Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
A. Một số vấn đề lý thuyết cần nhớ
1. Khái niệm và cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
a. Định nghĩa: 
Là hệ phương trình có dạng: 
Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’ ẻ R: a, b; a’, b’ không đồng thời bằng 0 
b. Nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x0; y0) thoả mãn: 
c. Hai hệ phương trình tương đương nhau nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. 
d. Một số phương pháp giải hệ phương trình. 
- Phương trình cộng
- Phương trình thế
- Phương trình đồ thị
c. Một số chú ý:
Cho hệ phương trình 
 (I)
(I) Vô nghiệm 
(I) Vô số nghiệm 
(I) Có nghiệm duy nhất 
2. Phương trình đường thẳng: 
Có dạng: y = ax + b
hoặc ax + by = c
Điểm A (x0 ; y0) thuộc đường thẳng y0 = ax0 + b
hoặc ax0 + by0 = c
- Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là a
 	 Tung độ gốc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là b 
Giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Oy là A (0 ; b) 
3. Quan hệ giữa 2 đường thẳng: 
a. Cho 2 đường thẳng 	y = ax + b ( a ≠ 0) (d)
y = a’x + b’ ( a’ ≠ 0) (d’)
(d) // (d’) Û a = a’ ; b ≠ b’
(d) º (d’) Û a = a’ ; b = b’
(d) x (d’) Û a ≠ a’
 Đặc biệt: 
 Nếu a ≠ a’; b = b’ thì (d) x (d’) tại điểm nằm trên trục tung có toạ độ I (0,b) 
b. Cho 2 đường thẳng: 	ax + by = c (d)
a’x + b’y = c’ (d’)
(d) // (d’) Û 
(d) º (d’) Û 
(d) x (d’) Û 
c. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng: ax + by = c và a’x + b’y = c’ là nghiệm của hệ phương trình: 	 
(II)
(II)
(I)
(IV)
(III)
x
O
y
d. Đặc điểm về toạ độ của một điểm nằm trong 1 góc phần tư bất kỳ 
 - Điểm A (xA; yA) nằm ở góc phần tư thứ I Û 
 - Điểm B (xB; yB) nằm ở góc phần tư thứ II Û 
 - Điểm C (xC; yC) nằm ở góc phần tư thứ III Û
- Điểm D (xD; yD) nằm ở góc phần tư thứ IV Û
B. Một số dạng bài tập cơ bản.
1. Dạng toán: Giải hệ phương trình
ở đây tôi xin nêu một số ví dụ điển hình.
* Giải hệ phương trình dạng cơ bản: 
VD1: 
Ta cũng có thể dùng phương pháp thế hoặc phương trình đồ thị để giải hệ phương trình trên. 
* Một số hệ phương trình có thể biến đổi để đưa về dạng cơ bản . 
VD2: 
Đến đây hệ trở về dạng cơ bản có thể giải tiếp được: 
VD3: 
 Û 	 
 Û Û 
Lưu ý: Khi các vế của phương trình là các phân thức có mẫu khác 1 thì tiến hành quy đồng khử mẫu để đưa về như ví dụ 2. 
VD4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 	 ĐK : (x ≠ 0) (y ≠ 0)
 Đặt ta có hệ phương trình
Thay ta có:
 (TMĐK)
2. Dạng toán giải và biện luận hệ phương trình
VD: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 
a. 
Từ (2) => y = x – 3 thế vào (1) ta có: 
 mx + 2 (x-3) = 5
Û mx + 2x – 6 = 5
Û (m + 2) x = 11 (3)
* Trường hợp m + 2 = 0 Û m = -2
(3) Û 0x = 11 (vô lý) 
=> Phương trình (3) vô nghiệm hệ phương trình vô nghiệm
* Trường hợp m + 2 ≠ 0 Û m≠ -2
(3) Û x = thay vào y = x – 3 
Û y = -3
Û y= 
Û y = 
Hệ phương trình có nghiệm là: 
Kết luận: 
* Trường hợp m = -2 hệ phương trình vô nghiệm
* Trường hợp m ≠ -2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b. 
