Chuyên đề Hình học không gian - Quan hệ song song trong không gian

.
 Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (b) thì trong (b) có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng () song song với (b).
 Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
 Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với () đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với ().
Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
 Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
III- ĐỊNH LÍ TA-LÉT (THALÈS):
 Định lí 4 (Định lí Ta-lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
 Nếu d và d' là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (), (b), (g) lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì:
IV- HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP:
 Cho hai mặt phẳng song song () và ('). Trên () cho đa giác lồi . Qua các đỉnh ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (') lần lượt tại .
 · Hình gồm hai đa giác, và các hình bình hành được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là .
 · Hai đa giác và được gọi là hai mặt đáy hình lăng trụ.
 · Các đoạn thẳng được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.
 · Các hình bình hành được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
 · Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.
 * Nhận xét: Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. Hình lăng trụ được gọi tên dựa vào tên của đa giác đáy: "lăng trụ" ghép với "tên đa giác đáy".
 Định nghĩa: Cho hình chóp S.; một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh lần lượt tại . Hình tạo bởi thiết diện và đáy của hình chóp cùng với các tứ giác gọi là hình chóp cụt.
 · Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.
 · Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,
 * Tính chất:
	· Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
	· Các mặt bên là những hình thang.
	· Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I- ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TÓAN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:
 Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là .
 1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là ,
 Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ,  được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
 2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian: tương tự trong mặt phẳng.
 · Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: 
 3. Phép nhân vectơ với một số: Trong không gian, tích của vectơ với một số k ≠ 0 là vectơ k được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.
II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ:
 1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian:
Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vectơ không đồng phẳng.
Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ đồng phẳng.
 * Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.
 2. Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
 3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
 Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương và vectơ . Khi đó ba vectơ , đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho = . Ngòai ra cặp số m, n là duy nhất.
 Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng , . Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho . Ngòai ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I- TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:
 1. Góc giữa hai vectơ trong không gian:
 Định nghĩa: Trong không gian, cho và là hai vectơ khác vectơ - không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho , . Khi đó ta gọi góc BAC (00 £ ÐABC £ 1800) là góc giữa hai vectơ vàtrong không gian, kí hiệu là ().
 2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
 Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ và đều khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là . , được xác định bởi công thức: 
	Trường hợp = hoặc = ta quy ước .= 0.
II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
 1. Định nghĩa: Vectơ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
 2. Nhận xét:
· Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ với k0 cũng là một vectơ chỉ phương của d.
· Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó.
· Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III- GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:
 1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
 2. Nhận xét:
· Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
· Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và = thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng nếu 00 £ £ 900 và bằng 1800 - nếu 900 <1800. 	
· Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00. 
V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:
 1. Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là ab.
 2. Nhận xét:
· Nếu và lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: ab . 
· Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
· Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I- ĐỊNH NGHĨA:
 Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng () nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ().
 Khi d vuông góc với () ta còn nói () vuông góc với d, hoặc d và () vuông góc với nhau.
 Kí hiệu: d(). 
II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
 Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
 Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
III- TÍNH CHẤT:
 Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
 * Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng:
 Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
 Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
 Tính chất 1:
 a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
 b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 Tính chất 2:
 a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
 b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
 Tính chất 3:
 a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng () song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với thì cũng vuông góc với a.
 b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
 V- PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC:
 1. Phép chiếu vuông góc:
Cho đường thẳng D vuông góc với mặt phẳng (). Phép chiếu song song theo phương của D lên mặt phẳng () được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ().
 * Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Chú ý rằng người ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng ()” thay cho tên gọi “phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ()” và dùng tên gọi H' là hình chiếu của H trên mặt phẳng () thay cho tên gọi là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng ().
 2. Định lí ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng () và b là đường thẳng không thuộc () đồng thời không vuông góc với (). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ().
· Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng 900.
· Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên () gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ().
* Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () thì ta luôn có 00900.
4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
 1. Định nghĩa:
	Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
	Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00.
