Chuyên đề Hình học không gian luyện thi Đại học

 C’D’, 
C’B’. Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành 2 phần. Tính thể tích của mỗi 
phần. 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với 
(ABCD), SA = h. Gọi I, J, K là trung điểm SA. BC, CD. Chứng minh mặt phẳng (IJK) 
chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. 
Bài 9: Cho hình chóp đều SABCD cạnh đáy bằng a. Xét mặt phẳng (P) qua A song 
song với CD và vuông góc với mặt phẳng (SCD), chia tam giác SCD thành 2 phần với 
tỉ số diện tích bằng 
1
8
 (phần thứ nhất chứa đỉnh). Tính diện tích thiết diện của hình 
chóp cắt bởi mặt phẳng (P). 
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là điểm thuộc AB; đặt 
AI = x (0 < x < a). 
 a. Khi góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 600, hãy xác định vị trí I. 
 b. Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt 
phẳng (B’DI). Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất. 
Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh, gäi M,N,P theo thø tù lµ 
trung ®iÓm cña SA, BC, CD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp khi c¾t bëi mÆt ph¼ng 
(MNP) 
Bµi 12: Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD víi AD kh«ng song song víi CB. Gäi M, N lµ 
trung ®iÓm cña SB vµ SC. T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (AMN) 
Bµi 13: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD ba ®iÓm A’ ; B’ ; D’ n»m trªn ba c¹nh SA ; SB ; 
SD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp khi c¾t bëi mÆt ph¼ng (A’B’D’ ) 
133
Bµi 14: Cho tø diÖn ABCD . Gäi H, K lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC. Trªn 
®-êng th¼ng CD lÊy ®iÓm M sao cho KM kh«ng song song víi BD. T×m thiÕt diÖn cña 
tø diÖn ABCD víi mÆt ph¼ng (HKM). 
Bµi 15: Cho h×nh chãp SABCD trªn SA, SB lÊy hai ®iÓm M, N sao cho SM= 2MA , 
NB = 2SN vµ trªn trung ®iÓm DC lÊy ®iÓm Q. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn t¹o bêi h×nh chãp vµ 
mÆt ph¼ng (MNQ) 
Bµi 16: Cho tø diÖn ABCD gäi M lµ trung ®iÓm AB, N lµ ®iÓm trªn BC sao cho BN = 
2NC, K lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng 
(MNK). 
Bµi 17: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD cã AB kh«ng song song víi CD . Trªn SA 
lÊy ®iÓm M, SB lÊy ®iÓm N sao cho MN//AB. Gäi O lµ ®iÓm bÊt kú n»m trong tam gi¸c 
SCD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNO) 
Bµi 18: Cho tø diÖn ABCD. LÊy M, N trªn AC vµ AD sao cho AM = 3MC, AN 
=2ND, O lµ ®iÓm n»m trªn ®-êng trung tuyÕn BB’ cña BCD sao cho OB’=2OB. X¸c 
®Þnh thiÕt diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNO) víi tø diÖn. 
Bµi 19: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y ABCD lµ tø gi¸c cã hai cÆp c¹nh ®èi kh«ng song 
song. Gäi M vµ P lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. G lµ träng t©m tam gi¸c SCD. X¸c ®Þnh 
thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MPG) 
Bµi 20: Cho tø diÖn ABCD . Gäi E, F ,M lµ trung ®iÓm cña BD , CD vµ BC. Trªn AE, 
AF lÊy hai ®iÓm I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi tø diÖn c¾t bëi 
mp(MIJ) 
Bµi 21: Cho h×nh chãp S.ABC gäi E,F lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c SBC, vµ SCD. M 
lµ trung ®iÓm cña SA . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MEF) 
Bµi 22: Cho tø diÖn ABCD , M lµ ®iÓm trªn c¹nh AB, N vµ P lÇn l-ît n»m trong tam 
gi¸c BCD vµ tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn c¾t tø diÖn bëi mÆt ph¼ng MNP. 
Bµi 23: Cho h×nh chãp S.ABCD . M lµ trung ®iÓm cña SA, N vµ P lÇn l-ît lµ träng t©m 
c¸c tam gi¸c SBC vµ tam gi¸c ACD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt 
ph¼ng (MNP). 
Bµi 24: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸u ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi H lµ giao ®iÓm c¸c 
®-êng chÐo ®¸y. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua H vµ song song víi mÆt 
ph¼ng (SAB) c¾t h×nh chãp. 
134
Bµi 25: Cho tø diÖn ABCD gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¹nh AB vµ CD , E lµ ®iÓm 
chia BC theo tØ sè BE:EC = 2 : 1. Trªn ®o¹n th¼ng AM lÊy ®iÓm H. T×m thiÕt diÖn t¹o 
bëi mÆt ph¼ng ®i qua H vµ song song víi mÆt ph¼ng (MNE) c¾t tø diÖn ®· cho. 
Bµi 26: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD . Gäi M, N, E lÇn l-ît lµ 
trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AD, SC. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm K . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn t¹o 
bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi (MNE) c¾t h×h chãp. 
Bµi 27: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi M, N lÇn l-ît lµ 
trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AD. Trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm K . T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt 
ph¼ng ®i qua K song song víi mp(AMN) c¾t h×nh chãp. 
Bµi 28: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi E lµ trung ®iÓm 
SC, H lµ giao ®iÓm c¸c ®-êng chÐo ®¸y h×nh chãp. Trªn ®o¹n AH lÊy ®iÓm M . T×m 
thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua M song song víi mp(BDE) c¾t h×nh chãp. 
Bµi 29: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi C’ lµ trung ®iÓm cña SC , 
M lµ mét ®iÓm di déng trªn c¹nh SA , () lµ mÆt ph¼ng lu«n ®i qua C’M vµ song song 
víi BC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn mµ () c¾t h×nh chãp S.ABCD . Khi nµo thiÕt diÖn lµ h×nh 
b×nh hµnh ? 
Bµi 30: Cho tø diÖn ABCD gäi G1; G2 ; G3 lÇn l-ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, 
ACD, ADB. T×m thiÐt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng G1G2G3 