Từ (2) => x = 1 - 2y thế vào (1) ta có: 
m (1-2y) + 2y = m2 
-2my + 2y = m2 - m 
(-2m + 2) y = m2 - m 	(3)
* Trường hợp: -2m + 2 = O Û m = 1
(3) Û 0y = 0
Phương trình nghiệm đúng " y ẻ R => hệ phương trình vô số nghiệm
Nghiệm tổng quát: y ẻ R
x = 1 -2y 
* Trường hợp -2m + 2 ≠ 0 Û m ≠ 1
(3) Û y = 
Thay vào x = 1- 2y
Û x = 1 - 2 Û x=
Nghiệm của hệ phương trình là: 
Kết luận: * Trường hợp m = 1 hệ phương trình vô số nghiệm 
Nghiệm tổng quát: 
* Trường hợp m ≠ 1 hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
* Lưu ý: Ta cũng có thể cộng từng vế của phương trình (1) và (2) để được phương trình (3) dạng ax = b.
* Nhận xét chung: Với dạng toán giải và biện luận hệ phương trình ta có thể khử một ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế (thường dùng phương pháp thế) để lập được phương trình (3) có dạng ax = b hoặc ay = b 
* Biện luận cho a = 0 và a ≠ 0
- Trường hợp a = 0 ; b ≠ 0 ta có phương trình (3) vô nghiệm => hệ phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp a = 0 ; b = 0 ta có phương trình (3) nghiệm đúng " x ẻ R (hoặc y ẻ R) => hệ phương trình vô số nghiệm.
Trường hợp này phải tìm nghiệm tổng quát. 
- Trường hợp a ≠ 0 => phương trình (3) có nghiệm duy nhất.
 => hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Sau khi biện luận xong 2 trường hợp ta kết luận chung. 
3. Một số dạng toán vận dụng việc giải và biện luận. 
3.1. Tìm điều kiện để x, y thoả mãn một hệ thức khác. 
VD: Cho hệ phương trình 
 	Tìm điều kiện để 3x + y = 6 	(3) 
Hướng dẫn: 
Cách 1: Kết hợp phương trình (2) và (3) ta có hệ phương trình: 
Giải hpt ta được Thay vào (1) ta có)
Cách 2: Giải và biện luận hpt trên tìm được (x, y) theo m thay vào hệ thức: 3x + y = 6 ta tìm được m =
* Nhận xét chung: Với dạng toán tìm điều kiện để x, y thoả mãn một hệ thức khác.
- Nếu 1 trong 2 pt không chứa tham số ta có thể kết hợp pt đó với hệ thức để được 1 hệ pt -> giải hpt tìm (x, y) -> thay vào phương trình còn lại tìm được tham số. 
- Nếu 2 phương trình đều chứa tham số ta giải và biện luận hệ phương trình tìm được (x, y) theo tham số -> thay vào hệ thức -> tìm được điều kiện của tham số. 
3.2. Tìm điều kiện để x, y thoả mãn một bất đẳng thức (hoặc một hệ bất đẳng thức). 
Phương pháp chung: 
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số. 
Thay giá trị của x, y theo tham số vào bất đẳng thức su đó giải bất đẳng thức (hoặc hệ bất đẳng thức đó) 
VD: Cho hệ phương trình 
Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm: x > 0 ; y < 0
HD giải: Giải và biện luận hệ phương trình ta được: 
Khi m ≠ -2 hpt có nghiệm: x = ; y = 
Ta có: 
3.3. Tìm các giá trị nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm (x, y ) là các số nguyên.
VD: Cho hệ phương trình 	
Tìm m nguyên để hệ pt có nghiệm (x, y) là các số nguyên.
HD giải: Giải và biện luận hệ phương trình ta được. 
Khi x ≠ 2 hpt có nghiệm 
Ta có để x nguyên thì m - 2 phải là ước của 3 => m - 2 = ± 1 ; ±3
m - 2
1
-1
3
-3
m
3
1
5
-1
x
3
-3
1
-1
y
-2
4
0
2
Vậy m = 3; 1; 5; -1 thì hệ pt có nghiệm (x, y) là số nguyên. 
