Chuyên đề Hình oxy trong bài toán tam giác

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
- Tài liệu này hoàn toàn miễn phí trên Facebook cá nhân của thầy. Bạn nào phải mất phí mới down 
được tài liệu thì em phải trách mình vì sự thiếu hiểu biết. 
Câu 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G là 
trọng tâm tam giác ABM, điểm 5 1;
3 3
D  − 
 
 là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA GD= . Tìm toạ các đỉnh của 
tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình 2 0y + = . 
Lời giải: 
Gọi N là trung điểm của AB khi đó MN là trung trực của AB 
Ta có: GB GA GD G= = ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABD. Khi đó: 
 
 02 90AGD ABD AGD= = ⇒ ∆ vuông cân tại G. 
Phương trình đường thẳng GD là: 5 5 ; 2
3 3
x G  = ⇒ − 
 
. 
Gọi ( ) ( )
2
2 2
10
25 5 25
; 2 3
9 3 9 0
t l
A t GA GD t
t

=  
− ⇒ = = ⇔ − = ⇔   
=
Khi đó ( )0; 2A − . Gọi K là trung điểm của MB ta có 
5 52 52 ; 23 3
2
2
K
K
x
AG GK K
y
  
= −   
= ⇔ ⇒ −   
 
= −
 
PT đường thẳng BC là: 2 3 0x y+ − = , gọi ( ) ( )
2
22 2 5 25;3 2 5 2
3 9
B u u GB GA u u − ⇒ = ⇔ − + − = 
 
( ) ( ) ( )
( )
3 3; 3 2; 1 1;1
5
3
u B M C
u B D loai
= ⇒ − ⇒ − ⇒
⇔

= ⇒ ≡

Kết luận: Vậy ( ) ( ) ( )0; 2 ; 3; 3 ; 1;1A B C− − là các điểm cần tìm. 
Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông tại B có phân giác trong AD với 15 1;
2 2
D   
 
thuộc BC .Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE AF=
. 
Đường thẳng EF cắt BC 
tại K. Biết điểm 11 3;
2 2
F   
 
, E có tung độ dương và phương trình đường thẳng : 2 1 0AK x y− + = . Tìm toạ 
độ các đỉnh của tam giác ABC. 
Lời giải: 
DỰ ĐOÁN CÂU HÌNH OXY – BÀI TOÁN TAM GIÁC 
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có 
phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung 
tuyến. 
Ta có: 
KE AD
DE AK
AB KD
⊥
⇒ ⊥ ⊥
. Do đó đương thẳng DE qua 
15 1
;
2 2
D   
 
 và vuông góc với AK. Khi đó ta có phương trình 
31
: 2 0
2
DE x y+ − = .Vì E thuộc DE nên ta gọi 31; 2
2
E t t − 
 
Dễ thấy ( )
2
215 15 2 5
2
DE DF t t = ⇔ − + − = 
 
( )
( )
( )
2
17 17 3
;
2 2 2
2 15 4
13 13 5
; 6;2 : 8 0
2 2 2
t E loai
t
t E I AD x y
  
= ⇒ − 
 ⇔ − = ⇔
  
= ⇒ ⇒ ⇒ + − =  
 
Khi đó ( )5;3 :3 18 0; : 3 14 0; : 3 22 0A AD AK A AC x y AB x y BC x y= ∩ ⇒ ⇒ + − = + − = − − = 
Do vậy ( ) ( ) 205;3 ; 8;2 ; ; 2
3
A B C  − 
 
 là toạ độ các điểm cần tìm. 
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có điểm ( )4;1B và I là tâm 
đường tròn nội tiếp, đường thẳng qua C vuông góc với CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC tại 
( )7;7K , biết điểm C thuộc đường thẳng 3 2 0x y− + = . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC. 
Lời giải: 
Chứng mình góc 
 
0 0135 45BIC BKC= ⇒ = . 
Gọi ( );3 2C t t + ta có: ( ) ( )3; 6 ; 7;3 5= − − = − − KB KC t t 
Khi đó: ( )
( ) ( )
0
2 2
3 7 17. 1
cos 45
. 245. 7 3 5
tKB KC
KB KC t t
− −
= = =
− + −
 