Bµi 31: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song song. 
Gäi E vµ F lÇn l-ît lµ träng t©m cña hai tam gi¸c SAC vµ SAB. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi 
h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. 
Bµi 32. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi kh«ng song 
song.Gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña SA vµ SC . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t 
bëi mÆt ph¼ng chøa M,N vµ vu«ng gãc víi mp(SBD). 
Bµi 33: Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA mp(ABCD) gäi I lµ ®iÓm trªn ®o¹n SA sao 
cho 2AI = IS. J lµ ®iÓm trªn ®o¹n DC sao cho DJ = 2 JC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh 
chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng qua I,J vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBD). 
Bµi 34 : Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD). Gäi (P) lµ 
mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC. Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× 
? 
Bµi 35: Cho h×nh chãp S.ABCD ®Êy ABCD cã ACBD = O, SO  mp(ABCD), gäi I lµ 
trung ®iÓm cña SO. X¸c ®Þnh thiÕt diÖt cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua I vµ 
vu«ng gãc víi SA. 
Bµi 36: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ AB//DC. Cã SA 
mp(ABCD) . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng () qua A vµ vu«ng 
gãc víi SC. 
-------------------------------------------------- 
135
131 
CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN 
A. Kiến thức cần nhớ: 
Khối đa diện bao gồm hình đa diện và phần bên trong của hình đa diện. Ta đã quen 
thuộc với các hình đa diện như: Hình chóp, hình chóp cụt, hình hộp. hình lăng 
trụ,Và ở bài học này, chúng ta sẽ biết được thế nào là khối chóp, khối chóp cụt, khối 
hộp, khối lăng trụ, cũng như biết được làm thế nào để tính được thể tích của một 
khối đa diện. 
1. Miền đa giác 
 Một đa giác phẳng chia mặt phẳng thành hai miền: miền trong và miền ngoài. 
 Một đa giác cùng với miền trong của nó hợp thành một hình gọi là miền đa giác. 
2. Hình đa diện 
 Hình đa diện là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn đồng thời hai điều 
kiện: 
 Hai đa giác hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một 
cạnh chung 
 Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác 
3. Khối đa diện 
 Mỗi hình đa diện chia không gian làm thành hai phần: phần bên trong và phần 
bên ngoài 
 Hình đa diện và phần bên trong của nó được gọi là khối đa diện 
4.Một số loại khối đa diện thường gặp: 
a) Khối chóp tam giác: 
+ Đặc điểm: 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh. 3 mặt bên là hình tam giác, mặt đáy cũng 
là hình tam giác. 
+ Thể tích: Giả sử S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp tam giác. 
Khi đó ta có công thức tính thể tích: 
1
.
3
V S h 
b) Khối chóp tứ giác: 
+ Đặc điểm: 5 đỉnh, 5 mặt và 8 cạnh. 4 mặt bên là hình tam giác, mặt đáy là 
hình tứ giác. 
+ Thể tích: Giả sử S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp tam giác. 
Khi đó ta có công thức tính thể tích: 
1
.
3
V S h 
c) Khối chóp cụt 
+ Đặc điểm: 2 đáy là hình đa giác, các mặt bên là các hình thang. 
6
+ Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy lớn và S’ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều 
cao của hình chóp cụt. Khi đó ta có công thức tính thể tích: 
1
( ' . ').
3
V S S S S h   
d) Khối lăng trụ tam giác: 
+ đặc điểm: đáy là hình tam giác, các mặt bên là các hình bình hành 
+Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có 
công thức tính thể tích: V=S.h 
e) Khối lăng trụ tứ giác: 
+ đặc điểm: đáy là hình tứ giác, các mặt bên là các hình bình hành 
+Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có 
công thức tính thể tích: V=S.h 
f) khối lăng trụ tam giác đứng: 
+ đặc điểm: đáy là hình tam giác, các mặt bên là các hình chữ nhật 
+Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có 
công thức tính thể tích: V=S.h 
g) Khối lăng trụ tứ giác đứng 
+ đặc điểm: đáy là hình tứ giác, các mặt bên là các hình chữ nhật 
+Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có 
công thức tính thể tích: V=S.h 
5. Các loại khối đa diện đều: 
a) Khối tứ diện đều: 4 mặt là hình tam giác đều 
b) Khối lập phương: 6 mặt là hình vuông 
c) Khối 8 mặt đều: 8 mặt là hình tam giác đều 
d) Khối 12 mặt đều: 12 mặt là hình ngũ giác đều 
e) Khối 20 mặt đều: 20 mặt là hình tam giác đều 
6. +Phép dời hình trong không gian là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa 
hai điểm bất kì. 
+ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) 
thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt 
phẳng tring trực của đoạn thẳng MM’. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là một phép 
dời hình. 
+ Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của một khối đa diện nếu phép đối 
xứng qua (P) biến khối đa diện thành chính nó. 
+Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm là những phép dời hình 
+ Hai hình đa diện gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này 
thành hình kia. 
+Hai hình tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau. 
137
7. + Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm 
M’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
+ Hình được gọi là đồng dạng với hình nếu có một phép vị tự biến hình 
 thành hình mà hình . 
8. Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm 
A’, B’, C’ khác S. Khi đó: 
.
. ' ' '
. .
' ' '
S ABC
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC
 
