Chuyên đề 20 bồi dưỡng Toán 8

1996k coù chöõ soá taän cuøng laø 6
Neân A coù chöõ soá taän cuøng laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång caùc chöõ soá taän cuøng cuûa toång 
1 + 5 + 5 + 6 = 17, coù chöõ soá taän cuøng laø 7 neân khoâng theå laø soá chính phöông
b) Ta coù :k chaün neân k = 2n (n N)
 20042004k = (20044)501k = (20044)1002n = (...6)1002n laø luyõ thöøa baäc chaün cuûa soá coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân coù chöõ soá taän cuøng laø 6 neân B = 20042004k + 2001 coù chöõ soá taän cuøng laø 7, do ñoù B khoâng laø soá chính phöông
Baøi 2:
Tìm soá dö khi chia caùc bieåu thöùc sau cho 5
a) A = 21 + 35 + 49 +...+ 20038005
b) B = 23 + 37 +411 +...+ 20058007
Giaûi
a) Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång
(2 + 3 +... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005
Chöõ soá taän cuøng cuûa A laø 5 neân chia A cho 5 dö 0
b)Töông töï, chöõ soá taän cuøng cuûa B laø chöõ soá taän cuøng cuûa toång
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + ...+ 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024
B coù chöõ soá taän cuøng laø 4 neân B chia 5 dö 4
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1: Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa: 3102 ; ; 320 + 230 + 715 - 816
Baøi 2: Tìm hai, ba chöõ soá taän cuøng cuûa: 3555 ; 
Baøi 3: Tìm soá dö khi chia caùc soá sau cho 2; cho 5: 
a) 38; 1415 + 1514
b) 20092010 – 20082009
CHUYEÂN ÑEÀ 9 – ÑOÀNG DÖ
A. Ñònh nghóa:
Neáu hai soá nguyeân a vaø b coù cuøng soá dö trong pheùp chia cho moät soá töï nhieân m 0 thì ta noùi a ñoàng dö vôùi b theo moâñun m, vaø coù ñoàng dö thöùc: a b (mod m)
Ví duï:7 10 (mod 3) , 12 22 (mod 10)
+ Chuù yù: a b (mod m) a – b m
B. Tính chaát cuûa ñoàng dö thöùc:
1. Tính chaát phaûn xaï: a a (mod m)
2. Tính chaát ñoãi xöùng: a b (mod m) b a (mod m)
3. Tính chaát baéc caàu: a b (mod m), b c (mod m) thì a c (mod m)
4. Coäng , tröø töøng veá: 
Heä quaû:
a) a b (mod m) a + c b + c (mod m)
b) a + b c (mod m) a c - b (mod m)
c) a b (mod m) a + km b (mod m)
5. Nhaân töøng veá : 
Heä quaû:
a) a b (mod m) ac bc (mod m) (c Z)
b) a b (mod m) an bn (mod m)
6. Coù theå nhaân (chia) hai veá vaø moâñun cuûa moät ñoàng dö thöùc vôùi moät soá nguyeân döông
 a b (mod m) ac bc (mod mc)
Chaúng haïn: 11 3 (mod 4) 22 6 (mod 8)
7. 
