Chuyên đề Lượng giác

www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 1 
Chuyên đề 
LƯỢNG GIÁC 
Phần 1: CÔNG THỨC 
1. Hệ thức LG cơ bản 
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2cos
k
k
α α
α pi
α α pi
α
pi
α α pi
α
+ =
 
= ≠ + 
 
 
= + ≠ + 
 
 ( )
( )22
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
k
k
α α
α
α α pi
α
α α pi
α
=
= ≠
= + ≠
2. Công thức LG thường gặp 
Công thức cộng: 
( )
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±± =
m
m
Công thức nhân: 
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan 3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −
= −
= −
−
−
Tích thành tổng: cosa.cosb = 1
2
[cos(a−b)+cos(a+b)] 
sina.sinb = 1
2
[cos(a−b)−cos(a+b)] 
sina.cosb = 1
2
[sin(a−b)+sin(a+b)] 
Tổng thành tích: sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b + −+ = 
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b + −− = 
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b + −+ = 
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b + −− = − 
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
±± = 
Công thức hạ bậc: cos2a = 1
2
(1+cos2a) 
sin2a = 1
2
(1−cos2a) 
Biểu diễn các hàm số LG theo tan
2
a
t = 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 2 
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −
3. Phương trìng LG cơ bản 
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
pi
pi pi
= +
⇔ 
= − +
 * cosu=cosv⇔u=±v+k2pi 
* tanu=tanv ⇔ u=v+kpi * cotu=cotv ⇔ u=v+kpi ( )Zk ∈ . 
4. Một số phương trình LG thường gặp 
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các 
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. 
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng 
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các 
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: 
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c+ ≥ . 
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tanb
a
α= , ta được: sinx+tanαcosx= cosc
a
α 
⇔ sinx cosα + sinα cosx= cosc
a
α ⇔ sin(x+α )= cosc
a
α sinϕ=
ñaët
. 
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2a b+ , ta được: 
2 2 2 2 2 2
sin cosa b cx x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt: 
2 2 2 2
cos ; sina b
a b a b
β β= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương: 
2 2
cos sin sin cos cx x
a b
β β+ =
+
 hay ( )
2 2
sin sincx
a b
β ϕ+ = =
+
ñaët
. 
Cách 3: Đặt tan
2
x
t = . 
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: 
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). 
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 
2
x kpi pi= + . 
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. 
Chú ý: 22
1
tan 1
2cos
x x k
x
pi
pi
 
= + ≠ + 
 
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: 
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. 
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | 2≤ . 
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
pi pi
pi pi
   
+ = + = −   
   
   
− = − = − +   
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc: 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 3 
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. 
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). 
Giải 
Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x− − + +
+ = + 
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0 
5
10 52cos5 0
cos 2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2
pi kpipi
xx kpi
x
pi pi lpi
x x kpi x k l n
x
pi pi
x kpi x npi

= += + 
= 
 ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈ 
 = 
 = + = +
  
 
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). 
Giải 
Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x) 
⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0 
⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 
⇔ cos2x = 0 
⇔ 2 , ( )
2 4 2
pi pi kpi
x kpi x k= + ⇔ = + ∈ 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − = (3). 
Giải 
Ta có: 
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
pi
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± , ( )kpi k+ ∈
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17sin cos
32
x x+ = (4). 
Giải 
Ta có (4) 
4 4
4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6 cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
− +   
⇔ + = ⇔ + + =   
   
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 4 
Đặt cos22x = t, với t∈[0; 1], ta có 2 2
1
17 13 26 1 6 0
134 4
2
t
t t t t
t

=
+ + = ⇔ + − = ⇔ 

= −

Vì t∈[0;1], nên 21 1 cos 4 1 1cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ = 
 ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 , ( )
2 8 4
pi pi pi
x kpi x k k= + ⇔ = + ∈ 
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) 
Giải 
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0 
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 
cos 1 2 , ( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) 
x x k pi k
x x x x
= ⇔ = ∈
⇔  + + + =

