Chuyên đề “Dãy số”

 đến A lập thành dãy số:
	9; 10; 11; 12; 13; 14; 15.
Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: 	9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (km).
 Đáp số: 84 km
* Bài tập tự luyện:
Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau:
a. 7; 10; 13;;; 22; 25.
b. 103, 95, 87,;; ; 55, 47.
c. 2; 4 ;8; 16;; ; ;256. 
 13; 19; 25;,
	Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?
	Số nào suy nghĩ thấp cao?
	Đố em đố bạn làm sao kể liền?
Lưu ý dạng1: Trong bài toán về dãy số thường người ta khụng cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật.
Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
 	Cách giải của dạng toán này:
	- Xác định quy luật của dãy;
	- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không?
	Ví dụ: 
Cho dãy số: 2; 4; 6; 8;
	a. Nêu quy luật viết dãy số?
	b. Số 93 có thuộc dãy trên không? Vì sao?
*) Giải:
	a. Ta nhận thấy:	Số thứ 1:	2 = 2 1
	Số thứ 2:	4 = 2 2
	Số thứ 3:	6 = 2 3
	.........
	Số thứ n:	? = 2 n
Quy luật của dãy số là: Một số bằng 2 nhân với số thứ tự của số ấy trong dãy.
	b. Ta nhận thấy các số trong dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93 không phải là số thuộc dãy trên.
Cho dãy số: 2; 5;8 ;11;14; 17;
	Viết tiếp 3 số vào dãy số trên?
	 Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
*) Giải: 
	 Ta thấy:	8 – 5 = 3;	11 – 8 = 3; 
	Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số bằng số đứng liền trước nó cộng với 3.(Dãy cách đều 3 đơn vị, số đầu tiên của dãy là 2). Vậy 3 số tiếp theo của dãy số là: 20, 23, 26. 
* Số 2000 thuộc dãy số trên. Vì (2000 – 2 ): 3
Em hãy cho biết:
a. Các số 60; 483 có thuộc dãy 80; 85; 90; hay không?
b. Số 2002 có thuộc dãy 2; 5; 8 ; 11; hay không?
	 c. Số nào trong các số 798; 1000; 9999 có thuộc dãy 3; 6; 12; 24; giải thích tại sao?
*) Giải:
a. Cả 2 số 60; 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
 - Các số của dãy đã cho đều chia hết cho5,mà 483 không chia hết cho5.
 b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.
 c. Cả 3 số 798; 1000; 9999 đều không thuộc dãy 3; 6; 12; 24; vì:
	* Mỗi số của dãy (kể từ số thứ 2) bằng số liền trước nhân với 2 hoặc quy luật là : 3 2 = 6
 3 (2 2) = 12
 3 (2 4) = 24 
 - Các số (kể từ số thứ 3) có số đứng liền trước chia cho 2 được kết quả là số chẵn, mà 798 : 2 = 399 (là số lẻ).
	- Các số của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.
	- Các số của dãy (kể từ số thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
Cho dãy số: 1996; 1993; 1990; 1997;; 55; 52; 49.
	Các số sau đây có phải là số của dãy không?
	100; 123; 456; 789; 1900; 1995; 1999?
*) Giải: 
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.Và số có giá trị bé nhất trong dãy chia cho 3 dư 1.Nên kể từ số thứ hai của dãy lấy đem chia cho chia cho 3 đều dư 1.
	- Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không phải là số của dãy số đã cho.
	- Mỗi số trong dãy số đã cho là số chia cho 3 dư 1. Do đó số 100 và số 1900 không thuộc dãy số đó. 
	Các số 123; 456; 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó cũng không phải là số thuộc dãy số đã cho.
* Bài tập tự luyện:
Cho dãy số: 1; 4; 7; 10;
a. Nêu quy luật của dãy số.
	b. Số 31 có phải là số thuộc dãy trên không, nếu phải thì số thứ bao nhiêu?
	c. Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao?
Cho dãy số: 1004; 1010; 1016;; 3008.
Số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?
Cho dãy số: 1; 7; 13; 19;;
a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số tiếp theo.
b. Trong hai số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số trên ? Vì sao?
Lưu ý dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thỡ số đó thuộc dãy đã cho.
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy.
	* Cách giải ở dạng này là:
	- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta có công thức sau:
	Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.
	- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số đó bằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì được tính theo công thức:	
	Ví dụ:
Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10;; 1992.
 a. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
	b. Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là số mấy?
	*) Giải:
	a. Ta có: 
	2	4	6	8	10		1992
	4 – 2 = 2	;	8 – 6 = 2
	6 – 4 = 2	;	
Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị.
Dựa vào công thức trên:
	 Số số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Ta có: Số các số hạng của dãy là:
	(1999 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng).
	b. Ta nhận xét:
	Số thứ 2 là: 	4 = 2 – 2 = 2 + (2 – 1) 2
	Số thứ 2 là:	6 = 2 + 4 = 2 + (3 – 1) 2
	Số thứ 2 là:	8 = 2 + 6 = 2 + (4 – 1) 2
	Số thứ 2002 là:	2 + (2002 – 1) 2 = 4004
	Đáp số:	a. 996 số hạng.
	b. 4004 số hạng.
Cho 1; 3; 5; 7;  là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên. Hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học 1980 – 1981)
	*) Giải: 
	Ta thấy:	
	Số hạng thứ nhất bằng:	1 = 1 + 2 0
	Số hạng thứ hai bằng: 	3 = 1 + 2 1
	Số hạng thứ ba bằng:	5 = 1 + 2 2
Còn số cuối cùng: 1981 = 1 + 2 990
Vì vậy, số 1981 là số thứ 991 trong dãy số đó.
Cho dãy số: 1; 2; 3; 4; .; 195.
	a. Tính số chữ trong dãy.
	b. Chữ số thứ 195 là chữ số nào?
	*) Giải:
	a. Ta viết lại dãy số:
	1;  9; 10;  99; 100; ; 195.
	Trong dãy có 9 số gồm 1 chữ số; các số này cho 9 chữ số.
	Có 90 số gồm 2 chữ số; các số này cho 2 90 = 180 chữ số.	
	Có 96 số gồm 3 chữ số; các số này cho 3 96 = 288 chữ số.
	Vậy chữ số trong dãy là:
	9 + 180 + 288 = 477 (chữ số)
	b. Trên đây ta đã tính được số chữ số trong từng đoạn của dãy.
	19, 1099, 100, 195
	 9 180 288
	 477
	Vì < 195 < 477, nên chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, vì 195 – 189 = 6, nên đây là chữ số thứ 6 trong đoạn từ 100 đến 195.
	Ta thấy đó là chữ số 1 (nằm trong số 101)
* Bài tập tự luyện:
Cho dãy số: 3; 8; 13; 23; 
	Tìm số hạng thứ 30 của dãy số trên?
Cho dãy số: 1; 4; 9; 16; 
	a. Nêu quy luật của dãy?
	b. Số 625 là số hạng thứ bao nhiêu?
	c. Số hạng thứ 100 là số nào?
Người ta viết các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số liền nhau thành một số lớn theo quy tắc sau:
	10	12	14	16	18  96	98
	a. Số đó có bao nhiêu chữ số?
	b. Trong đó có bao nhiêu số 6?
Xét dãy số: 100; 101; ; 789.
	a. Dãy này có bao nhiêu số?
	b. Số thứ 100 là số nào?
	c. Dãy này có bao nhiêu chữ số?
	d. Chữ số 789 là chữ số nào?
Lưu ý dạng 3: Có các yêu cầu sau:
	+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
	+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
Khi giải cũng tính bằng một công thức như ở phần cách giải đã nói.
	+ Tìm chứ số thứ n của dãy.
Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy là số có bao nhiêu chữ số, từ đó tìm ra câu hỏi của bài toán.
	+ Tìm số hạng thứ n của dãy.
Ta chỉ cần tìm đấn quy luật của dãy là được (nếu là dãy số cách đều), nếu là dãy số (không cách đều) được tính theo công thức n (n – 1) : 2
Dạng 4: Tớnh tổng các số hạng của dãy số.
	* Phương phỏp làm: 
	Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:
	Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng (số hạng đầu và cuối ) nhân với số số hạng của dãy chia cho 2.
	Viết thành công thức tính:
	Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) (số số hạng : 2)
	Ta suy ra:
	Số đầu của dãy = tổng 2 : số số hạng – số hạng cuối.