Chaúng haïn : 
C. Caùc ví duï:
1. Ví duï 1:
Tìm soá dö khi chia 9294 cho 15
Giaûi
Ta thaáy 92 2 (mod 15) 9294 294 (mod 15) (1)
Laïi coù 24 1 (mod 15) (24)23. 22 4 (mod 15) hay 294 4 (mod 15) (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 9294 4 (mod 15) töùc laø 9294 chia 15 thì dö 4
2. Ví duï 2:
Chöùng minh: trong caùc soá coù daïng 2n – 4(n N), coù voâ soá soá chia heát cho 5
Thaät vaäy:
Töø 24 1 (mod 5) 24k 1 (mod 5) (1)
Laïi coù 22 4 (mod 5) (2)
Nhaân (1) vôùi (2), veá theo veá ta coù: 24k + 2 4 (mod 5) 24k + 2 - 4 0 (mod 5)
Hay 24k + 2 - 4 chia heát cho 5 vôùi moïi k = 0, 1, 2, ... hay ta ñöôïc voâ soá soá daïng 2n – 4
(n N) chia heát cho 5
Chuù yù: khi giaûi caùc baøi toaùn veà ñoàng dö, ta thöôøng quan taâm ñeán a 1 (mod m)
 a 1 (mod m) an 1 (mod m)
 a -1 (mod m) an (-1)n (mod m)
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng
a) 2015 – 1 chia heát cho 11 b) 230 + 330 chi heát cho 13
c) 555222 + 222555 chia heát cho 7
Giaûi
a) 25 - 1 (mod 11) (1); 10 - 1 (mod 11) 105 - 1 (mod 11) (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra 25. 105 1 (mod 11) 205 1 (mod 11) 205 – 1 0 (mod 11)
b) 26 - 1 (mod 13) 230 - 1 (mod 13) (3)
 33 1 (mod 13) 330 1 (mod 13) (4)
Töø (3) vaø (4) suy ra 230 + 330 - 1 + 1 (mod 13) 230 + 330 0 (mod 13)
Vaäy: 230 + 330 chi heát cho 13
c) 555 2 (mod 7) 555222 2222 (mod 7) (5)
 23 1 (mod 7) (23)74 1 (mod 7) 555222 1 (mod 7) (6)
222 - 2 (mod 7) 222555 (-2)555 (mod 7)
Laïi coù (-2)3 - 1 (mod 7) [(-2)3]185 - 1 (mod 7) 222555 - 1 (mod 7)
Ta suy ra 555222 + 222555 1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia heát cho 7
4. Ví duï 4: Chöùng minh raèng soá + 7 chia heát cho 11 vôùi moïi soá töï nhieân n
Thaät vaäy:Ta coù: 25 - 1 (mod 11) 210 1 (mod 11)
Xeùt soá dö khi chia 24n + 1 cho 10. Ta coù: 24 1 (mod 5) 24n 1 (mod 5)
 2.24n 2 (mod 10) 24n + 1 2 (mod 10) 24n + 1 = 10 k + 2
Neân + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7
= BS 11 + 11 chia heát cho 11
Baøi taäp veà nhaø:
Baøi 1: CMR:
a) 228 – 1 chia heát cho 29
b)Trong caùc soá coù daïng2n – 3 coù voâ soá soá chia heát cho 13
Baøi 2: Tìm soá dö khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7.
CHUYEÂN ÑEÀ 10 – TÍNH CHIA HEÁT ÑOÁI VÔÙI ÑA THÖÙC
A. Daïng 1: Tìm dö cuûa pheùp chia maø khoâng thöïc hieän pheùp chia
1. Ña thöùc chia coù daïng x – a (a laø haèng)
a) Ñònh lí Bôdu (Bezout, 1730 – 1783):
Soá dö trong pheùp chia ña thöùc f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò cuûa f(x) taïi x = a
Ta coù: f(x) = (x – a). Q(x) + r
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = a, ta coù
f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r
Ta suy ra: f(x) chia heát cho x – a f(a) = 0
b) f(x) coù toång caùc heä soá baèng 0 thì chia heát cho x – 1
c) f(x) coù toång caùc heä soá cuûa haïng töû baäc chaün baèng toång caùc heä soá cuûa caùc haïng töû baäc leû thì chia heát cho x + 1
Ví duï : Khoâng laøm pheùp chia, haõy xeùt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heát cho 
B = x + 1, C = x – 3 khoâng
Keát quaû:
A chia heát cho B, khoâng chia heát cho C
2. Ña thöùc chia coù baäc hai trôû leân
Caùch 1: Taùch ña thöùc bò chia thaønh toång cuûa caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia vaø dö
Caùch 2: Xeùt giaù trò rieâng: goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b thì
f(x) = g(x). Q(x) + ax + b
Ví duï 1: Tìm dö cuûa pheùp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1
Caùch 1: Ta bieát raèng x2n – 1 chia heát cho x2 – 1 neân ta taùch:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dö 3x + 1
Caùch 2:
Goïi thöông cuûa pheùp chia laø Q(x), dö laø ax + b, Ta coù:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vôùi moïi x
Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân vôùi x = 1, ta coù 4 = a + b (1)
vôùi x = - 1 ta coù - 2 = - a + b (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra a = 3, b =1 neân ta ñöôïc dö laø 3x + 1
Ghi nhôù:
an – bn chia heát cho a – b (a -b)
an + bn ( n leû) chia heát cho a + b (a -b)
Ví duï 2: Tìm dö cuûa caùc pheùp chia
a) x41 chia cho x2 + 1 
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1
