Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

h độ dài cạnh AB.
 Lời giải sơ lược:
 Kẻ AH BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và 
 AH = x ; HC = 8 – x 
	Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H
	Ta có: AC = = 
	Do AB + AC = 12 nên 2x + = 12
 Giải PT trên ta được : x = 2,5
 AB = 2.2,5 = 5cm
	Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
	 Diện tích tam giác ABC = cm. 
 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;
 BD = cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
 Bài giải sơ lược
 Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. 
 Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = .
 Do AD = 1 nên DC = – 1 
 Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên : 
 hay . Từ đó ta được phương trình 8x2 – 6x – 90 = 0
 Xử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm
 Trả lời : BC = 3,75cm 
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác . Biết AD = 4cm; BD = cm . Tính diện tích tam giác ABC.
 (Nhập kết quả dưới dạng phân số) 
 - Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả theo yêu cầu. 
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
 Bài giải sơ lược:
 Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x 
 AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn) 
 Suy ra : DH = CK = . 
 Vậy HC = HK + CK = x + = 
 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
 Ta có : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100
 Giải phương trình trên ta được x = và x = – (loại)
 Vậy : AH = 
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Bài giải sơ lược:
 Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
 Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 
 Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:
 hay 
 Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
 Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
	Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :
 A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 
Hướng dẫn: + = 900 sin = cos; cos = sin; ..... và cos450 = ta được:
 A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 
 = (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + ....+(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – 
 = (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + .... + (cos2 440 + sin2440) + – 
 = 1.44 = 44 
Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau: 
	a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – .
b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 . 
	c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 . 
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi của hình chữ nhật ABCD ?
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy ra 
chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)
 Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108
 Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)2 = 9 hay (x + y)2 – 4xy = 9 (1)
	Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441 x + y = 21 
	Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
 Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm
 Cách 2: Từ x – y = 3 y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình:
	 x (x – 3) = 108 x2 – 3x – 108 = 0 (1) 
 x2 – 12x + 9x – 108 = 0
 ( x – 12)(x + 9) = 0
	Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả.
 Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.
Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm2. Biết AB – AC = 47dm.
 Tính độ dài AB và AC.
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình:
	x2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63
 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có D AB , E BC , F AC. Biết AB > AC và . Tính AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2 + y2 = = 45. (1)
	Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên 
	Mà nên SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)
 Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2 = 81 và (x – y)2 = 9 
 Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3 
Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác, M là trung điểm BC. Cho biết .
	Tính BC : AC : AB ?
Hướng dẫn: Chú ý ; I là giao điểm các đường phân giác ta tính được , từ đó chứng minh được BC = 2CD và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa ba cạnh tam giác.
 Lời giải: 
 Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI AC . 
 (góc ngoài tam giác BIC)
 = = (do BI và CI là phân giác của các góc B và C và ABC 
 vuông ở A); kết hợp với giả thiết ta được . Vậy CIM = CID (g.c.g)
 Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
 BD là phân giác của tam giác ABC nên hay = 2.
 Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)
 Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
 Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = (4)
 Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = . Vậy a = . Do đó c = .
 Vậy a : b : c = = = (): (1.4) : (.4) = 5 : 4 : 3 
 Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3
Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa
 đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm. 
Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. 
 Hướng dẫn: 
 Đặt AB = x ; AN = y AC = 2y.
 Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
 BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
 Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
 Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81 y2 = 81 – x2 (2)
 Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
 x2 + 4( 81 – x2 ) = 144 
 Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180
 Nghiệm dương của phương trình : x = 
 Trả lời: AB = cm
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .
 Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân và 
định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm 
	Sử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được
CK = AK = Vậy cos A = = : 13 = 
 Trả lời: cos A = 
CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9
CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Nhắc lại lí thuyết :
Cho tam giác ABC có Â = 900, gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau: 
Một số bài tập áp dụng:
BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh góc của tam giác này?
HD: 
Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC 
HD: Gọi chu vi lần lượt là p1 ,p2 , p3
Từ đó tính được chu vi bằng 50 cm.
BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tính các cạnh của tam giác ABC ?
HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì
 . Từ đó tính được AB, BC, AC . Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm
BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 .
 HD: Áp dụng Pytago cho các tam giác ADC, ABE
BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
a) 
b) BC . BE . CF = AH3
HD: Hình vẽ bên 
 a) Trong có HB2 = BE . BA (1) ; có HC2 = CF . CA (2 ) 
Từ (1) và (2) có : . Trong có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra 
Vậy .
b) . Thay (3) 
Tương tự ta cũng có ( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta có 
BE .CF = . Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = AH3
VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG.