	Số cuối của dãy = tổng 2 : số số hạng – số đầu.
	Ví dụ: 
Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên
	*) Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
1; 3; 5; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37.
	 Ta thấy:	1 + 37 = 38	5 + 33 = 38
	3 + 35 = 38 	7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38. 
Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng.
Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
	39 9 + 19 = 361
	Đáp số: 361.
Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ cũn lại số hạng ở chính giữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại không sắp sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2:
	19 – 1 = 18 (số hạng) (trừ ra số đầu hoặc cuối cùng của dãy)
Ta thấy:	3 + 37 = 40	;	7 + 33 = 40
	5 + 35 = 40	;	9 + 31 = 40
Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì được các cặp số có tổng là 40.
Số cặp số là:	18 : 2 = 9 (cặp số)
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
	1 + 40 9 = 361
Hoặc: (1 + 35) 9 + 37 = 361
Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.
Từ ví dụ trên, ta thấy khi giải toán bằng phương pháp của lý thuyết tổ hợp, phải phân biệt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp không sắp xếp thứ tự. 
Lưu ý dạng 4: Có các yêu cầu:
	+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
	+ Tính nhanh tổng.
* Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm cặp số, tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào. 
* Bài tập tự luyện:
Tính tổng:
	a. Của tất cả các số lẻ bé hơn 100
	b. 1 + 4 + 9 + 16 +  + 169
Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tương tự rồi suy ra cách tính của dãy số cách đều?
Tính nhanh các tổng sau:
	a. 1 + 2 + 3 +  + 999
	b. 1 + 4 + 7 + 10 +  + (cho biết là số hạng thứ 50)
	c. 1; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; 192 ; 384.
	Dãy số trên có 10 số hạng
	Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh
	Đố em, đố chị, đố anh
	Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài.
*Bài tập ôn luyện:
Tìm số thứ tự 18 của mỗi dãy số sau:
 a/. 2; 4; 6; 8; 10;.
 b/. 1; 5; 9; 13; 17;.
Cho dãy số :
 0; 3; 6; 9; 12; .
Em hãy xem xét những số sau đây, số nào thuộc dãy số trên và là số thứ mấy trong dãy số đó:
172; 366; 218; 427.
Tìm xem mỗi dãy số sau đây bao nhiêu số:
a/. 1; 2; 3; 4; ; 127.
b/. 1; 6; 11; 16; 21; ; 256.
Dãy các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 428 có tất cả bao nhiêu số.
Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 25 đến 746 có tất cả bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số lẻ?.
Cho dãy số: 1; 2; 3; 4;..2004; 2005; 2006.
 Hỏi dãy số có tất cả bao nhiêu chữ số?
ĐỀ KIỂM TRA 
 (Thời gian 40 phỳt)
Bài 1: (2 điểm)
 Viết tiếp 5 số thích hợp vào mỗi dãy số sau: 
a/. 1; 3; 5; 7; 9; .
b/. 2; 6; 18; 54; .
Bài 2: (4 điểm)
 Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:
	a. Bằng 142
25
87
	b. Bằng 143
29
58
Bài 3: (6 điểm)
 Cho dãy số: 1; 3; 6; 10; 15;; 45; 55;
	a. Số 1997 có phải là số thuộc dãy số này hay không?
	b. Số 561 có phải là số của dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là số của dãy số đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó?
Bài 4: (7 điểm)
Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 46 đến 455 có tổng của các số lẻ hơn tổng các số chẵn bao nhiêu đơn vị?
 Trỡnh bày bài khoa học,chữ viết đẹp: 1 điểm.
CHUYấN ĐỀ “TèM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ Để”
Kế hoạch bồi dưỡng gồm 8 buổi; mỗi buổi 2 tiết.
Buổi 1: Tiết 1: Ôn kiến thức cơ bản Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó.
 Tiết 2: Bài tập nâng cao (BTNC) dạng toán ẩn tổng số.
Buổi 2: Tiết 1: BTNC dạng toán ẩn tỷ số.
Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn cả tổng và tỷ số.
Buổi 3: Luyện tập chung (2tiết)
Buổi 4: Tiết 1: Ôn kiến thức cơ bản Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn hiệu số.
Buổi 5: Tiết 1: BTNC dạng toán ẩn tỉ số.
