Chương trình ôn thi Đại học 2010 theo Chuyên đề (7 Chuyên đề) - Nguyễn Văn Chính

m điều kiện của tham số để: 
a. Hàm số có cực trị ( Thường hỏi cho hàm số bậc 3 hoặc hàm bậc 2 trên bậc nhất) 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình f’(x)=0 có hai nghiệm phân biệt. 
b. Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 
* Cách 1: ĐK cần: Hàm số đạt cực trị tại x0 suy ra f’(x0)=0. Từ đó tìm được m. 
ĐK đủ: Thay m vào hàm số, kiểm tra được hàm số có cực trị hay không. 
=>Kết luận. 
* Cách 2: 
+ Hàm số đạt cực trị tại x0 0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
   
. 
+ Hàm số đạt cực đại tại x0 0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
   
. 
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x0 0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
   
. 
c. Hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện nào đó. 
Dạng 3: Viết phương trình đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 
( Thường hỏi cho hàm số bậc 3 và hàm số bậc 2 trên bậc nhất) 
Hoặc chứng minh điểm cực trị nằm trên một đường thẳng cố định nào đó. 
* Chú ý: 
1. Cho hàm số đa thức y=f(x). Ta có: ( ) ( ). ( ) ( )f x f x h x r x  . Do đó yCtrị=r(xCtrị). 
2. Cho hàm số ( )
( )
u x
y
v x
 có cực trị tại x0. Khi đó yCtrị= 0
0
( )
( )
u x
v x


. 
C- Kiến thức bổ trợ: Giải biện luận phương trình bậc hai. 
D- Hệ thống bài tập. 
* Dạng 1: Tìm điểm cực trị, cực trị của các hàm số sau (Dùng qui tắc I và qui tắc II). 
Bài 1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau (Dùng dấu hiệu I) 
3 2 4 2
2
3 2
1
. 2 3 36 10; b. 2 3; c. ;
2 3
d. ; e. ; g. (1 )
1
x
a y x x x y x x y x
x
x x
y y xe y x x
x

        
 
   

Bài 2. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau (Dùng dấu hiệu II) 
4 2 2a. 2 1; b. sin 2 ; c. ; d. sin 2 os2x; e. ln
2
x xe e
y x x y x x y y x c y x x

         * Dạng 2: 
Bài 1. Cho hàm số 3 (2 1) 1y x m x    
a. Tìm m để hàm số có cực trị. 
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=-1. 
c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1. 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
12 
Bài 2. Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) ( 1)y x mx m x m      
a. Tìm m để hàm số có cực trị tại x=1. 
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1. 
Bài 3. Tìm m để hàm số 
2 1x mx
y
x m
 


 đạt cực đại tại x=2. (SGK) 
Bài 4. Tìm a để hàm số 22 1y x a x    đạt cực tiểu. 
Bài 5. Chứng minh hàm số 
2
2
2
2
x x m
y
x
 


 luôn có một cực đại và một cực tiểu. 
Bài 6. Tìm a và b để các cực trị của hàm số 2 3 25 2 9
3
y a x ax x b    là những số dương và 0
5
9
x   
là điểm cực đại. 
Bài 7. Cho hàm số 
2
1
x x m
y
x
 


. 
a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
b. Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu. 
Bài 8. Cho hàm số 3 26 3( 2) 6y x x m x m      
a. Tìm m để hàm số có cực trị. 
b. Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu. 
Bài 9. Cho hàm số 3 23 (2 1) 3y mx mx m x m      có đồ thị là (C) 
a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
b. Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Chứn tỏ rằng 
đường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 10. Cho hàm số 3 23 ( 1) 1y mx mx m x     . Tìm m để hàm số không có cực trị. 
Bài 11. Cho 1y mx
x
  đồ thị (Cm). Tìm m để hàm số có cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu 
đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 
1
2
. 
Bài 12. Cho hàm số 
2 2 2
1
x mx
y
x
 


. Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và khoảng 
cách tự hai diểm đó đến đường thẳng (d): x+y+2=0 bằng nhau. 
Bài 13. Cho hàm số 3 2 23y x x m x m    . Tìm m đê hàm số có cực đại, cực tiểu và điểm cực đại 
và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): 1 5
2 2
x  . 
Bài 14. Cho hàm số 3 21 1
3
y x mx x m     . Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 
Tìm m sao cho khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là nhỏ nhất. 
Bài 15. Cho hàm số 
2 3
2
x kx k
y
x
 


. Tìm k để hàm số có cực đại , cực tiểu ( giả sử điểm cực đại và 
cực tiểu của đồ thị hàm số là M và N) sao cho M,N,O thẳng hàng. Trong đó O là gốc toạ độ. 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
13 
Bài 16. Cho hàm số ( )( )( )y x a x b x c    với a<b<c. Chứng tỏ rằng hàm số luôn có cực trị. 
Bài 17. Cho hàm số 
2 2 22 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
   


. Xác định m để hàm số có một cực trị thuộc 
góc phần tư thứ hai và điểm cực trị kia thuộc góc phần tư thứ tư. 
* HD: Xem bảng tổng kết khảo sát hàm số dạng B2/B1 ta có điều kiện 
C CT
. 0
PT 0 pb
y . 0
a a
y
y
 
  
 
0
D
c hai n 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
14 
Bài 3. Khảo sát hàm số đa thức 
A- Lý thuyết 
I. Tính lồi, lõm và điểm uốn. 
1. Định nghĩa: (SGK) 
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn 
Dấu hiệu lồi, lõm Dấu hiệu điểm uốn 
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 
2 trên khoảng (a;b). 
+ Nếu 0, ( ; )y x a b    thì đồ thị 
lồi trên khoảng (a;b) 
+ Nếu 0, ( ; )y x a b    thì đồ thị 
lõm trên khoảng (a;b) 
Cho hàm số y=f(x) liên tục trong một 
lân cận của điểm x0, có đạo hàm đến 
cấp 2 trong lân cận đó. Nếu y” đổi dấu 
khi qua x0 thì điểm M(x0;y0) là điểm 
uốn của đồ thị hàm số. 
* Phương pháp tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn: 
Bước 1: Tìm tập xác định 
Bước 2: Tính y’, y”. 
Bước 3: Lập bảng xét dấu y” 
Bước 4: Kết luận. 
II. Sơ đồ khảo sát hàm số đa thức: 
(I) Tìm tập xác định ( xét tính chẵn, lẻ nếu cần) 
(II) Sự biến thiên: 
1. Chiều biến thiên. 
2. Cực trị. 
3. Các giới hạn của hàm số. 
4. Khoảng lồi, lõm và điểm uốn. 
5. Bảng biến thiên. 
(III) Đồ thị: 
1. Tìm giao của đồ thị với trục Ox, Oy 
2. Lấy vài điểm nếu cần. 
3. Nêu đặc điểm của đồ thị. 
4. Vẽ đồ thị 
B- Phân dạng bài tập: 
Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc ba (Bao gồm cả vẽ đồ thị) 
Dạng 2: Khảo sát hàm số trùng phương 
C. Kiến thức bổ trợ: Bài 1+Bài 2+ Bảng tóm tắt khảo sát hàm số bậc ba và hàm số trùng 
phương. 
D- Hệ thống bài tập (SGK) 
Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc ba. 
* Khảo sát các hàm số sau: 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
15 
(1) 3 3 1y x x   ; (2) 3y x x   ; (3) 3 22 3 1y x x   ; (4) 3 21 2 3
3
y x x x    
(5) 3 2 1y x x x     . 
* Từ bảng tóm tắt khảo sát hàm số bậc ba ta suy ra: 
(1) Hàm số luôn có điểm uốn và đồ thị hàm số luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xúng của đồ thị. 
Khi phương trình y’=0 có nghiệm kép thì tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với trục hoành. 
(2) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt. 
(3) Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ 
nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba 
0 1 2
CD
0
0 co hai n : 0
y . 0CT
a
y x x
y

     
 
. 
(4) Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai 
còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư 
0 1 2
CD
0
0 co hai n : 0
y . 0CT
a
y x x
y

     
 
. 
(5) Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ 
nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ hai 
0 1 2
CD
CD
0 co hai n : 0
y 0
y . 0
CT
CT
y x x
y
y
   