* Nhận xét chung: Trước hết phải thành thạo trong việc giải và biện luận hệ phương trình tìm được (x, y) theo tham số sau đó căn cứ vào yêu cầu của bài để thực hiện tiếp. 
4. Vận dụng kiến thức về hệ phương trình để giải một số dạng toán có liên quan đến phương trình đường thẳng. 
4.1. Dạng toán lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
VD: Lập pt đường thẳng đi qua 2 điểm A (3, 4) ; B (7,8) 
Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng có dạng chung: y = ax + b
VD: Đường thẳng đi qua 2 điểm A (3, 4); B (7,8) ta có hệ phương trình
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1
4.2. Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng: 
VD: Chứng minh rằng 3 điểm A (2, 5) ; B (3,7) ; C (4,9) thẳng hàng
Hướng dẫn: Ta lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ (ví dụ điểm A, B) Chứng minh điểm C nằm trên đường thẳng AB. 
4.3. Dạng toán tìm điều kiện để 3 điểm A (2, 5) ; B (3, 7) ; C (m -1, 2m + 5) thẳng hàng.
Hướng dẫn: Ta lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cố định A (2, 5) ; B (3,7) Tìm điều kiện để điểm C (m -1, 2m + 5) phải nằm trên đường thẳng AB -> tìm được m.
Nhận xét: Với dạng toán ở phần 4.2; 4.3 thì trước hết học sinh phải thông thạo dạng toán lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm và điều kiện để 1 điểm nằm trên 1 đường thẳng đã biết.
4.4. Dạng toán tìm toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng.
VD: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng: y = 3x + 5 và y = 2x – 1 
Giải: Toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình. 
Vậy toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng đó là I ( -6 ; -13) 
Nhận xét: Với dạng toán này về phương pháp chung để giải phải có lập luận để đưa từ quan hệ hình học về đại số (hệ phương trình).
4.5. Dạng toán chứng minh 3 đường thẳng đồng quy. 
VD: Chứng minh rằng 3 đường thẳng sau đồng quy. 
 2 x + y = 5 
 x + 2y = 4
và y = -3x + 7
Hướng dẫn: Tương tự dạng toán ở phần 4.2 ta tìm toạ độ giao điểm của 2 đường bất kỳ rồi chứng minh giao điểm nằm trên đường thứ 3. 
4.6. Dạng toán tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy.
VD: Tìm điều kiện để 3 đường thẳng sau đồng quy 3x – 2y = 1; 5x – y = 4 và mx + 3y = m -2. 
Hướng dẫn: Tương tự dạng toán ở phần 4.3 ta tìm toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng cố định là 3x – 2y = 1 và 5x – y = 4. 
-> Tìm điều kiện để đường thẳng mx + 3y = m – 2 phải đi qua giao điểm đó. 
Dạng toán tìm điều kiện để giao điểm của 2 đường thẳng nằm ở góc phần tư.
VD: Cho 2 đường thẳng: 2x + y = 5 và mx + 2y = 3 
Tìm điều kiện để giao điểm 2 đường thẳng trên nằm ở góc phần tư thứ (II) 
Giải: Toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình
 Giải và biện luận hệ ta được: 
Khi m ≠ 4 hệ phương trình có nghiệm là 
Toạ độ giao điểm là I ()
Để giao điểm nằm ở góc phần tư thứ (II) thì: 
* Nhận xét: Với bài toán này trước hết học sinh phải nắm vững các vấn đề: 
- Cách tìm toạ độ giao điểm của 2 đoạn thẳng
- Giải và biện luận hệ phương trình
- Điều kiện để 1 điểm nằm trong 1 góc phần tư nào đó.
4.7. Dạng toán tìm điều kiện để giao điểm của 2 đoạn thẳng có toạ độ là số nguyên.
	VD: Cho 2 đường thẳng mx + 2y = 5 và 2x + y = 1 
Tìm m nguyên để 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm có toạ độ là số nguyên.
Hướng dẫn: Toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:	 mx + 2y = 5
 2x + y = 1
Đến đây bài toán trở về dạng: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là số nguyên. 
ở trên tôi chỉ xin nêu một số dạng toán điểm hình về phần hệ phương trình và phương trình đường thẳng học trong chương II đại số 9.