( ) ( )2 2
17
7
2 7 17 5 10 44 74
t
t t t
 ≤
⇔ ⇔

− = − +
2
17
17
3 16 13 0
t
t
t t
 ≤
⇔ =

− + =
Do vậy ( )1;5 : 3 8 0; : 2 6 0C IC x y IB x y⇒ + − = + − = 
( )2;2I IB IC I⇒ = ∩ = , phương trình BC: ( )4 3 19 0 ; 1x y r d I BC+ − = ⇒ = = 
( ) ( ) ( )2 2: 2 2 1⇒ − + − =C x y 
Vậy ( ) ( ) ( ) ( )1;1 ; 2;2 ; 4;1 ; 1;5A I B C ; ( ) ( ) ( )2 2: 2 2 1C x y− + − = 
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có điểm ( )1;7C và nội tiếp đường 
tròn ( )C tâm I .Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại điểm thứ 2 
là ( )2;6K − , biết điểm I có hoành độ dương và đường thẳng AI đi qua ( )0;2E . Tìm toạ độ các đỉnh A, B. 
Lời giải : 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Dễ thấy tứ giác IAKC nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp của tam giác AIC. 
Do có AI là phân giác góc BAC nên 
 
045IAC IKC= = ( cùng chắn cung IC). 
Khi đo ta có tam giác IKC vuông cân tại C. 
Phương trình IC là : ( )3 10 0 ;10 3x y I t t+ − = ⇒ − . 
Lại có: ( ) ( )( ) ( )
2 2 2;410 1 10
0 0;10
t I
IC CK t
t I loai
= ⇒
= ⇒ − = ⇔ 
= ⇒
Phương trình đường thẳng AI là: ( )2 0 : 4 0 1;3x y AK x y A− + = ⇒ + − = ⇒ . 
Khi đó: : 3AB y = . Ta có: ( ); 1r d I AC= = . 
Gọi ( ) ( ) ( ) ( )( );3 1 ;4 : 4 1 1 7 0⇒ = − ⇒ − + − − =B u BC u BC x u y . 
( ) ( )
( )
( )22
2
4 3 1 1
; 1 1 2 17 3 7
416 1
u u
d I AC u u u
uu
− − =
= ⇔ = ⇔ − + = − ⇒ 
=+ −
Khi đó ( ) ( )1;3 ; 4;3B A B≡ . Kết luận ( ) ( )1;3 ; 4;3A B là các điểm cần tìm. 
Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A đường cao : 3 16 0AH x y− − = cắt phân giác 
trong BD tại K, đường thẳng qua K song song với AC cắt cạnh huyền BC tại ( )3; 7E − , biết điểm D thuộc 
đường thẳng : 12 0x y∆ − − = và 3Ax > . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. 
Lời giải: 
Do 
/ /KE AC AB
AH BC
⊥
 ⊥
. Do đó K là trực tâm tam giác ABE do vậy 
BK AE⊥ tại I là trung điểm của cạnh AE ( phân giác đồng thời là đường 
cao) . 
Lại có: 

 


 


 

AKD BKH
AKD ADK
ADK BKH
 =
⇒ =
=
 do đó tam giác AKD cân tại A 
suy ra I là trung điểm của KD. Do vậy K và D đối xứng nhau qua AE. 
Khi đó ADKE là hình thoi / /AH DE⇒ . 
Phương trình đường thẳng DE : 3 24 0x y− − = 
Suy ra ( )6; 6D DE D= ∆ ∩ ⇒ − . Gọi ( )3 16;A t t+ ta có: DA DE= ( ) ( )2 23 10 6 10t t⇒ + + + = 
( )
( )
7; 33
21 17 21
;
5 5 5
At
t A loai
−= −
⇔ ⇒
−   = −   
Phương trình AB: 3 2 0; : 3 24 0; :3 2 0x y AC x y BC x y+ + = − − = + − = .