9. Chú ý: 
9.1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: 
+) 2 2 2a b c  
+) 2 2', . 'b ab c a c  
+)  . . 2a h b c S  
+) 
2 2 2
1 1 1
ah b c
  
+) sin cos ,sin cos
b c
B C C B
a a
    
+) tan cot , tan cot
b c
B C C B
c b
    
9.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường. 
a/ Định lí sin: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   b/ Định lí cosin: 2 2 2 2 sina b c bc A   
9.3 Các công thức tính diện tích tam giác. 
1 1
. .sin ( )( )( )
2 2 4
a
abc
S a h ab C pr p p a p b p c
R
        
9.4 Cách xác định góc: 
a/ Giữa hai đường thẳng: 
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian 
là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua O 
và lần lượt song song với a và b. 
*)  0 00 , 90a b  *) 0
//
( , ) 0
a b
a b
a b

   
*) 0( , ) 90a b a b   
bc
maha
MH
A
CB
a
b
b'
a'
O
138
P
A1 B1
I
B
A
b/ Giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
( ,( )) ( , ')a P a a trong đó a’ là hình chiếu của a lên 
(P). 
c/ Giữa hai mặt phẳng. 
- Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q) và I  
- đường thẳng ( )a P và vuông góc với  tại I 
- đường thẳng ( )b Q và vuông góc với  tại I 
Khi đó: (a,b) = ((P),(Q)) 
9.5 Các cách xác định khoảng cách: 
a/ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng. 
b/ Khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song. 
c/ Khoảng cách giữa hai mp song song. 
d/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Chú ý: (cách tính khoảng cách gián tiếp) 
 Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I. 
Khi đó ta có: 
( , ( ))
( , ( ))
d A P AI
d B P BI
 