Tiết 2: BTNC dạng toán ẩn cả hiệu và tỉ số.
Buổi 6: Luyện tập tổng hợp cả chuyên đề (2 tiết).
Buổi 7: Tiết 1: Kiểm tra (40 phút)
 Tiết 2: Chữa bài kiểm tra.
Buổi 8: Trả bài kiểm tra, nhận xét. Ra bài tập tự luyện.
A. Tỡm hai số khi biết tổng số và tỉ số của hai số đú.
Khi giải bài toỏn tỡm hai số khi biết tổng số và tỉ số của hai số đú trước hết phải tỡm được:
a) Tổng số của hai số đú.(Tổng đú cú khi được phỏt biểu bằng nhiều hỡnh thức khỏc nhau mà khụng cho rừ tổng số).
 Chẳng hạn: Tổng số của hai số đú bằng tớch giữa số lẻ nhỏ nhất cú hai chữ số với số chẵn lớn nhất cú hai chữ số. Khi đú tổng của hai số đú là:
11 98 = 1078
b) Tỉ số của hai số đú. (Cú khi tỉ số này cũng được phỏt biểu dưới hỡnh thức khỏc). 
Chẳng hạn: Tỉ số của hai số bằng thương giữa số lớn nhất cú hai chữ số với số lẻ nhỏ nhất cú hai chữ số. Lỳc đú tỉ số của hai số là:
99 : 11 = 9
c) Tỡm tổng số phần bằng nhau của hai số.
d) Tỡm giỏ trị của mỗi phần. 
 Giỏ trị 1 phần = Tổng cỏc số : Tổng số phần.
e) Tỡm mỗi số phải tỡm.( số lớn ,số bộ)
Bài toỏn: Tổng của hai số bằng số lớn nhất cú 4 chữ số. Tỉ số giữa số lớn so với số bộ bằng số nhỏ nhất cú hai chữ số. Tỡm hai số đú.
Phõn tớch: Số lớn nhất cú 4 chữ số là 9999. Vậy tổng của hai số đú là 9999.
Số nhỏ nhất cú hai chữ số là 10. Vậy tỉ số giữa số lớn so với số bộ là 10 hay số lớn bằng 10 lần so với số bộ. Từ đú vẽ sơ đồ ta tỡm được hai số đú.
Giải: Số lớn nhất cú 4 chữ số là số 9999. Vậy tổng của hai số đú là 9999. Số nhỏ nhất cú hai chữ số là số 10. Vậy tỉ số giữa số lớn so với số bộ là 10 hay số lớn bằng 10 lần số bộ.
Ta cú sơ đồ:
Số bộ 
Số lớn 9999
9999 bằng mấy lần số bộ ?
1 + 10 = 11
Số bộ là: 9999 : 11 = 909
Số lớn là: 999 – 909 = 9090
Đỏp số: 909 và 9090
 Bài tập ỏp dụng:
a) Khi viết thờm một chữ số 0 vào bờn phải một số, ta được số mới. Số mới đú bằng bao nhiờu lần số ban đầu?
 b) Cho biết tổng của số mới với số ban đầu là 297. Hỏi số ban đầu là bao nhiờu?
 Hướng dẫn giải: 
 a) Khi viết thờm một chữ số 0 vào bờn phải một số ta được số mới. Số mới đú gấp 10 lần số ban đầu.
 b) Theo bài ra ta cú sơ đồ:
Số mới 
Số ban đầu 297
 297 bằng mấy lần số ban đầu?
 10 + 1 = 11 (lần)
 Số ban đầu là:
 297 : 11 = 27
 Đỏp số: a) 10 lần
 b) 27
a) Cho một số, viết thờm vào bờn phải số đú một chữ số 0 ta được số mới thứ nhất. Thay chữ số 0 vừa viết thờm ở số mới thứ nhất bằng chữ số 4, ta được số mới thứ hai.
 1) So sỏnh số mới thứ hai với số mới thứ nhất.
 2) So sỏnh số mới thứ hai với số đó cho.
 b) Nếu tổng của số mới thứ hai với số ban đầu là 433 thỡ số ban đầu đó cho là bao nhiờu?
Hướng dẫn giải:
 a) 1/. Số mới thứ hai hơn số mới thứ nhất 4 đơn vị.