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t ≤ , khi đó phương trình (*) trở thành: 
2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0
0
sin -cos , ( )
2 ( 4
t pi
x x x npi n
t lo
=
⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈
= −

¹i)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
pi
x npi= − + ; 2 , ( , ) x k pi n k= ∈ 
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách 
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. 
Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cosxpi x= (6). 
Giải 
Điều kiện: x ≥ 0 
Do | sin | 0,x ≥ nên |sin | 0 1xpi pi≥ = , mà |cosx| ≤ 1. 
Do đó 
2 2 2 0| sin | 0 , ( )(6)
0| cos | 1 , ( )
k nx k pi k pi nx x kpi k
xx npi x npix x npi n
+  = = = = = = ∈ 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    
== == = ∈    


(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. 
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. 
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 
2
1 cos
2
x
x− = . 
Giải 
Đặt 
2
( )= cos
2
xf x x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), x∀ ∈ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét 
với x ≥ 0. 
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x) 
đồng biến với x≥0 . 
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
pi 
 
 
 thoả mãn 
phương trình:
2
2sin cos 2
n
n nx x
−
+ = . 
Giải 
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. 
 = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 5 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
2
pi 
 
 
, ta có minf(x) = f
4
pi 
 
 
 = 
2
22
n−
Vậy x = 
4
pi
 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau: 
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2
2
x k x npipi pi= = + 
2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2
4 3
x k x npi pipi pi= − + = ± + 
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 
ĐS: 7; ; .
4 4 12 12
x k x n x mpi pi pi pipi pi= ± + = − + = + 
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k pi= . 
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội) 
ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x lpi pi α pi pi α pi= + = + = − + với 1sin
4
α = − . 
6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 
4
x kpi pi= + . 
7. sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
pi pi   
− = +   
   
; (Học Viện BCVT) ĐS: 
4 2
x kpi pi= + 
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x 
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: 
12
x k pi= . 
9. 1 1 74sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
pi
pi
 
+ = − 
   
− 
 
 ĐS: 
4
8
5
8
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi
−
= +

−
= +


 = +

10. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − 
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 
3
kpi pi− + , 
4
x kpi pi= ± + 
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( )
4 3
x k x k kpi pipi pi= + ∨ = ± + ∈ 
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 
Giải 
(1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 
⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 
⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. 
Đặt t=cosx, ĐK 1t ≤ , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 6 
⇒ 
( )
1
12 cos
2
sin - 2
t
x
t x

= ⇒ =

= loaïi
 (biết giải) 
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. 
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. 
Đặt t=sinx, ĐK 1t ≤ . 
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0  ∆=(4cosx–1)2. 
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. 
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. 
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. 
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp  
15. Giải phương trình lượng giác: ( )2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải 
Điều kiện: ( )cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠

≠
Từ (1) ta có: ( )2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin
sin cos 2 cos cos1
cos sin 2 sin
x x x x
x
x x x x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x⇔ = 
( )
22 4
cos
2 2
4
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi

= +
⇔ = ⇔ ∈

= − +

 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( )2
4
x k kpi pi= − + ∈ 
16. Giải phương trình: ( )
4 4sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= + 
Giải 
( )
4 4sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= + (1) 
Điều kiện: sin 2 0x ≠ 
211 sin 2 1 sin cos2(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = + 
 
2
2
11 sin 2 1 12 1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ = 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
17. Giải phương trình: 2 22sin 2sin tan
4
x x x
pi 
− = − 
 
. 
Giải 
Pt⇔ 2 22sin 2sin tan
4
x x x
pi 
− = − 
 
 (cosx )0≠ 21 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
pi  
⇔ − − = −  
  
⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1. 
18. Giải phương trình: ( ) ( )3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = . 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 7 
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
+ − − + − − =
⇔ + − − + + − − =
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 =−+−−−−⇔ xxxxxxxx 
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
⇔ − − − + =
 =