a
a'
P
HO
A
a b
QP
I
139
B. Nội dung chính 
I. Thể tích khối chóp 
Dạng 1: Thể tích khối chóp đều và khối chóp có cạnh bên bằng nhau 
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên 
 là 45
o
.Tính thể tích hình chóp S.ABC. 
Giải 
Gọi F là tâm của tam giác đều ABC 
=> d(S,(ABC)) = SF 
Gọi D là trung điểm của CB 
=> {
Mà (SCB) (ABC) = BC 
=> ((SBC),(ABC)) = (SD,AD) = ̂ 
Xét có , ̂ = 45o và SB = a 
=> SD = BD = 
√ 
=> FD = 
 √ 
√ 
=> SF = √ 
√ 
Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: V = 
 = 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy 
 một góc 60o. Tính thể tích hình chóp S.ABC. 
Giải 
Gọi F là tâm của tam giác đều ABC 
=> d(S,(ABC)) = SF 
Gọi D là trung điểm của CB 
=> {
Mà (SCB) (ABC) = BC 
=> ((SBC),(ABC)) = (SD,AD) = ̂ = 60o 
Tam giác ABC đều nên ta có FD = 
√ 
 √ 
Tam giác SDF vuông tại F vì SF vuông góc với (ABC) 
140
=> SF = DF.tan ̂ = 
Vậy thể tích hình chóp S.ABC là:V = 
 = 
 √ 
Bài 3 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt 
bên với mặt đáy bằng 600. Hãy xác định góc đó. 
Giải 
Gọi M là trung điểm BC 
Ta có : (SBC)  (ABCD) = BC 
 (ABCD)AM  BC 
(SBC)  SM  BC ( vì 
( )
 SM
ABCD
AM hc ) 
 (( ),( )) ( , ) 60oSBC ABCD SM AM SMA   
Bài 4:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 
2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
 * S.ABC là hình chóp tam giác đều 
 Gọi M là trung điểm BC 
  ABC đều cạnh 3a , tâm O 
 SO  (ABC) , SA=SB=SC = 2a 
 *  ABC đều cạnh 3a  AM = 
3 3
3.
2 2
a
a  
  
2 2 3
AO= . .
3 3 2
a
AM a  
  
2
0
ABC
1 1 3 3 . 3
S . .sin 60 . 3. 3.
2 2 2 4
a
AB AC a a    
 *  SAO vuông tại A có 2 2 . 3SO SA AO a   
 * 
2 3
.
1 1 3 3 . 3
. . . .
3 3 4 4
S ABC ABC
a a
V S SA a   
60
MO
S
A B
C
A
C
B
S
MO
141
Bài 5: 
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a 
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Giải 
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều 
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O 
SO  (ABCD) , SA=SB=SC =SD = 3a 
* Diện tích hình vuông ABCD : 
 AC = 2a. 2  
AC 2 2
AO= 2
2 2
a
a  
  
2 2
ABCDS 2 4a a  
*  SAO vuông tại O có 2 2SO SA AO a   
 *
3
2
.
1 1 4
. . .4 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a   
Bài 6: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a 
Giải 
* ABCD là tứ diện đều cạnh a 
Gọi M là trung điểm CD 
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a 
 BCD đều cạnh a, tâm O  AO  (BCD) 
*  BCD đều cạnh a  BM = 
3
2
a
 
2 2 3 3
BO= . .
3 3 2 3
 
a a
BM  
2
BCD
. 3
S
4
 
a
*  AOB vuông tại O có  
2
22 2 3 6
3 3
 
      
 
a a
AO AB BO a 
O
C
D
BA
S
A
C
D
B
M
O
142
* 
2 31 1 3 6 . 2
. . . .
3 3 4 3 12
  ABCD BCD
a a a
V S AO 
Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . 
 Tính thể tích hình chóp. Đs: 
3
h 3
V
3
 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh 
 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: 
3
h 3
V
8
 
Bài 3 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và oASB 60 . 
 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs: 
2
a 3
S
3
 
 2) Tính thể tích hình chóp. Đs: 
3
a 2
V
6
 
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên 
 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: 
3
2h
V
3
 
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng 
 cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. 
 Tính thể tích hình chóp . Đs: 
3
8a 3
V
3
 