 2/. Số mới thứ hai bằng 10 lần số đó cho cộng với 4.
 b) Theo đề bài, ta cú sơ đồ: 4
Số mới thứ 2
Số đó cho
433
Số ban đầu là: (433 - 4) : (10 + 1) = 39
 Đỏp số: a) 1/. 4 đơn vị
 2/. 10 lần cộng với 4
 b): 39
Tỡm một số biết rằng nếu viết thờm vào bờn phải số đú một chữ số 7 ta được số mới và tổng của số mới với số phải tỡm là 1074.
Hướng dẫn giải:
 Khi viết thờm một chữ số 7 vào bờn phải một số bất kỳ, ta được số mới bằng 10 lần số ban đầu cộng với 7. Vỡ vậy ta cú sơ đồ: 7
Số mới 
Số phải tỡm
1074
Số phải tỡm là: (1074 - 7) : (10 + 1) = 97
 Đỏp số: 97
Một phộp cộng cú hai số hạng. Biết số hạng thứ hai bằng 4 lần số hạng thứ nhất và tổng cỏc số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai, tổng số bằng 250. Tỡm phộp cộng đú.
Hướng dẫn giải:
Cỏch 1: Theo đề bài ta cú sơ đồ:
Số hạng 1
Số hạng 2
Tổng số
 250 
205 bằng mấy lần số hạng thứ nhất?
 1 + 4 + 5 = 10 lần
Số hạng thứ nhất là: 250 : 10 = 25
Số hạng thứ hai là: 25 x 4 = 100
Tổng số là: 25 x 5 = 125
Phộp cộng đú là: 25 + 100 = 125
 Đỏp số: 25 + 100 = 125 
Cỏch 2: Ta cú: Số hạng 1 + Số hạng 2 + Tổng số = 250
 Tổng số + Tổng số = 250
 Tổng số là: 250 : 2 = 125
 Vậy ta cú sơ đồ:
Số hạng 1
Số hạng 2
 125 
 Nhỡn vào sơ đồ ta thấy:
 Số hạng thứ nhất là: 125 : ( 1 + 4 ) = 25
 Số hạng thứ hai là: 25 4 = 100
 Phộp cộng đú là: 25 + 100 = 125
 Đỏp số: 25 + 100 = 125 
Tỡm một số cú hai chữ số biết rằng nếu viết thờm vào bờn phải và bờn trỏi số đú mỗi bờn một chữ số 3 ta được số mới và tổng của số mới với số phải tỡm bằng 3322.
Hướng dẫn giải:
Cỏch 1: Khi viết thờm vào bờn phải một số một số cú hai chữ số một chữ số 3 ta được số mới thứ nhất cú ba chữ số bằng 10 lần số phải tỡm cộng với 3 đơn vị.
Khi viết thờm vào bờn trỏi số cú ba chữ số một chữ số 3 thỡ chữ số 3 đú ở hàng nghỡn nờn được số mới thứ hai lớn hơn số mới thứ nhất 3000 đơn vị.
Như vậy, số mới thứ hai bằng 10 lần số phải tỡm cộng với 3003. 
Giải ra ta cú đỏp số: 29.
Cỏch 2: Gọi số phải tỡm là , theo đề bài ta cú số mới là:
 mà = 10 + 3003.
Ta cú sơ đồ: 
 3003
Số phải tỡm 
Số mới
3322
Giải ra ta cú đỏp số là: 29.
Cỏch 3: Gọi số phải tỡm là thỡ số mới là ta cú:
	 	 	b = 9 vỡ chỉ cú 3 + 9 = 12 viết 2 nhớ 1
	+	
	 Vậy a = 2 vỡ 9 + 1 nhớ +a = 12 
 3322	 
 	Số phải tỡm là 29.	 
 Đỏp số: 29
 Cần lưu ý: Chữ số viết thờm bờn trỏi số đú đứng ở hàng nào để xỏc định số đú tăng thờm bao nhiờu đơn vị.
Bài tập tự luyện:
Cho một số, nếu viết thờm vào bờn phải số đú một chữ số ta được số mới và tổng của số mới với số đó cho bằng 1994. Tỡm:
 a) Số đó cho.
 b) Chữ số viết thờm.
