Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán THCS

	 (V× )
	+) 
	Hay 
	+) 
	Hay 
	Tãm l¹i hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ:
(x;y) = 
	b) 
	Gi¶i:
	§Æt x+y = a; xy=b
	HÖ ®· cho trë thµnh
	HoÆc 	
	+) 	Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
	HoÆc	
	+) 	Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
	(V« nghiÖm)
	HÖ nµy v« nghiÖm
	VËy nghiÖm cña hÖ ®· cho lµ:
	(x;y) = (1;2); (2;1)
	c) 	
	Gi¶i 
	HÖ ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi
	§Æt PT (1) trë thµnh
	+)
	ThÕ vµo (2) ta ®­îc 
	HoÆc 
	Suy ra: 	HoÆc	
	+)
	ThÕ vµo (2) ta ®­îc 
	HoÆc 
	Suy ra: 	HoÆc	
	Tãm l¹i hÖ ®· cho cã nghiÖm lµ:
	(x;y) = (-2;3); (2;-3); (-3;2) ; (3;-2)
	D. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc
	(4) Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh
	a) 
	Gi¶i:
	NhËn xÐt: 	Tõ B§T 
	Ta suy ra: 
	¸p dông liªn tiÕp B§T (*) ta ®­îc
	§¼ng thøc xÈy ra khi: 
	VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm lµ:	
	b)
	Gi¶i:
	§K: 
	HÖ ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi
	Theo bÊt ®¼ng thøc BunhiaCèp xki ta cã
	Suy ra 
	MÆt kh¸c 
	§¼ng thøc xÈy ra khi x= 16 vµ y=3 (t/m)
	VËy hÖ ®· cã nghiÖm lµ (x;y) = (16;3)
Chuyªn ®Ò 4:
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A - CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp đổi tương đương
Để chứng minh: 
Ta biến đổi (đây là bất đẳng thức đúng)
Hoặc từ bất đẳng thức đứng , ta biến đổi 
Ví dụ 1.1
Giải
Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.
b)
Bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2
CMR
Giải
Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3
Giải
Nếu ac + bd < 0 thì (2) đúng
Nếu thì
Suy ra đpcm.
Ví dụ 1.4
Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: 
Giải
 đpcm.
Ví dụ 1.5
Cho a, b, c > 0. CMR: (1)
Giải
Suy ra ĐPCM.
Phương pháp biến đổi đồng nhất
Để chứng minh BĐT: A B. Ta biến đổi biểu thức A – B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm.
Ví dụ 2.1
Chứng minh rằng:
Giải
Ví dụ 2.2
Chứng minh rằng:
a) với a, b > 0
b) với a, b, c > 0
c) với a, b, c 0
Giải
Ví dụ 2.3
Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Giải
Ví dụ 2.4
 (Bất đẳng thức Cô – si)
 (Bất đẳng thức Cô – si)
 (Bất đẳng thức Trê bư sếp)
Giải
Ta có: 
Ví dụ 2.5
Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
Giải
Ví dụ 2.6
Chứng minh rằng
nếu ab 0
nếu a2 + b2 < 2
 nếu -1 < a, b < 1
nếu a, b > 0
Giải
Phương pháp sử dung tính chất của bất đẳng thức
 Cơ sở của phương pháp này là các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cơ bản như:
Ví dụ 3.1
Cho a + b > 1 . Chứng minh: 
Giải
Ví dụ 3.2
Với a, b, c > 0. CMR
Giải
Ví dụ 3.3
Cho a, b, c > 0. CMR:
Giải
dễ dàng chứng minh đpcm
dễ dàng chứng minhđpcm
Ví dụ 3.4
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc = ab + bc + ca. Chứng minh:
Giải
Tương tự: 
Ví dụ 3.5
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Giải
áp dụng BĐT: 
b) 
suy ra điều phải chứng minh.
4)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Co-si
Dấu “=” xảy ra khi 
Ví dụ 4.1
Cho a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. CMR: 
Giải
Áp dụng BĐT Cosi ta có
Ví dụ 4.2
Chứng minh rằng:
 với a, b 
với a,b,c > 0
Giải
Cộng vế với vế ta được: 
Dấu “=” xảy ra khi vô lí.