 2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
	Giả sử hai mặt phẳng () và (b) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong () đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (b) đường thẳng b vuông góc với c.
	Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng () và (b) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
 3. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
	Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng () có diện tích là S và H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (b), gọi j là góc giữa mp() và mp(b). Khi đó diện tích S’ của H’ được tính theo công thức: S’ = Scos
II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC:
 1. Định nghĩa:
	Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông. Nếu hai mặt phẳng () và (b) vuông góc với nhau ta kí hiệu ()(b).
 2. Các định lí:
	Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.	
	Hệ quả1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
	Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng () và (b) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (b) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng ().
	Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG:
 1. Định nghĩa:
	Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
	Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,v.v được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,v.v
	Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều. Ta có các loại lăng trụ đều như hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều
	Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
	Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
	Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương.
 2. Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU:
 1. Hình chóp đều: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là đa giác và H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (). Khi đó đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và H gọi là chân đường cao.
 Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
 Nhận xét:
	a) Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
	b) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
 2. Hình chóp cụt đều: Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
5. KHOẢNG CÁCH
I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG:
 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
	Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu là d(O,a).
 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
	Cho điểm O và mặt phẳng (). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () và được kí hiệu là d(O, ()).
II- KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:
 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
	Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (), kí hiệu là d(a, ()).
 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
	Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
	Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng () và (b) song song với nhau là d((),(b)). Khi đó d((),(b)) = d(M, (b)) với M(), và d((),(b)) = d(M’,()) với M’(b).
III- ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU:
 1. Định nghĩa:
	a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
	b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
 2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
	Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (b) là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (b).
	Vì a // (b) nên a // a’. Do đó a’ và b’ cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi () là mặt phẳng chứa a và a’. là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (b). Khi đó () vuông góc với (b). Như vậy D nằm trong () nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời cùng vuông góc với cả a và b. Do đó là đường vuông góc chung của a và b.
 3. Nhận xét:
	a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
	b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN
Bài toán 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và 
	Phương pháp 1: - Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
	 - Đường thẳng đi qua điểm chung chính là giao tuyến cần tìm.
	Phương pháp 2: - Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
 - Aùp dụng định lí về giao tuyến tìm phương của giao tuyến (giao tuyến song song với đường thẳng), (dùng nội dung định lí 2 và hệ quả bài 2, 3); (giao tuyến vuông góc với một đường thẳng, vuông góc với một mặt phẳng).
 - Giao tuyến cần tìm đi qua điểm đó và song song với đường thẳng,hoặc giao tuyến vuông góc với đường thẳng, mp.
Bài toán 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và 
	- Chọn (xác định) một mp
	- Tìm giao tuyến của và , giả sử là a
	- Trong , gọi 
	- KL: và nên 
Bài toán 3. Chứng minh các điểm thẳng hàng
	Để chứng minh các điểm thẳng hàng ta thường chứng minh chúng cùng thuộc hai mp phân biệt, khi đó các điểm cùng thuộc giao tuyến của hai mp đó nên thẳng hàng.
Bài toán 4. Tìm thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mp
	- Tìm các đoạn giao tuyến của với các mặt của hình (H) (nếu có). Chú ý: các đầu mút của các đoạn giao tuyến phải thuộc các cạnh của mặt hình (H).
	- Đa giác phẳng tạo thành bởi các đoạn giao tuyến liên tiếp chính làthiết diện cần tìm. 
Bài toán 5. Chứng minh hai đường thẳng song song
	Phương pháp 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng pp chứng minh như trong hình học phẳng.
	Phương pháp 2: Chứng minh hai đường thẳng đó song song với đường thẳng thứ ba.
	Phương pháp 3: Aùp dụng định lí về giao tuyến song song.
Bài toán 6. Chứng minh đường thẳng d song song mp
Phương pháp 1: Chứng minh d không nằm trên và song song với một đường thẳng d’ nào đó thuộc .
	Phương pháp 2: Chứng minh d thuộc mà .
Bài toán 7. Chứng minh