Giaûi
a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dö x neân chia cho 
x2 + 1 dö x
b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x 
= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dö 4x
c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 
chia cho x2 + 1 dö – 2x + 7
B. Sô ñoà HORNÔ
1. Sô ñoà
Ñeå tìm keát quaû cuûa pheùp chia f(x) cho x – a 
(a laø haèng soá), ta söû duïng sô ñoà hornô
Neáu ña thöùc bò chia laø a0x3 + a1x2 + a2x + a3, 
ña thöùc chia laø x – a ta ñöôïc thöông laø 
b0x2 + b1x + b2, dö r thì ta coù
Ví duï:
Ña thöùc bò chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ña thöùc chia x – 2
Ta coù sô ñoà
1
- 5
8
- 4
2
1
2. 1 + (- 5) = -3
2.(- 3) + 8 = 2
r = 2. 2 +(- 4) = 0
Vaäy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laø pheùp chia heát
2. AÙp duïng sô ñoà Hornô ñeå tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = a
Giaù trò cuûa f(x) taïi x = a laø soá dö cuûa pheùp chia f(x) cho x – a
1. Ví duï 1:
Tính giaù trò cuûa A = x3 + 3x2 – 4 taïi x = 2010
Ta coù sô ñoà:
1
3
0
-4
a = 2010
1
2010.1+3 = 2013
2010.2013 + 0
= 4046130
 2010.4046130 – 4
= 8132721296
Vaäy: A(2010) = 8132721296
C. Chöngs minh moät ña thöùc chia heát cho moät ña thöùc khaùc
I. Phöông phaùp:
1. Caùch 1: Phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû coù moät thöøa soá laø ña thöùc chia
2. Caùch 2: bieán ñoåi ña thöùc bò chia thaønh moät toång caùc ña thöùc chia heát cho ña thöùc chia
3. Caùch 3: Bieán ñoåi töông ñöông f(x) g(x) f(x) g(x) g(x)
4. caùch 4: Chöùng toû moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia ñeàu laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia
II. Ví duï
1.Ví duï 1:
Chöùng minh raèng: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
Ta coù: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)
Ta laïi coù: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) 
chia heát cho x2n + xn + 1
Vaäy: x8n + x4n + 1 chia heát cho x2n + xn + 1
2. Ví duï 2:
Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1
 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1
Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
3. Ví duï 3: Chöùng minh raèng 
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1
 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia heát cho x10 – 1
Maø x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Suy ra f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
4. Ví duï 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x
Ña thöùc g(x) = x2 – x = x(x – 1) coù 2 nghieäm laø x = 0 vaø x = 1
Ta coù f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x
f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 laø nghieäm cuûa f(x) f(x) chöùa thöøa soá x – 1, maø caùc thöøa soá x vaø x – 1 khoâng coù nhaân töû chung, do ñoù f(x) chia heát cho x(x – 1)
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia heát cho g(x) = x2 – x
5. Ví duï 5: Chöùng minh raèng
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia heát cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)
Giaûi
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)
Ta coù: x2 – x + 1 chia heát cho B = x2 – x + 1
 x9 + 1 chia heát cho x3 + 1 neân chia heát cho B = x2 – x + 1
 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + 1 (cuøng coù nghieäm laø x = - 1) 
neân chia heát cho B = x2 – x + 1
Vaäy A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)
 = 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + ...+ 1)
 = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho x – 1 vì coù toång heä soá baèng 0
suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho (x – 1)2
c) Ña thöùc chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) coù ba nghieäm laø x = 0, x = - 1, x = - 
Ta coù:
C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 laø nghieäm cuûa C(x)
C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 laø nghieäm cuûa C(x)
C(- ) = (- + 1)2n – (-)2n – 2.(- ) – 1 = 0 x = - laø nghieäm cuûa C(x)
Moïi nghieäm cuûa ña thöùc chia laø nghieäm cuûa ña thöùc bò chia ñpcm
6. Ví duï 6: 