− = 
⇔ ⇔ = 
+ − = 
= lo
,3
2
x k
k
x k
pi
pi
pi

= +⇔ ∈

=
Z 
19. Giải phương trình: cosx=8sin3
6
x
pi 
+ 
 
Giải 
cosx=8sin3
6
x
pi 
+ 
 
⇔ cosx = ( )33 sin cosx x+ 
⇔ 3 2 2 33 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0x x x x x x x+ + + − = (3) 
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm 
 (3) ⇔ 3 23 3 tan 8 tan 3 3 tan 0x x x+ + = 
tan 0 x x kpi⇔ = ⇔ = 
20. Giải phương trình lượng giác: ( )2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải 
Điều kiện: ( )cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠

≠
Từ (1) ta có: ( )2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin
sin cos 2 cos cos1
cos sin 2 sin
x x x x
x
x x x x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x⇔ = 
( )
22 4
cos
2 2
4
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi

= +
⇔ = ⇔ ∈

= − +

 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( )2
4
x k kpi pi= − + ∈ Z 
21. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − − 
Giải 
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −
⇔ 
− = − ≤
( ) ( ) 222 sin 1 sin sin ( )4 4 4 2
x k
x x k Z
x k
pi pipi pi pi
pi pi

= +
⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈

= +
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 8 
22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 
Giải 
3 sin cos 2cos3 0x x x+ + = ⇔ sin
3
pi
sinx + cos
3
pi
cosx = – cos3x. 
⇔ cos cos3
3
x x
pi 
− = − 
 
 ⇔ cos cos( 3 )
3
x x
pi
pi
 
− = − 
 
⇔ 3 2 ( )
3
k
x
k
x k
pi pi
pi
pi

= +
∈
 = +

Z ⇔ x = 
3 2
kpi pi
+ (k∈Z) 
23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
+
Giải 
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
+
⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2
8
+
⇔ ( )2 2 2 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x
+
+ + − = ⇔ 
2
cos 4 ,
2 16 2
x x k k Zpi pi= ⇔ = ± + ∈ . 
24. Định m để phương trình sau có nghiệm 
24sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
pi pi pi     
+ − + − + + =     
     
Giải 
Ta có: 
* ( )4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4x x x x= − ; 
* ( )4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4
4 4 2
x x x x x x
pi pi pi      
− + = − + = +      
      
* ( )2 1 1cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
pi pi    
+ = + + = −    
    
Do đó phương trình đã cho tương đương: 
( ) 1 12 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m+ + + − = 
Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x
pi 
= + = − 
 
 (điều kiện: 2 2t− ≤ ≤ ). 
Khi đó 2sin 4 2sin 2 cos 2 1x x x t= = − . Phương trình (1) trở thành: 
2 4 2 2 0t t m+ + − = (2) với 2 2t− ≤ ≤ 
2(2) 4 2 2t t m⇔ + = − 
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m= − (là đường song song với Ox và cắt 
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2 4y t t= + với 2 2t− ≤ ≤ . 
x 2− 2 
y’ + 
y 2 4 2+ 
 2 4 2− 
Trong đoạn 2; 2 −  , hàm số 
2 4y t t= + đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2− tại 2t = − và đạt giá trị lớn 
nhất là 2 4 2+ tại 2t = . 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 9 
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m− ≤ − ≤ + 
2 2 2 2m⇔ − ≤ ≤ . 
−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−− 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 10 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 
KHỐI A 
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2pi) của phương trình: cos3 sin 35 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+ 
+ = + + 
 (Khối A_2002). 
Giải 
ĐS: 5;
3 3
x x
pi pi
= = . 
2. Giải phương trình: 2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
 (Khối A_2003) 
Giải 
ĐS: ( )
4
x k kpi pi= + ∈Z 
3. Giải phương trình: 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x− = (Khối A_2005) 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 11 
ĐS: ( )
2
k
x kpi= ∈Z 
4. Giải phương trình: 
( )6 62 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
 (Khối A_2006) 
Giải 
ĐS: ( )5 2
4
x k kpi pi= + ∈Z 
5. Giải phương trình: ( ) ( )2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (Khối A_2007) 
Giải 
ĐS: ( ), 2 , 2
4 2
x k x k x k kpi pipi pi pi= − + = + = ∈Z 
6. 1 1 74sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
pi
pi
 