Vậy dấu “=” không xảy ra.
Ví dụ 4.3
 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Giải
Ví dụ 4.4
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
Giải
Cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 4.5
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 +b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng
Gải
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.6
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
Tương tự suy ra VT 
Ví dụ 4.7
Cho x, y, z > 0. Chứng minh
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 
5)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Bunhiacopski
*) dấu “=” xảy ra khi 
*) dấu “=” xảy ra khi 
Tổng quát:
 dấu “=” xảy ra khi ai = kxi
Ví dụ 5.1
Cho a, b > 0. Chứng minh
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
Tổng quát: 
Cho thì (1)
 Với với thì (2)
Thật vậy: 
đặt aici = bi > 0 thay vào (1) được (2)
Ví dụ 5.2
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
Giải
Ví dụ 5.3
Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 
Giải
Dấu “=” xảy ra khi vô lí suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 5.4
Cho x, y, z > 0. Chứng minh: 
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có
B – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Cho biểu thức f(x,y)
Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y) kí hiệu maxf(x,y) = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
Với mọi x,y để f(x,y) xá định thì f(x,y) M
Tồn tại x0, y0 sao cho f(x0,y0) = M
Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y) kí hiệu minf(x,y) = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
Với mọi x,y để f(x,y) xá định thì f(x,y) m
Tồn tại x0, y0 sao cho f(x0,y0) = m
I) TÌM GTLN, GTNN CỦA ĐA THỨC BẬC HAI
1) Đa thức bậc hai một biến 
Ví dụ 1.1
Tìm GTNN của A = 3x2 – 4x + 1
Tìm GTLN của B = - 5x2 + 6x – 2
Tìm GTNN của C = (x – 2)2 + (x – 3)2
Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Giải
A = . Vậy minA=
B = . Vậy maxB = 
C = . 
Vậy maxC = 
Ta có: P = 
Nếu a > 0 thì P . Vậy minP = khi 
Nếu a < 0 thì P . Vậy maxP = khi 
Ví dụ 1.2
a) Tìm GTNN của M = x2 – 3x + 1 với 
b) Tìm GTLN của N = x2 – 5x + 1 với 
Giải
a) M = . Vậy minM = -1 khi x = 2
b) N = . Vậy maxN = 25 khi x = -3, x = 8
2. Đa thức bậc hai hai biến
a) Đa thức bậc hai hai biến có điều kiện
Ví dụ 2a.1
Cho x + y = 1. Tìm GTLN của P = 3xy – 4
Cho x – 2y = 2. Tìm GTNN của Q = x2 + 2y2 – x + 3y
Giải
a) 
Vậy maxP = 
Vậy minQ = 
Ví dụ 2a.2
 Tìm GTLN của của P = xy vói x, y thỏa mãn
 a) 
 b) 
 a) . Vậy maxP = 8 khi x = 2, y = 4
 b) . 
 Vậy maxQ = (S – a)a khi x = S – a, y = a
 b) Đa thức bậc hai hai biến
 Cho đa thức: P(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + h (1), với a,b,c 0
Ta thường đưa P(x, y) về dạng
P(x, y) = mF2(x, y) + nG2(y) + k (2)
P(x, y) = mH2(x, y) + nG2(x) + k (3)
Trong đó G(y), H(x) là hai biểu thức bậc nhất một ẩn, H(x, y) là biểu thức bậc nhất hai ẩn.
Chẳng hạn nếu ta biến đổi (1) về (2) với a, (4ac – b2) 0
(Tương tự nhân hai vế của (1) với 4c để chuyển về (3))
Ví dụ 3.1
Tìm GTNN của P = x2 + y2 + xy + x + y
Tìm GTLN của Q = -5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1
Giải
 Vậy minP = 
Vậy maxQ = 16 khi x = 1, y = 2
Ví dụ 3.2
Tìm cặp số (x, y) với y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 (*)
Giải
Vậy miny = -3 khi x = -6. Vậy ccawpj số (x, y) = (-6; -3)
Ví dụ 3.3
 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2 + 10 = 0 (**).
 Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1.
Giải
Vậy minS = -4 khi x = -5, y = 0. maxS = -1 khi x = -2, y = 0.
II. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ
Ví dụ 1
Tìm GTLN, GTNN của A = 
Giải
Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình sau đây cóa nghiệm
a = 
Nếu a = 1 thì phương trình (1) có nghiệm x = 
Nếu a 1 thì phương trình (1) có nghiệm khi –a2 + 4a +5 
Vậy minA = -1 khi 
 maxA = 5 khi 
Ví dụ 2
 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = 
Giải
Biểu thức B nhận giá trị b khi phương trình sau có nghiệm
b = 
Trong đó x là ẩn, y là tham số và b là tham số có điều kiện
Nếu b = 0 
Nếu b để (2) có nghiệm x khi 1 – 4b(by2 – 2y + 7b -1) (3)
Coi (3) là bất phương trình ẩn y. BPT này xảy ra với mọi giá trị của y khi 
16b2 + 4b2(-28b2 + 4b + 1)
Vậy minB = 
 maxB = 
III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ 1.1
Tìm GTLN, GTNN của A = với 
Giải
Vậy A2 Vậy minA = 
(Biểu thức được cho dưới dạng tổng hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng là hằng số)
Ví dụ 1.2
Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y . Hãy tìm GTNN của P = 
Giải
Ta có: 
Vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4.
Ví dụ 1.3
Tìm GTLN của biểu thức M = với 
Giải
 To có: 
Theo bất đẳng thức Cô – si ta có: 
Ví dụ 1.4
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: . Tìm TGLN của P = xyz
Giải
Tương tự: 
Nhân vế với vế của ba BĐT trên 
Ví dụ 1.5
Cho 0 < x < 1, Tìm GTNN của Q = 
Giải
(Đặt P = đồng nhất hệ số suy ra a = b = 1; c = 7)
Ví dụ 1.6
Cho x, y, z, t > 0. Tìm GTNN của biểu thức.
 M 
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: với a, b > 0.
2. Sử dụng BĐT Bunhiacopski (BCS)
Ví dụ 2.1
Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức
A = x4 + y4 + z4
Giải
Áp dụng BĐT BCS ta có
Ví dụ 2.2
Tìm GTNN của P = trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Giải
Ví dụ 2.3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + + 
trong đó a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1
Giải
Ví dụ 2.4
 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của
Giải
Chuyªn ®Ò 5:
:
: Tø gi¸c néi tiÕp
I -c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp
 1- Tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 
2- Hai gãc liªn tiÕp cïng nh×n mét c¹nh d­íi hai gãc b»ng nhau.
 3- NÕu hai c¹nh ®èi diÖn cu¶ gi¸c ABCD c¾t nhau t¹i M tháa m·n:
 MA.MB =MC.MD ; hoÆc hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i O tháa m·n
 OA.OC = OB.OD th× ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp
 4- Sö dông ®Þnh lý Pt«lªmª
II- C¸c vÝ dô
VÝ dô1: Cho ®­êng trßn t©m O vµ mét ®iÓm C ë ngoµi ®­êng trßn ®ã. Tõ C kÎ hai tiÕp tuyÕn CE ; CF ( E vµ F lµ c¸c tiÕp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn CMN ( N n»m gi÷a C vµ M ) tíi ®­êng trßn.§­êng th¼ng CO c¾t ®­êng trßn t¹i hai ®iÓm A vµ B. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AB víi EF. Chøng minh r»ng:
a, Bèn ®iÓm O, I, M, N cïng thuéc mét ®­êng trßn
 b, = 
Gi¶i 
a, Do CE lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn:
 = (Cïng ch¾n )
DCEM ~ DCNE .
