. Kết hợp với phương trình còn lại.
VD:
Giải pt (1) và thay vào phương trình (2) ta được nghiệm của hệ phương trình.
Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau
1) 2) 
3) 4) 
7. Một số dạng hệ phương trình khác:
Khi gặp một hệ phương trình, ta có thể gặp các trường hợp sau:
Nhận dạng được một trong các hệ trình bày trên, giải theo PP đã biết
Phải biến đổi hoặc đặt ẩn phụ mới đưa về được các hệ có dạng đã biết
Không gặp một trong các dạng trên
Vậy thường sử dụng những phép biến đổi nào? Sau đây, tôi xin giới thiệu một số phương pháp giải phương trình phổ biến. Với các phương pháp này khi giải hệ chúng ta có thể đưa về các dạng trên, hoặc một hệ phương trình đơn giản có thể giải được nghiệm
a.Hệ giải bằng phương pháp thế:
Trong hệ có một phương trình bậc nhất hoặc bậc với ẩn x hoặc y, khi đó ta rút y theo x hoặc ngược lại. Hoặc rút một biểu thức nào đó và thay vào phương trình còn lại.
VD1: Giải hệ phương trình (Đề CĐ –A -2013)
Giải: Nhận thấy y = 0 không phải là ngiệm của hệ pt
Từ (1) suy ra Khi đó
Vậy hệ có tập nghiệm S = 
Bài tập tương tự: 
Giải các hệ phương trình sau: 
1) 2) 3) 
4) 5) (ĐH- B-2008)
 6) (ĐH-D-2009)
b .Hệ sử dụng phương pháp cộng đại số:
Cộng , trừ vế theo vế của hệ phương trình ta được một phương trình có thể giải được hoặc phân tích được thành nhân tử
VD1: Giải hệ phương trình 
HD giải: Cộng vế theo vế của 2 phương trình ta được: 
s
Hệ đã cho tương đương đây là hệ đối xứng loại I ta có thể giải được
VD2: Giải hệ phương trình (HSG Lâm Đồng 2010-2011)
HD giải: Lấy (1)-(2) vế theo vế và phân tích thành nhân tử ta được: 
Với y =1, y = -1 lần lượt thay vào pt (1) ta tìm được nghiệm của hệ pt
Với ( do y =0 không phải là nghiệm của phương trình)
Thay vào phương trình (1) và biến đổi ta được phương trình 
Giải pt tìm y và suy ra nghiệm của hệ phương trình
Bài tập tương tự
 HD: lấy (1)-2.(2)
 HD: lấy (1)-3.(2)
c.Phương pháp phân tích thành nhân tử: một phương trình của hệ có thể phân tích thành nhân tử
VD: Giải hệ phương trình sau
 ( ĐH –D-2012)
Giải:
Hệ đã cho
Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau
 (ĐH-D-2008) 2) (ĐH-B-2013)
3) (ĐH –B -2014)
4) 5) (HSG Thái Bình 2003-2004)
d. Xem một phương trình trong hệ có dạng là phương trình bậc hai theo một ẩn, ẩn còn lại là tham số
VD: Giải hệ phương trình 
HD Giải: Biến đổi pt(2) 
Xem pt này là phương trình bậc hai ẩn y tham số x, ta có từ đó thu được nghiệm 
Lần lượt thay (3) và (4) vào (1) ta tìm được nghiệm của hệ phương trình
Bài tập tương tự:
Đề ĐH – B-2013 có thể giải theo cách này
e.Hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp các phương pháp cộng, thế, nhân lượng liên hợp:
Đặt theo Vi-ét
Đặt theo hệ đẳng cấp
Lượng giác hoắ
Đặt 
 VD: Giải các hệ phương trình sau: 
a, (ĐH – A -2012)
HD giải: Cách 1
Đặt t = -x 
Hệ trở thành Đậy là hệ đối xứng loại I , đặt S =x+y , P = xy
Giải hệ ta có nghiệm của hệ là 
Cách 2: 
Đặt sau đó rút x, y theo u, v thay vào hệ phương trình và giải
b, 
Giải:
Điều kiện: 
Với điều kiện trên, 
Đặt 
Ta có hệ: 
c, 
HD giải:
ở đây rõ ràng ta có thể nhìn thấy và đặt ẩn phụ : thay vào và giải hệ
Bài tập tương tư:
1, (HSG Hải Phòng, 2010-2011)
2, 3, (ĐH – A _ 2008)
4, 5, HD: 
6, 7, 8, 
HD: câu f, g, h đặt 
Ở các ví dụ trên, ta thấy có thể đặt trực tiếp ẩn phụ bằng các biểu thức ở hệ để đưa về hệ đơn giản hơn, tuy nhiên có một vài hệ ta phải đánh giá trước khi biến đổi để đặt ẩn phụ
VD: Giải hê phương trình 
HD giải: 
Ta thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
Xét hệ tương đương với 
ở đây dễ dàng đặt ẩn phụ và giải hệ
Những ví dụ thuộc dạng này
Giải các hệ phương trình sau
1, 2, 3, 
4. (ĐH – B- 2009)
f.Phương pháp hàm số (Tham khảo phần này ở bài viết của thầy Hoàng trong tháng trước)
g.Phương pháp đánh giá (tham khảo đề khối A- 2014 )
II.MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giải các hệ phương trình sau
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 
7) 8) 10) 
11) (A-2006) 12) (B-2002) 13) 
14) 15) 16) 
17) 18) 19)