Lí thuyết
 Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông. Mọi tam giác tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông .
 Một số công thức cho tam giác không vuông (Các kí hiệu như trong tam giác vuông)
+ S = bc . sin A = ca. sinB = ab .sin C (1) 
+ S = (2) Công thức Heron; p là nửa chu vi tam giác
+ S = (3) 
+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác	
+ Nếu a2 < b2 + c2 thì góc A nhọn (HS tự chứng minh điều này như một bài tập)
+ a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC 
+ Chứng minh : Hệ thức (1). Vẽ thêm đường cao AH thì trong có AH = c.sin B. Do đó diện tích là : 
 S = AH . BC = c.sinB . a = ac. sinB
Hay S = ac.sinB. Đối với các góc khác thì tương tự
BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH
 = 12 cm, AC+ AB = 28 cm.
Chứng minh các góc B và C nhọn ?
Tính AB, AC ?
Hướng dẫn: 
a) Ta có c > 12 mà c + b = 28
 suy ra b <16 b2 < 162 = 256 = 142 +122 < a2 + c2 .Hay b2 < a2 + c2 Do đó góc B nhọn 
b) Ta có b2 – c2 = HC2 – HB2 
Ta còn có HB2 + AH2 = c2 
Giải phương trình này ta có c1 = 15 , c2 = 13 . Từ đó tính được b.
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng minh:
a) 
b)
Hình vẽ trên: Ta có SABC = SABD +SADC 
b) Tương tự như câu a nhưng SABC = SAEC – SAEB. Học sinh tự chứng minh và xem như bài tập nghiên cứu.
BT 3: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c (như cách gọi thông thường ) .Tính diện tích tam giác theo a,b,c ?
HD: Vẽ đường cao AH vuông góc BC, gọi BH = x thì HC = a – x. Áp dụng Pytago cho tam giác AHB và AHC ta có :
AH2 = c2 – x2 = b2 – ( a – x )2
Trong có AH2 = AB2 – HB2 (1) và 
Trong có AH2 = AC2 – HC2 (2) . Từ (1) và (2) ta có c2 – x2 = b2 – a2 + 2ax – x2 suy ra x = = k ( tạm gọi vậy )
Từ đó có AH2 = c2 – k2 = c2 – . Do đó diện tích tam giác ABC là 
S= = . sau khi thay k vào và rút gọn ta được 
S = . (HS có thể về nhà rút gọn đẹp hơn) 
Gợi ý: Hay ta cũng có S2 = BC2.AH2 = 
Tử có thể biến đổi tử thành (2ab)2 – ( a2 + b2 – c2)2 = ( 2ab + a2 + b2 – c2 )( 2ab – a2 – b2 +c2 )=
= 2p( 2p – 2c) (2p – 2b )( 2p – 2a) = 16 p (p – c )( p – b )( p – a ) 
Vậy S2 = p(p – c )( p – b )( p – a ). Trong đó 2p = a+ b + c 
Đây chính là công thức Heron
BT 4: Cho tam giác ABC có , AH là đường cao kẻ từ A. Chứng minh AH2 = HB.HC ?
HD: Ta nhận thấy góc C tù .Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC . Ta có cân tại A nên 
Suy ra . Từ đó ta có vuông tại A, với AH là đường cao ứng với cạnh huyền, vậy AH2 = HB . HD = HB . HC 
+ cách 2 : ứng dụng tam giác đồng dạng ( HS về nhà nghiên cứu ) 
Hình vẽ gợi ý 
 Để ý rằng 
BT 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 + , ; .
Tính độ dài đườnh cao AH?
Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?
Từ các kết quả trên, tính cos 750 ?
HD: AHB vuông cân ,dễ thấy AH = BH = x ( do ta đặt ). Trong AHC có CH = xcotgC = x. suy ra a = BH + CH = x. . 
Do đó x = 3. 
b) Có đường cao rồi thì các em tính dược tất cả.
 ĐS: c = ; b = ; Â = 750 ; SABC = 
c) Do góc A nhọn . áp dung công thức a2 = b2 + c2 – 2bccos A
Từ đó có cos750 = 
Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác
 Áp dụng cho hình thang. Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông 
BT1 : (Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007) Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm. Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm. Tính diện tích hình thang ABCD ?
HD: Cần vẽ thêm BE // AC , để có hình bình hành ABEC 
 Lúc này ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17 cm .Áp dụng Pytago đảo thấy vuông tại B (HS tự thử lại). Lại vẽ thêm đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng cho thì: 
BH= BD.BE:DE = 8.15 : 17 = . Từ đó có diện tích hình thang ABCD là S = 
BT 2 : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hình thang ABCD ?
HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thì tam giác BDE vuông tại B
BT 3: Cho hình bình hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, góc BAD = 1250 . Các đường phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q. 
a) Chứng minh và là những tam giác vuông?
b) Tính AP, BP , PQ ?
HD: Hình vẽ
a)Để ý rằng = 900 , do đó vuông tại P. Tương tự vuông tại Q.
b) Trong có AP = AB. cos = 25. cos 62030’=  (HS tự tính được )
và BP = AB. sin = 25. sin 62030’ =. ( HS tự tính được ) 
 Vẽ thêm PHAD ; PKAB; PMBC, QLBC, từ đó chứng minh được LC=AH=AK, BM= BK
Ta có PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm
 Đáp số : PA 11,54 cm; PB 22,17 cm ; PQ =10 cm
BT 4 : Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chu vi và diện tích hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm. 
HD: Do tính chất hình thang cân , vẽ thêm AH vuông góc với CD; BK vuông góc với CD, ta có HD = ( 50 – 14 ) : 2 = 18 cm
Ta tính tiếp được HC = 32 cm, AH = 24 cm, AD = 30 cm. 
ĐS: Chu vi hình thang bằng 124 cm, diện tích hình thang bằng 768cm2
BT 5: Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi AB=a, CD=b, AD=d, BC = c .Chứng minh AC2 + BD2 = c2 + d2 + 2ab 
HD : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Áp dụng tính chất trung tuyến của tam giác ABC ta có a2 + c2 = 2BM2 +AC2 .
Tương tự áp dụng tính chất trung tuyến cho tam giác ADC ta có b2 + d2 = 2DM2 + AC2 . 
Cộng từng vế ta có a2 +b2 +c2 +d2 =m (BM2 + DN2 ) + AC2 .(1)
Ta lại có BM2 + DM2 = 2MN2 +BD2 = 2(b– a /2)2 + BD2. Thay vào (1) 
	A2 +b2 +c2 +d2 = (b – a)2 + BD2 +AC2 
	Tđ BD2 + AC2 = c2 +d2 + 2ab
Chú ý : Hệ thức về trung tuyến trong tam giác như sau: 
HS công nhận hệ thức này (sẽ được chứng minh ở lớp 10 – sau khi học vectơ và độ dài đại số - hệ thức Chasles )
CHỦ ĐỀ 2 :
Sù x¸c ®Þnh ®­êng trßn §­êng kÝnh vµ d©y cña ®­êng trßn
I./ Môc tiªu:
	* Gióp häc sinh tiÕp tôc cñng cè c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng, c¸c tØ sè l­îng gi¸c.
	* RÌn luyÖn kÜ n¨ng vÏ h×nh, t­ duy tÝnh to¸n th«ng qua c¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ ph¸t triÓn n©ng cao
	* Gi¸o dôc tinh thÇn tù gi¸c trong häc tËp, lao ®éng, t­ duy ®éc lËp s¸ng t¹o.
*Cñng cè vÒ c¸ch x¸c ®Þnh ®­êng trßn
*VËn dông kt vµo chøng minh bµi tËp vÒ ®­êng kÝnh vµ d©y cña ( 0 )
*RÌn luyÖn kÜ n¨ng vÏ h×nh vµ chøng minh h×nh häc
II/ Néi dung	
I. KiÕn thøc c¬ b¶n:
	1) Sù x¸c ®Þnh ®­êng trßn – t/ c cña ®­êng trßn
- §Þnh nghÜa : 
- KÝ hiÖu: (0; R) hoÆc (0)
*C¸c c¸ch x® ®­êng trßn : BiÕt
+ T©m vµ R
+ Mét ®o¹n th¼ng lµ ®­êng kÝnh cña nã
+ Ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng
* T©m ®èi xøng: Lµ t©m ®­êng trßn ®ã
* Trôc ®èi xøng: Lµ ®­êng kÝnh
2) vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­¬ng trßn
1) Hai ®­êng trßn c¾t nhau: R-r < OO’ < R + r
2) Hai ®­êng trßn tiÕp xóc nhau
a. TiÕp xóc ngoµi : OO’ = R + r
b. TiÕp xóc trong : OO’ = R – r > 0
3) Hai ®­êng trßn kh«ng giao nhau:
a. Hai ®­êng trong ë ngoµi nhau: OO’ > R + r 
b. Hai ®­êng trßn ®ùng nhau: OO’ < R – r
	3) C¸c VÝ Dô minh ho¹:
VÝ dô1: ABCD lµ h×nh vu«ng. O giao 2 ®­êng chÐo , OA = cm . VÏ ( A; 2 ) trong 5 ®iÓm A,B, C, D , O. §iÓm nµo n¨m bªn trong, bªn ngoµi ®­êng trßn ?