Cho một số. Nếu viết thờm vào bờn phải số đú một chữ số ta được số mới. Đem số mới chia cho số đó cho ta cú phộp chia cú tổng cỏc số: số bị chia, số chia, số thương, số dư bằng 1093. Tỡm:
 a) Số đó cho.
 b) Chữ số viết thờm.
Cho một số, biết rằng nếu viết thờm vào bờn phải số đú một số cú hai chữ số ta được số mới. Đem số mới chia cho số đó cho ta cú phộp chia cú tổng cỏc số: số bị chia, số chia, số thương, số dư bằng 9181. Tỡm:
 a) Số đó cho.
 b) Chữ số viết thờm.
Cho số cú hai chữ số. Nếu ta viết thờm vào bờn phải hoặc bờn trỏi số đú chớnh số đú ta được số mới cú 4 chữ số và tổng của số mới với số đó cho bằng 8466. Tỡm số đó cho.
Cho hai số cú hai chữ số mà số lớn bằng 3 lần số bộ. Nếu đem số bộ viết vào bờn phải và bờn trỏi số lớn ta được 2 số mới mỗi số cú 4 chữ số. Tổng của hai số cú 4 chữ số đú bằng 4848. Tỡm hai số đó cho.
Cho hai số cú hai chữ số mà nếu lấy số lớn chia cho số bộ thỡ được thương là 4. Nếu đem số lớn ghộp vào bờn phải hoặc bờn trỏi số bộ ta được hai số cú 4 chữ số và tổng của hai số cú 4 chữ số đú bằng 12120. Tỡm hai số đó cho.
Cho một số cú chữ số ở hàng đơn vị là 3. Nếu xoỏ chữ số 3 đú ta được số mới. Biết tổng của số mới đú với số đó cho là 135. Tỡm số đó cho
II.2. Tỡm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của hai số đú.
Người ra đề bài thường phỏt biểu về hiệu của hai số hoặc tỉ số của hai số dưới hỡnh thức khỏc, nờn khi giải bài toỏn: Tỡm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đú nhất thiết phải tỡm được: 
a) Hiệu của hai số phải tỡm.
b) Tỉ số của hai số phải tỡm.
c) Tỡm số phần ứng với hiệu số.
d) Tỡm giỏ trị của mỗi phần.
 Giỏ trị 1 phần = hiệu cỏc số : hiệu số phần.
e) Tỡm mỗi số phải tỡm.
* Bài toỏn: Cho hỡnh chữ nhật cú tỉ số chiều rộng so với chiều dài là . Chiều dài hơn chiều rộng 45m. Tớnh:
a) Chu vi hỡnh chữ nhật đó cho.
b) Diện tớch hỡnh chữ nhật đó cho.
Phõn tớch: Tỉ số chiều rộng so với chiều dài là thỡ chiều rộng chia thành 2 phần bằng nhau, chiều dài cú 5 phần như thế.
Giải: (Sau khi phõn tớch như trờn ta giải tiếp như sau):
Ta cú sơ đồ: 
Chiều rộng 
 45m 
Chiều dài 
45m chia thành mấy phần bằng nhau ?
5 – 2 = 3 (phần)
Giỏ trị của một phần là:
45 : 3 = 15 (m)
Chiều rộng là: 
15 2 = 30 (m)
Chiều dài là:
30 + 45 = 75 (m)
a) Chu vi hỡnh chữ nhật là:
(30 + 75) 2 = 210 (m)
b) Diện tớch hỡnh chữ nhật là:
75 30 = 2250 (m2)
 Đỏp số: a) 210m
 b) 2250m2
 Bài tập ỏp dụng:
Cho một số cú chữ số hàng đơn vị là 0. Nếu xoỏ chữ số 0 đú ta được số mới. Biết số đó cho lớn hơn số mới 549. Tỡm số đó cho.
Hướng dẫn giải:
Khi xoỏ một chữ số 0 ở hàng đơn vị của một số bất kỳ, ta đó chia số đú cho 10. Vậy số đó cho bằng 10 lần số mới. Ta cú sơ đồ:
Số đó cho 
Số mới
 549 
549 bằng mấy lần số mới?
 10 – 1 = 9 (lần)
Số mới là:
 549 : 9 = 61
Vậy số