Chuyên đề Lượng giác luyện thi Đại học

LƯỢNG GIÁC
A: CÔNG THỨC
I. Hệ thức LG cơ bản
II. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng: 
Tổng thành tích: 
Biểu diễn các hàm số LG theo 
Công thức nhân:
Tích thành tổng:
cosa.cosb =[cos(a-b)+cos(a+b)]
sina.sinb =[cos(a-b)-cos(a+b)]
SINA.COSB =[SIN(A-B)+SIN(A+B)]
	Công thức hạ bậc
cos2a =(1+cos2a)
SIN2A =(1-COS2A)
III. Phương trình LG cơ bản
* sinu = sinv 	* cosu = cosv Û u = ±v+k2p
* tanu = tanv Û u = v+kp	* cot u= cotv Û u = v+kp .
IV. Một số phương trình LG thường gặp
1. PT BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: ĐỂ GIẢI CÁC PT NÀY TA DÙNG CÁC CÔNG THỨC LG ĐỂ ĐƯA PT VỀ PT LG CƠ BẢN.
PT BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: LÀ NHỮNG PT CÓ DẠNG A.SIN2X+B.SINX+C=0 (HOẶC A.COS2X+B.COSX+C=0, A.TAN2X+B.TANX+C=0, A.COT2X+B.COTX+C=0) ĐỂ GIẢI CÁC PT NÀY TA ĐẶT T BẰNG HÀM SỐ LG..
2. PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là .
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt , ta được: sinx+tanacosx=
sinx+cosx=	 sin(x+)=.
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho, ta được:
Đặt: . Khi đó phương trình tương đương:
 hay .
Cách 3: Đặt .
3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với .
+ Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý: 
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |.
B: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với: 
Û cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
Û 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
Û 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
Û 4cos5x.cos2x.cosx = 0
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).
Giải
Ta có (2) Û cos6x(2cos2x-1) = sin6x(1-2sin2x)
Û cos2x(sin6x–cos6x) = 0
Û cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
Û cos2x = 0
Û 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3).
Giải
Ta có: 
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: (4).
Giải
Ta có (4)
Đặt cos22x = t, với tÎ[0; 1], ta có 
Vì tÎ[0;1], nên 
 Ûcos4x = 0 Û
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) Û 2(1- cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
Û (1- cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) - 1] = 0
Û (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện , khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t2 – 1 + 1 = 0 Û t2 + 2t = 0 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:; 
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình: (6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do nên , mà |cosx| ≤ 1.
Do đó 
(Vì k, n Î Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: .
Giải: Đặt . Dễ thấy f(x) = f(-x), , 
do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0.
- Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = -cosx+1, "x≥0 Þ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 Þ f(x) đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng thoả mãn phương trình:.
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng , ta có minf(x) = f = 
Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 9: Định m để phương trình sau có nghiệm
GiảiTa có:
* ;
* 
* 
Do đó phương trình đã cho tương đương:
Đặt (điều kiện: ).
Khi đó . Phương trình (1) trở thành:
 (2) với 
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): với .
x
y’
+
y
Trong đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đạt giá trị lớn nhất là tại .
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 
.
ÁP DỤNG
CĐ-2010
CĐ-2011
CĐ-2012
CĐ-2013
ĐH-D2010
ĐH-D2011
ĐH-D2012
ĐH-D2013
ĐH-B2010
ĐH-B2011
ĐH-B2012
ĐH-B2013
ĐH-B2014
ĐH-A2010
ĐH-A2011
ĐH-A2012
ĐH-A2013
ĐH-A2014