H­íng DÉn
OA = 2 = R O n»m bªn trong (A)
AB = AD = 2 = R B , D n»m trªn (A)
AC = 2 2 = R C n»m ngoµi (A) 
VÝ dô2: 
 ABC c©n néi tiÕp (O) 
GT AHBC ; BC= 24; AC = 20
 a) AD lµ ®­êng kÝnh 
KL b) s® ACD 
 c) AH ? R ?
H­íng DÉn
a) ABC c©n t¹i A (gt)
 AH BC (gt) 
 AH lµ trung trùc cña BC (1)
 AD lµ trung trùc cña BC (2)
V× O n»m trªn trung trùc cña BC
Nªn O n»m trªn trung trùc cña AD
VËy : AD lµ ®­êng kÝnh (O)
b) ACD cã CO lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh AD OC = AD = 900 
c) Ta cã : BH = HC = = = 12
 Pi ta go : AHC (= 1v)
AH2 = AC2 – HC2 = 202 – 122 = 256
 AH = = 16
§/lÝ 1: b2 = a.b’
 AC2 = AD .AH AD = = = 25
 R = = = 12,5
VÝ dô3 : Cho (O) cã b¸n kÝnh OA = 3cm ; D©y BC cña ®­êng trßn OA t¹i trung ®iÓm cña OA . TÝnh BC ?
H­íng DÉn
Gäi H lµ trung ®iÓm OA. Cã : OH = HA (gt) Vµ BC OA t¹i H
 OBA c©n t¹i B
OB = BA = R (1)
Mµ OB = OA = R (2) 
Tõ (1) vµ (2) 
OB = BA = OA = R
 OBA lµ ®Òu = 600 (®pcm)
HB = OB.Sin = 3.Sin600 = 3.
VËy : BC = 2.BH = 2.= 3 (cm)
VÝ dô4: Cho nöa (O) ®­êng kÝnh AB vµ d©y E F kh«ng c¾t ®­êng kÝnh. Gäi I vµ K lÇn l­ît lµ ch©n c¸c ®­êng kÎ tõ A, B ®Õn E F
CMR: IE = KF
H­íng DÉn: KÎ OHE F.
Ta cã : tø gi¸c AIKB lµ h×nh thang 
 OB = OA = R (1)
 AI // BK (2) OH lµ ®­êng trung b×nh
 HI = HK (2)
 Mµ HE = H F §/lÝ ®­êng kÝnh d©y cung (3)
 Tõ (1) , (2) vµ (3) IE = F K ( ®pcm)
VÝ dô5: Cho nöa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB . D©y CD , c¸c ®­êng víi CD t¹i C vµ D t/øng c¾t AB ë M,N 
CMR: AM = BN 
H­íng DÉn: Tõ O kÎ OI CD IC = ID ( ®/lÝ ®­êng kÝnh)
Tø gi¸c CDNM lµ h×nh thang cã IC = ID (1)
 OI // CM // DN OI lµ ®­êng TB
 OM = ON ( 1) mµ OA = OB = R (2)
Tõ (1) vµ (2) AM = BN (®pcm)
VÝ dô6: Cho (O) , A n»m ngoµi (O) kÎ tiÕp tuyÕn AM , AN víi ®­êng trßn (M,N lµ tiÕp ®iÓm)
Chøng minh: OAMN
VÏ ®­êng kÝnh NOC . Chøng minh r»ng : MC//AO
TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AMN biÕt OM = 3cm ; OA = 5 cm 
 Chøng minh:
a) Chøng minh: OA MN
AMN c©n t¹i A ( v× MA = NA ; t/c t2 )
OA lµ p/gi¸c (t/c tiÕp tuyÕn)
 OA lµ ®­êng cao nªn OAMN
b) H lµ giao ®iÓm MN vµ OA 
Cã ON = OC = R 
 HM = NM (OA lµ trung tuyÕn ) 
 HO lµ ®­êng trung b×nh MNC 
 HO // MC
Pi ta go vu«ng AON
AN = = 
Tõ hÖ thøc l­îng : AN.ON = AO . HN hay 4.3 = 5.HN
 HN = = 2,4
Mµ HM = HN MN= 2.HN = 2. 2,4 = 4,8 
 AM = AN = 4 cm 
VÝ dô 7: Cho nöa (O) §­êng kÝnh AB , qua C nöa ®­êng trßn . KÎ tiÕp tuyÕn d cña nöa ®­êng trßn . Gäi E, F lÇn l­ît lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A vµ B ®Õn d , gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ C ®Õn AB . Chøng minh r»ng