  
 
. 
(6) Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ ba 
còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư 
0 1 2
CD
CD
0 co hai n : 0
y 0
y . 0
CT
CT
y x x
y
y
   

  
 
. 
(7) Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai 
còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba 
0 1 2
CD
0 co hai n : 0
y . 0CT
y x x
y
   
 

. 
(8) Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị nằm ở góc phần tư thứ 
nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư 
0 1 2
CD
0 co hai n : 0
y . 0CT
y x x
y
   
 

. 
Dạng 2: Khảo sát hàm số trùng phương 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
16 
* Khảo sát các hàm số sau: 
(1) 4 22 1y x x   ; (2) 4 22 1y x x    ; (3) 
4
2 3
2 2
x
y x   ; (4) 2 42y x x  
* Từ bảng tốm tắt khảo sát hàm số trùng phương ta suy ra: 
4 2 ( 0)y ax bx c a    
(1) Phương trình y’=0 chỉ xảy ra hai trường hợp: có một nghiệm x=0 hoặc ba nghiệm phân biệt. 
Do đó nó luôn có cực trị. 
(2) Hàm số là hàm số chẵn nên luôn nhận trục Oy là trục đối xứng. 
(3) Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi a và b trái dấu. 
(4) Hàm số có một cực trị nếu b=0 hoặc a, b cùng dấu. 
E- Hướng dẫn và đáp số ( Dùng phần mềm Maple để kiểm tra kết quả)
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
17 
Tâm đối xứng- Trục đối xứng của đồ thị 
I/ Lý thuyết cơ bản : 
 1) Hàm số y=f(x) Txđ : D là hàm lẻ 
,
( ) ( )
x D x D
f x f x
   
 
  
 2) Hàm số y=f(x) Txđ : D là hàm chẵn 
,
( ) ( )
x D x D
f x f x
   
 
 
 3) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc o làm tâm đối xứng, Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm 
 trục đối xứng. 
 4) Đổi hệ trục toạ độ bằng phép tịnh tiến theo véc tơ OI

 với I( xo;yo) 
II/ Bài tập : 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
18 
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG ( PHẦN 1: TAM THỨC) 
1. Tam thức bậc hai : 
 1.1 Khái niệm về tam thức bậc hai : 
Biểu thức 2( ) ,(a 0)f x ax bx c    được gọi là tam thức bậc hai , ẩn x 
 Định lý về dấu tam thức bậc hai : 
 xét tam thức bậc hai 2( ) ,(a 0)f x ax bx c    
i) Nếu 0  thì af ( ) 0, xx    
ii) Nếu 0  thì af ( ) 0, xx    dấu đẳng thức xẩy ra khi và chi khi -
2
b
x
a
 . 
iii) Nếu 0  thì 1 2. ( ) ( )( )a f x a x x x x   với 
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
  
 trong trường hợp này 
. ( ) 0a f x  khi 1 2( , )x x x v à . ( ) 0a f x  khi xx2 . 
 Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai: cho tam th ức b ậc hai 2( ) ,(a 0)f x ax bx c    điều kiện cần và 
đủ để tồn tại số  sao cho . ( ) 0a f   là 0  và 1 2x x  trong đó 1 2,x x là các nghiệm của f(x) 
 Áp dụng : 
Bài toán 1.1 ( Bất đẳng thức cauchy) với mọi bộ số (xi) , (yi) ta luôn có bất đẳng thức sau 
2 2 2
1 1 1
( ) ( )( ) (1.1)
n n n
i i i i
i i i
x y x y
  
   dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2
1 2
... n
n
bb b
a a a
   
Bài toán 1.2 Chứng minh rằng 2 24 13 12 4 2 0 ; x,yx y xy y       (1.3) 
Bài toán 1.3 Cho các số a,b,c,d,p,q thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2 0 p q a b c d      Chứng 
minh rằng : 
2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )p a b q c d pq ac bd       
Bài toán 1.4 Cho tam giác ABC bất kỳ . Chứng minh rằng với mọi x ta đều có : 
2
1 cos (cos cos ).
2
x
A x B C    
2. Tam thức Bậc  và tam thức bậc ( , )  : 
2.1 Định nghĩa : 
 i) Biểu thức có dạng ( ) ( >1,a 0)f x ax bx c     được gọi là tam thức bậc  . 
 ii) Biểu thức có dạng ( ) ( > 0, 0, 0)f x ax bx c a b         được gọi là tam thức bậc ( , )  . 
2.2 Một số bất đăng thức liên quan : 
Ta xuất phát từ bất đẳng thức cauchy dạng đơn giản 
 2 1 2 , t , t t    dấu đẳng thức xẩy ra khi t = 1 (1.4) 
Bây giờ ta có các mở rộng sau: 
 i) Xét Bất đẳng thức sau với dấu bằng xẩy ra khi t = 1 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
19 
 ? ,t t t      bằng cách thay t = 1 ta dễ ràng tìm được ?= 1  từ đó ta có bất đẳng thức 
Bernoulli nổi tiếng 
 1 ,t t t        dấu bằng xẩy ra khi t = 1 (1.5) 
Sử dụng đạo hàm ta chứng minh bất đẳng thức này dễ ràng : 
 Thật vậy : Xét hàm số ( ) 1 ,f x t t t         
 Ta có f(1) = 0 và 1 1'( ) ( 1)f t t t        . Suy ra f’(t) = 0 khi và chỉ khi t =1 và 
t=1 là cực tiểu duy nhất của f(x) trên  nên ( ) (1) 0f x f  . từ đó bất đẳng thức (1.5) được 
chứng minh. 
 ii) với tam thức bậc ( , )  ta mở rộng bất đẳng thức (1.4) khi thay luỹ thừa 2 bởi 
v lu th 1 b µ ü a ëi   . 
Thật vậy , ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng : 
 t t t(?) (??) ,       (1.6) 
Sao cho dấu đẳng thức xẩy ra khi t = 1 
Sử dụng phép đổi biến t x Ta aă v̉ vµ , c thÓ ®­ (1.6) d¹ng    

: 
x tx (?) (??) , (1.7)     so sanh với (1.5) 
Ta dễ thấy cần chọn 1 n 1 x t(?) vµ (??) = . vËy nª : x ,            
Hay t 1 t , t       
 
 , dấu đẳng thức xẩy ra khi t = 1 (1.7) 
Trong đó 0      
iii) Bây giờ ta mở rộng bất đẳng thức Bernoulli trong trường hợp dấu đẳng thức xẩy ra khi 
0t t : Giả sử cho 0t >0 và cặp số ( , )  thoả mãn điều kiện 0    khi đó ta phát triển 
bất đẳng thức (1.5) để dấu đẳng thức xẩy ra tại 0t t >0 tức là 
0
t
t
= 1 ta thay t bởi 
0
t
t
 vào 
bất đẳng thức Bernoulli (1.5) Ta thu được bất đẳng thức mới 
1
0 0 0t t t t t( ) , t> 0, >1
        , dấu đẳng thức xẩy ra khi 0t t (1.8) 
 Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Bernoulli suy rộng ta có thể áp dụng tìm bài toán cực trị 
tại mọi điểm tuỳ ý . 
iv) Ta tiếp tục mở rộng bất đẳng thức (1.7) cho trường hợp dấu đẳng thức xẩy ra khi 0t t ta 
được bất đẳng thức mới sau đây : 
0 0 0t t t t t( )
      

 trong đó 0t >0 và cặp số ( , )  thoả mãn điều kiện 0    
2.3 Một số áp dụng : 
 Bài toán 2.1 Cho bộ số dương a,b,c , ,  với 0    
chứng minh rằng : 
a b c a b c
b c a b c a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          (1.10) 
Giải 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
20 
 Ta sử dụng bất đẳng thức (1.7) ta có 
a a
1
b b
b b
1
c c
c c
1
a a
a b c
1 1
b c a
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) 3( )
 
 
 
  
 
    
 
    

    
  