 = 
CM.CN =CE2
MÆt Kh¸c , do CE; CF lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) nªn
 AB^ EF t¹i I v× vËy trong tam gi¸c vu«ng CEO ®­êng cao EI ta cã:
CE2 = CI.CO
 Tõ (1) vµ (2) suy ra CM.CN = CI.CO => = 
DCMI ~ DCON
 = 
Tø gi¸c OIMN néi tiÕp o
b KÐo dµi NI c¾t ®­êng trßn t¹i M’.
Do tø gi¸c IONM néi tiÕp nªn :
 = = s® 
 => = . Do ®ã:
 = = o 
VÝ Dô 2
 Cho tam gi¸c ABC cã = 450 ; BC =a néi tiÕp trong ®­êng trßn t©m O; c¸c ®­êng cao BB’ vµ CC’. Gäi O’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña O qua ®­êng th¼ng B’C’.
Chøng minh r»ng A; B’; C’; O’ cïng thuéc mét ®­êng trßn
 TÝnh B’C’ theo a.
Lêi gi¶i
Do O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC nªn
 = 2 =900
Tõ ®ã suy ra c¸c ®iÓm O; B’; C’
Cïng thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.XÐt tø gi¸c néi tiÕp CC’OB’ cã :
 = 1800 - 
 = 1800 - ( 900 - ) =1350.
Mµ O’ ®èi xøng víi O qua B’C’ nªn:
 = = 1350 =1800 - 
Hay tø gi¸c AC’O’B’ néi tiÕp.
Do = 450 nªn DBB’A vu«ng c©n t¹i B’
 V× vËy B’ n»m trªn ®­êng trung trùc cña ®o¹n AB hay B’O ^ AB
C’OB’C lµ h×nh thang c©n nªn B’C’ =OC
MÆt kh¸c DBOC vu«ng c©n nªn: B’C’ =OC = 
III bµi tËp ¸p dông
Bài tập 1:
 Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
 a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp.
 b/ CA là phân giác của 
 c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp.
Bài tập 2:
 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
 a/ CEFD là tứ giác nội tiếp
 b/ Tia FA là phân giác của góc BFM
 c/ BE.DN = EN.BD.
Bài tập 3:
 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
 a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
 b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn 
 c/ AC song song với FG
 d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài tập 4:
 Cho tam giác ABC có ; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( M không trùng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
 a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn
 b/ CM là phân giác của góc BCS.
 c/ 
Bài tập 5:
 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
 a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn
 b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN
 c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA= AI. AL
 d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ
 e/ Chứng minh tam giác KLN cân.
Bài tập 6:
 Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H )
 a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạng với tam giác EAH.
 b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp
 c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R
Bài tập 7:
 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh: 
 a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn
 b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn
 c/ Tam giác PQO cân
 d/ MP= PE. PF
 e/ = 
Bài tập 8:
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
 a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp.
 b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
 c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC
 d/ H và M đối xứng nhau qua BC
 e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài tập 9:
 Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:
 a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và HE // CD.
 b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF. 
Bài tập 10:
 Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE.
a/ CMR: A, B,H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
 b/ Chứng minh: HA là tia phân giác . 
c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB= AI.AH
d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK. 
Bài tập 11:
 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó.
a/ Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b/ Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? Tại sao?.
c/ CMR: AC.BD = BC.DA = 
Bài tập 12:
 Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn
b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB
c/ Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 13:
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a/ Chứng minh: DMC đều
b/ Chứng minh: MB + MC = MA
c/ Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được.
d/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào?. 
Bài tập 14:
 Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên O kẻ tiếp tuyến d với O. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a/ Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
c/ Chứng minh OI. OM = R; OI. IM = IA
d/ Chứng minh OAHB là hình thoi
e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
f/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Bài tập 15:
 Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp.
b/ Chứng minh AB // EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS
 * 
Bài tập 16:
 Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PQ với đường tròn (O).
a/ Chứng minh: PT = PM. PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, Q thuộc một đường tròn cố định.
b/ Gọi giao điểm của TQ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng minh các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
 c/ CMR: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TQ luôn đi qua điểm cố định.
 d/ Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để =600 
Bài tập 17:
 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:
a/ Tứ giác ABTM nội tiếp.
 b/ Khi M chuyển động trên AC thì có số đo không đổi
c/ AB // ST.