+ = − 
   
− 
 
 (Khối A_2008) 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 12 
ĐS: ( )5, , ,
4 8 8
x k x k x k kpi pi pipi pi pi− −= + = + = + ∈Z 
7. Giải phương trình: ( )( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
. (Khối A_2009) 
Giải 
ĐS: ( )2 ,
18 3
x k kpi pi= − + ∈Z 
KHỐI B 
8. Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (Khối B_2002) 
Giải 
ĐS: ( ); ,
9 2
x k x k kpi pi= = ∈Z 
9. Giải phương trình 2cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + = (Khối B_2003) 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 13 
ĐS: ( ),
3
x k kpi pi= ± + ∈Z 
10. Giải phương trình ( ) 25sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (Khối B_2004) 
Giải 
ĐS: ( )52 ; 2 ,
6 6
x k x k kpi pipi pi= + = + ∈Z 
11. Giải phương trình 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = (Khối B_2005) 
Giải 
ĐS: ( )2 2
3
x k kpi pi= ± + ∈Z 
12. Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + = 
 
 (Khối B_2006) 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 14 
ĐS: ( )5; ,
12 12
x k x k kpi pipi pi= + = + ∈Z 
13. Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (Khối B_2007) 
Giải 
ĐS: ( )2 5 2; ,
18 3 18 3
x k x k kpi pi pi pi= + = + ∈Z 
14. Giải phương trình 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − (Khối B_2008) 
Giải 
ĐS: ( ); ,
4 2 3
x k x k kpi pi pi pi= + = − + ∈Z 
15. Giải phương trình: ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = + . (Khối B_2009) 
Giải 
ĐS: ( )2 , 2 ,
42 7 6
k
x x k kpi pi pi pi= + = − − ∈Z 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 15 
KHỐI D 
16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002) 
Giải 
ĐS: 3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x
pi pi pi pi
= = = = 
17. 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
pi 
− − = 
 
 (Khối D_2003) 
Giải 
ĐS: ( )2 , ,
4
x k x k kpipi pi pi= + = − + ∈Z 
18. Giải phương trình ( ) ( )2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (Khối D_2004) 
Giải 
ĐS: ( )2 , ,
3 4
x k x k kpi pipi pi= ± + = − + ∈Z 
19. Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
pi pi   
+ + − − − =   
   
 (Khối D_2005) 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 16 
ĐS: ( ),
4
x k kpi pi= + ∈Z 
20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006) 
Giải 
ĐS: ( )2 2 ,
3
x k kpi pi= ± + ∈Z 
21. Giải phương trình 
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + = 
 
 (Khối D_2007) 
Giải 
ĐS: ( )2 , 2 ,
2 6
x k x k kpi pipi pi= + = − + ∈Z 
22. Giải phương trình sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− = (CĐ_A_B_D_2008) 
Giải 
www.VNMATH.com 
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng 17 
ĐS: ( )4 22 , ,
3 15 5
x k x k kpi pi pipi= + = + ∈Z 
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) 
Giải 
ĐS: ( )2 2 , ,
3 4
x k x k kpi pipi pi= ± + = + ∈Z 
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) 
Giải 
ĐS: ( )5, ,
12 12
x k x k kpi pipi pi= + = + ∈Z 
25. Giải phương trình 3 cos 5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x− − = (Khối D_2009) 
Giải 
ĐS: ( ), ,
18 3 6 2
x k x k kpi pi pi pi= + = − + ∈Z 
−Hết−