Cho f(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân. Bieát f(0), f(1) laø caùc soá leû. Chöùng minh raèng f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân
Giaû söû x = a laø nghieäm nguyeân cuûa f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong ñoù Q(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân, do ñoù f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)
Do f(0) laø soá leû neân a laø soá leû, f(1) laø soá leû neân 1 – a laø soá leû, maø 1 – a laø hieäu cuûa 2 soá leû khoâng theå laø soá leû, maâu thuaån
Vaäy f(x) khoâng coù nghieäm nguyeân
Baøi taäp veà nhaø:
Baøi 1: Tìm soá dö khi
a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1
Baøi 2: Tính giaù trò cuûa ña thöùc x4 + 3x3 – 8 taïi x = 2009
Baøi 3: Chöùng minh raèng
a) x50 + x10 + 1 chia heát cho x20 + x10 + 1
b) x10 – 10x + 9 chia heát cho x2 – 2x + 1
c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia heát cho x2 + 2x + 1
d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heát cho x2 + 1
e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia heát cho (x + 1)(x – 1)2
CHUYEÂN ÑEÀ 11 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC HÖÕU TÆ
A. Nhaéc laïi kieán thöùc:
Caùc böôùc ruùt goïn bieåu thöùc höûu tæ
a) Tìm ÑKXÑ: Phaân tích maãu thaønh nhaân töû, cho taát caû caùc nhaân töû khaùc 0
b) Phaân tích töû thaønh nhaân , chia töû vaø maãu cho nhaân töû chung 
B. Baøi taäp:
Baøi 1: Cho bieåu thöùc A = 
a) Ruùt goïn A
b) tìm x ñeå A = 0
c) Tìm giaù trò cuûa A khi 
Giaûi
a)Ñkxñ : 
 x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0
(x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 
Töû : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) 
= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) 
Vôùi x 1; x 3 thì 
A = 
b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2
c) 
* Vôùi x = 4 thì A = 
* Vôùi x = - 3 thì A khoâng xaùc ñònh
2. Baøi 2:
Cho bieåu thöùc B = 
a) Ruùt goïn B
b) Tìm x ñeå B > 0
Giaûi 
a) Phaân tích maãu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) 
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)
Ñkxñ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 
b) Phaân tích töû, ta coù:
 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)
Vôùi x 3 vaø x 
Thì B = = 
c) B > 0 > 0 
3. Baøi 3 
Cho bieåu thöùc C = 
a) Ruùt goïn bieåu thöùc C
b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc B laø soá nguyeân
Giaûi
a) Ñkxñ: x 1
C = 
b) B coù giaù trò nguyeân khi x laø soá nguyeân thì coù giaù trò nguyeân 
 2x – 1 laø Ö(2) 
Ñoái chieáu Ñkxñ thì chæ coù x = 0 thoaû maõn
4. Baøi 4
Cho bieåu thöùc D = 
a) Ruùt goïn bieåu thöùc D
b) Tìm x nguyeân ñeå D coù giaù trò nguyeân
c) Tìm giaù trò cuûa D khi x = 6
Giaûi
a) Neáu x + 2 > 0 thì = x + 2 neân 
D = = 
Neáu x + 2 < 0 thì = - (x + 2) neân
D = = 
Neáu x + 2 = 0 x = -2 thì bieåu thöùc D khoâng xaùc ñònh
b) Ñeå D coù giaù trò nguyeân thì hoaëc coù giaù trò nguyeân
+) coù giaù trò nguyeân 
Vì x(x – 1) laø tích cuûa hai soá nguyeân lieân tieáp neân chia heát cho 2 vôùi moïi x > - 2
+) coù giaù trò nguyeân 
c) Khia x = 6 x > - 2 neân D = = 
Baøi taäp veà nhaø
Baøi 1:
Cho bieåu thöùc A = 
a) Ruùt goïn A
b) Tìm x ñeå A = 0; A > 0
Baøi 2:
Cho bieåu thöùc B = 
a) Ruùt goïn B
b) Tìm soá nguyeân y ñeå coù giaù trò nguyeân
c) Tìm soá nguyeân y ñeå B 1
CHUYEÂN ÑEÀ 12 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ BIEÅU THÖÙC (TIEÁP)
* Daïng 2: Caùc bieåu thöùc coù tính quy luaät
Baøi 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc
a) A = 
Phöông phaùp: Xuaát phaùt töø haïng töû cuoái ñeå tìm ra quy luaät
Ta coù = Neân
A = 
b) B = 
Ta coù Neân
B = 
c) C = = 
 = 50.
d) D = = 
 = 
Baøi 2: 
a) Cho A = ; B = . Tính 
Ta coù
A = 
 = = n
b) A = ; B = 1 + 
Tính A : B
Giaûi
A = 
Baøi taäp veà nhaø
Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau:
a) b) 
c) 
* Daïng 3: Ruùt goïn; tính giaù trò bieåu thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán
Baøi 1: Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lêi gi¶i
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) Þ D = 7.18 – 3 = 123.
Baøi 2: Cho (1); (2). 