a) CE = CF
b) AC lµ tia p/gi¸c cña BAE
c) CH2 = AE.BF
 Chøng minh:
 a) Ta cã: AE d ; BF d AE // BF 
Tø gi¸c AEFB lµ h×nh thang
Mµ : OA = OB = R
OC // AE // BF 
 CE = CF ( §/ lÝ ®­êng TB )
b) AOC cã : 
OC = OA = R AOC c©n t¹i O
 = 
= (so le và AE // OC )
 = Nªn AC lµ ph©n gi¸c BC
c) CAE (= 1v) vµ CAH (= 1v) cã
AC ( c¹nh huyÒn chung )
 = CAE = CAH AE = AH
T­¬ng tù : BF = BH
ABC cã : OC = AB lµ trung tuyÕn AB
 ACB t¹i C 
Theo hÖ thøc l­îng : 
CH2 = HA . HB = AE . BF ( ®pcm)
VÝ dô 8: Cho (O) ; b¸n kÝnh OA , d©y CD lµ trung trùc cña OA
a) Tø gi¸c OCAD lµ h×nh g× ? t¹i sao ?
b) KÎ tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i C tiÕp tuyÕn nµy c¾t OA t¹i I . TÝnh ®é dµi CI , biÕt OA = R 
Chøng minh:
a) Gäi H lµ giao ®iÓm cña OA vµ CD
Ta cã : OA CD ( gt) 
 HC = HD ( ®/lÝ 2)
Mµ tø gi¸c OCAD cã : OH = HA ( gt) 
 HC = HD ( Cm trªn)
 OCAD lµ h×nh b×nh hµnh 
Mµ OA CD OCAD lµ H ×nh Thoi
b) AOC cã : OC = CA ( c¹nh H. Thoi)
 OC = OA = R 
 OC = CA = OA nªn AOC ®Òu 
Do ®ã : CA = 600 
Mµ OCI t¹i C v× OCCI (gt)
CI = OC . tg600 = R
VÝ dô 9: Cho I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB . VÏ c¸c ®­êng trßn (I ; IA) vµ (B ; BA) 
a) (I) vµ (B) cã c¸c vÞ trÝ t­¬ng ®èi nh­ thÕ nµo ? v× sao ?
b) KÎ mét ®­êng th¼ng ®i qua A , c¨t c¸c (I) vµ (B) theo thø tù t¹i M vµ N . So s¸nh c¸c ®é dµi AM vµ MN ? 
Chøng minh:
a) IB = BA – IA = R – r 
nªn (I) vµ (B) tiÕp xóc trong t¹i A 
b) AMB cã : OA = OB = r
 nªn MI lµ ®­êng trung tuyÕn cña AB
 AMB vu«ng t¹i M AMB = 900 
Mµ ABN c©n t¹i B ( BA = BN = R )
 Cã BM lµ ®­êng cao , nªn lµ ®­êng trung tuyÕn AM = MN
VÝ dô 10: (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A . Gäi CD lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña 2 ®­êng trßn ( C (O) ; D (O’) )
a) TÝng s® gãc CAD
b) TÝnh ®é dµi CD . BiÕt OA = 4,5 cm , OA = 2cm 
chøng minh:
a) KÎ tiÕp tuyÕn chung t¹i A , C¾t CD t¹i M
Ta cã : MA = MC 
 MA = MD 
( Theo t/c tiÕp tuyÕn)
 MA = MC = MD 
Nªn ACD cã ®­êng trung tuyÕn øng víi c¹nh CD AM = CD 
 ACD vu«ng t¹i A 
 CAD = 900 
b)Ta cã MO , M0’ lµtia ph©n gi¸c hai gãc kÒ bï AMC vµ AMD 
 OMO’ = 900
Nªn OMO’ vu«ng t¹i M 
Nªn MA lµ ®­êng cao
Theo hÖ thøc l­îng :
MA2 = OA.O’A = 4,5 . 2 = 9 
 MA = = 3
VËy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm)
	15 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN ( TỰ LU Y ỆN)
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi H là 
 trực tâm của tam giác .
Tính số đo góc ABD
Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao?
Gọi M là trung điểm BC . Chứng