Chuyên đề Hình học 9: Tứ giác nội tiếp

.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp 
* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Hình 1
1.2.Định lý.
	* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Û éA + éC = 1800 hoặc éB + éD = 1800
1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a .
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
2 - Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1: 
 Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Chứng minh: 
Cách 1: 	Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét DBB’C có : é BB’C = 900 (GT)
	OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
	ị OB’ = OB = OC = r (1)
Xét DBC’C có : é BC’C = 900 (GT)
	Tương tự trên ị OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) ị B, C’, B’, C ẻ (O; r) 
	ị à BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Ta có: 	BB’ ^ AC (GT) ị é BB’C = 900.
	CC’ ^ AB (GT) ị é BC’C = 900.
	ị B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông 
	ị B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
	Hay à BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Phương pháp 2: Dựa vào định lý 
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Û éA + éC = 1800 
 hoặc éB + éD = 1800
Bài toán 2: 
 Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’. 
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I. Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.
Chứng minh: 
a/ (Bài toán 1) 
b/ Từ câu a 	ị é C + é BC’B’ = 1800
	(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : é C = é D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
ị é D + é BC’I = 1800
ị à BDIC’ nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc 
Bài toán 3: 
Cho D ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. 
 Chứng minh à AMNO nội tiếp.
Chứng minh:
	Ta có: D ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC 
ị é A1 = é A2
DAOC cân tại O (vì OA = OC)
ị éA2 = éC1 nên éA1 = éA2 = éC1 
Mà éA1 + éOAM = 1800 và éC1+ éOCN= 1800.
ị éAOM = éOCN
Xét DOAM và DOCN có : OA = OC; éAOM = éOCN; AM = CN
DOAM = DOCN (c.g.c)
éAMO = éCNO hay éAMO = éANO
à AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc).
Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Bài toán 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. 
Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
Chứng minh: 
Ta có : é MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
Mà 	 (góc nội tiếp)
Hay 	
Lại có : 	
Nên : 	= 
Nghĩa là: à PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy à PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
Cho hình vẽ: 
 Biết AC ^ BD tại O, OE ^AB tại E; OF ^ BC tại F; OG ^ DC tại G; OH ^AD tại H.
 Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên.
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện 
AEFC; AHGC; BEHD; BFGD
Thật vậy: 	Xét tứ giác AEFC 
	Ta có: éEAC = é EOB (cùng phụ với é ABO)
	é BFE = éEOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
	ị éEAC = é BFE.
Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự.
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
Thật vậy: Ta có : 	é OEH = éOAH ( vì cùng chắn cung OH)
	éOAH = éHOD (vì cùng phụ với éAOH)
	éHOD = éHGD ( vì cùng chắn cung HD)
ị é OEH =éHGD 
Chứng minh tương tự ta được : éOEF = éFGC
Từ đó : é OEH + éOEF =éHGD + éFGC
ị é FEH =éHGD + éFGC
Mặt khác: éHGD + éFGC+ éHGF = 1800
ị é FEH + éHGF = 1800 ( điều phải chứng minh)
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
a. Phương pháp: 
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong một tam giác bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba chân của các đường cao, ba trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở trên một đường tròn.
Chứng minh:
Ta có: ME là đường trung bình của DAHC 
ND là đường trung bình của DBHC
ị ME = ND = HC/2
ị tứ giác MNDE là hình bình hành (1)
Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của DHAB)
Mà CH ^ AB (GT)
ị ME ^ MN (2)
Từ (1) và (2) ị Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD ị O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
Vì é MID = 900 ị I ẻ (O; OM)
Vì é FLP = 900 ; é NKE = 900 ị L; K ẻ (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ẻ (O; OM)(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
1. Cho hình bình hành ABCD có é A nhọn. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ẻ (O); B, B’, D, F ẻ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:
a. MN ^ OO’
b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Bài tóan 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, 
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1: 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên đường kính ấy (C khác O). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Chứng minh:
Gọi K là giao điểm của đường tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB. 
Nối K với F
Ta có 	é F1 = é A ( cùng bằng nửa số đo cung KE)
 	é F2 = é A ( cùng phụ với é MBA)
ị é F1 = é F2 
ị K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.
Ví dụ 2: 
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
 Khi điểm D di động trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Chứng minh:
Ta có : 	é EBO = 900 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
	é EDO = 900 (GT)
ị hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
ị à EBOD nội tiếp đường tròn
ị é BEO = é BDO (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tương tự ta có : à ODCF nội tiếp đường tròn 
ị é OFC = é BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Từ (1) và (2) ị é OFC = é BEO 
ị à AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
c. Bài tập: 
1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A. Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O2) đi qua I và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2).
a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.
b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Bài tóan 3. Chứng minh quan hệ về đại lượng.
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như: 
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia.) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi....
* Định lý Ptô - lê – mê.
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
Chứng minh:
Ta có : à ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E ẻ BD sao cho é BAC = é EAD
ị D DAE D CAB (g. g)
ị 
ị AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: D BAE D CAD (g. g) 
ị 
ị BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) ị AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC 
	ị AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)