           
(1.9) 
Cộng các vế tương ứng của bất đẳng thức (1.9) ta thu được : 
a b c a b c
b c a b c a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          dấu đẳng thức xẩy ra khi a=b=c. 
Nhận xét : lời giải bài toán 2.1 cho ta cách giải lớp các bài về chứng minh bất đẳng thức dạng 
(1.10) khi ta thay đổi ,  thoả mãn điều kiện 0    
Chẳng hạn ta giải một bai toán tam thức bậc (3,2) sau đây. 
Bài toán 2.2 Cho bộ số dương a,b,c chứng minh rằng : 3 3 3 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     (1.11) 
Nhận xét 2: Bây giờ ta mở rộng bất đẳng thức (1.10) để giải lớp bài toán dạng này, ta xét bài 
toán 2.3 sau đây. 
Bài toán 2.3 Cho bộ số không âm 1 2 3 ka a a a
*, , , .... vµ k,n và thoả mãn điều kiện 
1 2 3 ka a a a... k      chứng minh rằng : 
n 1 n 1 n 1 n n n
1 2 k 1 2 ka a a a a a... ... 
         (1.13) Bất đẳng 
thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi 1 2 3 ka a a a... 1      
Nhận xét 3: Ta áp dụng Bất đẳng thức (1.13) ta giải được một số bài toán về bất đẳng thức 
sau: 
Bài áp dụng 1 (Đề thi đại học Quốc gia khối A năm 2000) Với a,b,c là ba số thực bất kỳ thoả 
mãn điều kiện a+b+c = 0 . Chứng minh rằng : a b c a b c8 8 8 2 2 2     . 
Bài áp dụng 2 Cho các số nguyên dương k,n và các số thực khác 0 1 2 3 nx x x x, , , .... Chứng minh 
rằng 
 2k 2k 2k1 2 n 1 2 n
2 3 1 2 3 1
x x x x x x
x x x x x x
( ) ( ) ..... ( ) ....       
Bài áp dụng 3 X ác định tất cả các tam giác ABC sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : 
2012 2012 2012
2010 2010 2010
c A c B c C
M
c A c B c C
os os os
 = 
os os os
 
 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
21 
GỢI Ý : Áp dụng bất đẳng thức quen biết 2 2 2
3
c A c B c C
4
os os os    , dấu đẳng thức xẩy ra khi và 
chỉ khi tam giác ABC đều . Từ bất đẳng thức ta có 
2 2 22c A 2 B 2 C 3( os ) ( cos ) ( cos )    
Bài tập : 
1) cho a,b,c >0 Chứng minh rằng : 3 3 3
a b c a b c
b khi a b c
b c a b c a
( ) ( ) ( ) , dÊu »ng .       
2) (ĐH quốc gia B 1995) cho a,b >0 Chứng minh rằng : 
3
3
3 3
1 a a 1
b b b khi n
a b b a
, dÊu »ng µo.     
3) 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
22 
PHẦN II: Độ đều và độ gần đều trong BĐT GM-GM và cauchy 
1) Bất đẳng thức: 
i) Bất đẳng thức AM-GM: Arithetic meam – Geometrie meam. 
ia 0
i 1 2 n
, , ...,
 


ta luôn có BĐT: n1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 na a a a n a a a a a a a a.... ... dÊu" " khi ...          
ii) ( Bất đẳng thức cauchy) với mọi bộ số (xi) , (yi) ta luôn có bất đẳng thức sau 
2 2 2
1 1 1
( ) ( )( ) (1.1)
n n n
i i i i
i i i
x y x y
  
   dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2
1 2
... n
n
bb b
a a a
   
 2) Một số ví dụ: 
Trước hết ta xét bài toán sau để hiểu thế nào là độ gần đều và đều: 
Bài toán 1 : Cho 
a b c
a b c 100
*, , 

  

 Tìm Max, min của M= abc 
Phân tích: Max M ( khi nào ba người gần nhau nhất) 
 Min M (khi nào ba người xa nhau nhất) 
Trong ba số có một số max, một số min, một số med a b c  
+) Độ gần đều = Max(a,b,c)- min(a,b,c) >= 0 
+) Độ gần đều = 0 thì a=b=c ta nói độ đều. 
+) Độ gần đều đẹp nhất = 1 đoán (34,33,33) cần nắn thành đều (33a)=(34b)=(34c) 
Giải :i)Tìm Max: 
 Không mất tính tổng quát gọi a = Max(a,b,c), c = min(a,b,c) khi đó ta có 
 a b c 1   do đó: 3a a b c 100 sinh ra a 34     
Áp dụng BĐT AM-GM ta được: 
3
2 3 3 2
33a 34b 34c 34 100 a 34 100 34
33a 34b 34c 33 34
3 3 3
suy ra M 33 34 33 34
. .
( )( )( ) .
 33.34 . . M .
   