 Tính giaù trò bieåu thöùc D = 
Töø (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3)
Töø (2) suy ra 
 (4)
Thay (3) vaøo (4) ta coù D = 4 – 2.0 = 4
Baøi 3
a) Cho abc = 2; ruùt goïn bieåu thöùc A = 
Ta coù : 
A = 
 = 
b) Cho a + b + c = 0; ruùt goïn bieåu thöùc B = 
Töø a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc
Töông töï ta coù: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoaùn vò voøng quanh), neân
B = (1)
a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc 
 a3 + b3 + c3 = 3abc (2)
Thay (2) vaøo (1) ta coù B = (Vì abc 0)
c) Cho a, b, c töøng ñoâi moät khaùc nhau thoaû maõn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Ruùt goïn bieåu thöùc C = 
Töø (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0
 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c)
Töông töï: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)
C = 
 = 
* Daïng 4: Chöùng minh ñaúng thöùc thoaû maõn ñieàu kieän cuûa bieán
1. Baøi 1: Cho (1); (2).
Chöùng minh raèng: a + b + c = abc 
Töø (1) suy ra 
 a + b + c = abc
2. Baøi 2: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn . 
Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. 
Tõ ®ã suy ra r»ng :.
 Ta cã : Û Û 
Tõ ®ã suy ra : 
 Þ .
3. Baøi 3: Cho (1)
chöùng minh raèng : trong ba soá a, b, c toàn taïi hai soá baèng nhau
Töø (1) 
 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 ñpcm
4. Baøi 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc 0 vaø a b
 Chöùng minh raèng: 
Töø GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2
 (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b)
 (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c) 
5. Baøi 5: Cho a + b + c = x + y + z = ; Chöùng minh raèng: ax2 + by2 + cz2 = 0
Töø x + y + z = 0 x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2
 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = …
 = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1)
Töø a + b + c = 0 - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2)
Töø ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vaøo (1); ta coù: 
ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ax2 + by2 + cz2 = 0
6. Baøi 6: Cho ; chöùng minh: 
Töø 
 (1) (Nhaân hai veá vôùi )
Töông töï, ta coù: (2) ; (3)
Coäng töøng veá (1), (2) vaø (3) ta coù ñpcm
7. Baøi 7: 
Cho a + b + c = 0; chöùng minh: = 9 (1)
Ñaët 
(1) 
Ta coù: (2)
Ta laïi coù: 
= (3)
Töông töï, ta coù: (4) ; (5)
Thay (3), (4) vaø (5) vaøo (2) ta coù: 
 + = 3 + (a3 + b3 + c3 ) (6)
Töø a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ?
Thay (7) vaøo (6) ta coù: + . 3abc = 3 + 6 = 9
Baøi taäp veà nhaø:
1) cho ; tính giaù trò bieåu thöùc A = 
HD: A = ; vaän duïng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giaù trò bieåu thöùc A = 
3) Cho x + y + z = 0; chöùng minh raèng: 
4) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; . Chöùng minh xy + yz + xz = 0
CHUYEÂN ÑEÀ 13 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
A. Kieán thöùc:
* Tam giaùc ñoàng daïng:
a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c)
ABC A’B’C’ 
b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c)
ABC A’B’C’ ; 
c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g)
ABC A’B’C’ ; 
AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: = k (Tæ soá ñoàng daïng); = K2
B. Baøi taäp aùp duïng
Baøi 1:
Cho ABC coù, AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC
b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì moãi caïnh laø bao nhieâu?
Giaûi
Caùch 1:
Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) 
 = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Caùch 2:
Veõ tia phaân giaùc BE cuûa ABE ACB
= 8(8 + 10) = 144
 AC = 12 cm
b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1)
Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2
+ Neáu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loaïi)
+ Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4
- Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi)
- Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi)
- vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5
Vaäy a = 4; b = 5; c = 6
Baøi 2:
Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD 
bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giaûi
Ta coù CD = 4 cm vaø BC = 5 cm
Baøi toaùn trôû veà baøi 1 
Baøi 3:
Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy ñieåm E treân AC sao cho . Chöùng minh raèng
a) DBOOCE
b) DOE DBOOCE
c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED
d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB
Giaûi
a) Töø vaø (gt) DBOOCE
b) Töø caâu a suy ra (1)
 Vì B, O ,C thaúng haøng neân (2)
trong tam giaùc EOC thì (3)
Töø (1), (2), (3) suy ra 
DOE vaø DBO coù (Do DBOOCE) 
vaø (Do OC = OB) vaø 
neân DOE DBOOCE
c) Töø caâu b suy ra DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE
Cuûng töø caâu b suy ra EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED
c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB
Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008)
Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao cho 
a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi
b)Chöùng minh DM la