Bài tập 18:
 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp.
b/ Chứng minh: DAME ~ DACM
c/ Chứng minh AM = AE. AC
d/ chứng minh AE. AC – AI. IB = AI
e/ Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài tập 19:
 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
 b/ Chứng minh AH là tia phân giác của 
c/ DE cắt BC tại I. Chứng minh: AB = AI. AH
d/ Cho AB = R và OH = . Tính HI theo R.
Bài tập 20:
 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M A, MQ, Q A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh:
a/ Tích BN. BM không đổi
b/ Tứ giác MNPQ nội tiếp
c/ Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R.
Chuyªn ®Ò 6:
 ®­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh
 Trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo tr­êng chuyªn, líp chän th­êng cã nh÷ng bµi to¸n liªn quan ®Õn t×m ®iÓm cè ®Þnh, chøng minh ®­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh. Thùc tÕ cho thÊy ®©y lµ bµi to¸n khã, häc sinh th­êng khã kh¨n khi gÆp ph¶i bµi to¸n d¹ng nµy.
Bµi to¸n “§­êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh” ®ßi hái HS ph¶i cã kÜ n¨ng nhÊt ®Þnh céng víi sù ®Çu t­ suy nghÜ, t×m tßi nh­ng ®Æc biÖt ph¶i cã ph­¬ng ph¸p lµm bµi. 
T×m hiÓu néi dung bµi to¸n
Dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh
T×m tßi h­íng gi¶i
Tr×nh bµy lêi gi¶i
T×m hiÓu bµi to¸n:
 YÕu tè cè ®Þnh.( ®iÓm, ®­êng  )
 YÕu tè chuyÓn ®éng.( ®iÓm, ®­êng  )
 YÕu tè kh«ng ®æi.( ®é dµi ®o¹n, ®é lín gãc  )
 Quan hÖ kh«ng ®æi ( Song song, vu«ng gãc, th¼ng hµng  )
Kh©u t×m hiÓu néi dung bµi to¸n lµ rÊt quan träng. Nã ®Þnh h­íng cho c¸c thao t¸c tiÕp theo. Trong kh©u nµy ®ßi hái häc sinh ph¶i cã tr×nh ®é ph©n tÝch bµi to¸n, kh¶ n¨ng ph¸n ®o¸n tèt. Tuú thuéc vµo kh¶ n¨ng cña tõng ®èi t­îng häc sinh mµ gi¸o viªn cã thÓ ®­a ra hÖ thèng c©u hái dÉn d¾t thÝch hîp nh»m gióp häc sinh t×m hiÓu tèt néi dung bµi to¸n. CÇn x¸c ®Þnh râ yÕu tè cè ®Þnh, kh«ng ®æi, c¸c quan hÖ kh«ng ®æi vµ c¸c yÕu tè thay ®æi, t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè ®ã.
Dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh:
Dùa vµo nh÷ng vÞ trÝ ®Æc biÖt cña yÕu tè chuyÓn ®éng ®Ó dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh. Th«ng th­êng ta t×m mét hoÆc hai vÞ trÝ ®Æc biÖt céng thªm víi c¸c ®Æc ®iÓm bÊt biÕn kh¸c nh­ tÝnh chÊt ®èi xøng, song song, th¼ng hµng  ®Ó dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh
T×m tßi h­íng gi¶i 
Tõ viÖc dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh t×m mèi quan hÖ gi÷a ®iÓm ®ã víi c¸c yÕu tè chuyÓn ®éng, yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi. Th«ng th­êng ®Ó chøng tá mét ®iÓm lµ cè ®Þnh ta chØ ra ®iÓm ®ã thuéc hai ®­êng cè ®Þnh, thuéc mét ®­êng cè ®Þnh vµ tho¶ m·n mét ®iÒu kiÖn (thuéc mét tia vµ c¸ch gèc mét ®o¹n kh«ng ®æi, thuéc mét ®­êng tr