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o. 
Tính thề tích hình chóp. Đs: 
3
a 3
V
12
 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng 
 SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của 
 nó bằng 
3
9a 2
V
2
 . Đs: AB = 3a 
Bài 8: Cho hình chóp đều S.ABC có , 3AB a SA a  . 
a. Tính VS.ABC. b/ Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng 
(SBC). 
143
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC, có AB a , góc giữa SA với mặt đáy (SBC) bằng 
030 . 
a/ Tính .S ABCV . b/ Tính khoảng cách giữa SA và BC. 
Bài 10: Cho hình chóp đều S.ABC, có .AB a Góc giữ (SBC) và (ABC) bằng 030 . 
Tính .S ABCV . 
Dạng 2: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, 060ACB  , cạnh bên 
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích 
khối chóp S.ABC 
Giải 
* Ta có :AB = a , AB là hình chiếu của SB trên (ABC) 
 ( ,( )) ( , ) 45oSB ABC SB AB SBA   
*  ABC vuông tại B có AB = a, 060ACB  
 
0
3
tan 60 33
AB a a
BC    
 
2
ABC
1 1 3 . 3
S . . .
2 2 3 6
a a
BA BC a    
*  SAB vuông tại A có AB= a, 045B  
 .tan 45oSA AB a  
* 
2 3
.
1 1 . 3 . 3
. . . .
3 3 6 18
S ABC ABC
a a
V S SA a   
Bài 2: 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc 
với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp 
S.ABCD 
Giải 
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC) 
Ta có : (SBC)  (ABC) = BC 
 SM  BC, AM  BC 
  (( ),( )) ( , )SBC ABC SM AM SMA 
45
60
S
B
C
A
60
A B
D
C
S
144
140 
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , 
( )
 SC
ABCD
AC hc  ( , ( )) ( , ) 60oSC ABCD SC AC SCA   , 
2
ABCDS a 
*  SAC vuông tại A có AC= 2a , 060C   .tan 60 6oSA AC a  
* 
3
2
.
1 1 . 6
. . . . 6
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a   
Bài 3: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên 
SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc 
bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
 * Ta có : AB = 3a , (SBC)  (ABC) = BC 
 AB  BC ( vì  ABC vuông tại B) 
 SB  BC ( vì 
( )
 SB
ABC
AB hc ) 
  (( ),( )) ( , ) 60oSBC ABC SB AB SBA   
 *  ABC vuông tại B có AB = 3a ,BC =a 
  
2
ABC
1 1 . 3
S . . 3.
2 2 2
a
BA BC a a    
 *  SAB vuông tại A có AB= a, 060B  
  .tan60 3oSA AB a  
 *: 
2 3
.
1 1 . 3 . 3
. . . .3
3 3 2 2
S ABC ABC
a a
V S SA a   
Bài 4: 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , 
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) 
một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
60
S
B
C
A
5
 * Ta có : AB = 3a , (SBC)  (ABC) = BC 
 Gọi M là trung điểm BC 
 AM  BC ( vì  ABC cân tại A) 
 SM  BC ( vì 
( )
 SM
ABC
AM hc 
  (( ),( )) ( , ) 45oSBC ABC SM AM SMA   
 *  ABC vuông cân tại A có ,BC = 2a 
 AB = BC = a và AM = 
2
2
a
 
2
ABC
1 1
S . . .
2 2 2
a
AB AC a a    
*  SAM vuông tại A có AM= 
2
2
a
, 045M   
2
.tan 45
2
o aSA AB  
* 
2 3
.
1 1 2 . 2
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a a
V S SA   
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) 
và góc giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó. 
Giải 
Ta có : 
( )ABCD
AC hc SC 
   ( ,( )) ( , ) 45oSC ABCD SC AC SCA 
Bài 6 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên 
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 ,SB = 3a . 
*  ABC vuông tại B nên 2 2BC AC AB a   
  
2
ABC
1 1 . 2
S . . 2.
2 2 2
a
BA BC a a    
45
M
S
B
C
A
A C
B
S
45O
S
C
D
BA
146
*  SAB vuông tại A có 2 2SA SB AB a   
*
2 3
.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a   
Bài 7 : 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
 Ta có : AC = a 2 , SB = 3a . 
  ABC vuông, cân tại B nên 
2
2
AC
BA BC a   
  
2
ABC
1 1
S . . .
2 2 2
a
BA BC a a    
  SAB vuông tại A có 2 2SA SB AB a   
 *
2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a   
Bài 8: 
Cho hình chóp S.ABC