   
  
Vậy max M = 233 34. đặt được khi a=34, b=c= 33. 
ii) tìm min 
 Phân tích : lớn nhất = Max(a,b,c)- min(a,b,c) >= 0 vậy a h trong giíi ¹n a=98, b=c=1  
 Giải : Không mất tính tổng quát gọi a = Max(a,b,c), c = min(a,b,c) khi đó ta có 
 a b c 1   do đó: 3a a b c 100 sinh ra a 34     
nếu c>1 thì c 2 v b 2 µ suy ra M 34.2.2>98   
Nếu c=1 thì a+b =99 suy ra 2a a b 99 a 50     
N
N a 98 ta
u b 2 th× M=abc 50.2.1=100>98
u b=1 th× ®­îc M = 98.1.1=98
 

Vậy min M = 98 đặt được khi a=98,b=c=1. 
Kỹ thuật áp dụngvới BĐT AM-GM: 
 Bài toán 2 Cho a 2 CMR 
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
23 
 2
2
1 5 1 1
ii
a 2 a a
i) a+ ) a+ a + ?   
 Bài toán 3 Cho 
a b 0
a b 1
, 

 
 tìm GTNN của 
2 2
1 1
M
a b ab
 

 Bài toán 4 cho a,b,c,d > 0 T×m Min S = )
3
2
1)(
3
2
1)(
3
2
1)(
3
2
1(
a
d
d
c
c
b
b
a
 
 Bài toán 5 cho a,b,c > 0 vµ a+b+c 1 T×m Min S=
cabcaba
c
c
b
b
a 111222
 
Bài toán 6 cho 





8,12
0,,
bcab
cba
CMR: 
12
1218
)
111
(2)( 
abccabcab
cba 
 Bài toán 7 cho 





2
0,,,
dcba
dcba
t×m Min F= )1)(1)(1)(1(
a
d
d
c
c
b
b
a  
Bài toán 8 x,y,z >o vµ 1 zyx CMR 82111 2
2
2
2
2
2 
z
z
y
y
x
x 
 Khèi A 2003 
Bài toán 9 x,y,z >o vµ 4111 
zyx
 CMR 1
2
1
2
1
2
1





 zyxzyxzyx
 Khèi B 2005 
Bài toán 10 cho xyyxxyyxyx  22)(;0, t×m Max A= 33
11
yx
 Khèi A 2006 
Bài toán 11 cho x,y,z > 0 tháa m·n: 1 zyx CMR : 12
3
2
3
2
3

x
z
z
y
y
x 
 Trung cÊp Y - B¾c Giang 2004 
Bài toán 12 CMR mäi x,y,z > 0 th× 
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
 3
3
3
3
3
3
 §HQG 01 
Bài toán 13 CMR víi mäi sè thùc a,b,c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b+c = 1 th× 
 )
333
(3
3
1
3
1
3
1
aaacba
cba
 Häc viÖn BCVT 2001 
Bài toán 14 cho x,y,z > 0 CMR 
222232323
111222
zyxxz
z
zy
y
yx
x






 §H N«ng nghiÖp 1 - 2001 
Bài toán 15 x,y lµ c¸c sè thay ®æi vµ tháa m·n x>0,y>0 vµ x+y =1 
T×m GTNN A = 
xyyx
11
33 
Bài toán 16 T×m GTNN A = 
yx
z
xz
y
zy
x





333





6
0,,
zyx
zyx
nguyenvanchinhyd@yahoo.com.vn _ ch­¬ng tr×nh «n thi ®¹i häc 2010 
24 
Kỹ thuật áp dụng với BĐT cauchy ( Bunhiacôpsiky cũ) 
 Bài toán 17 Cho 2 2 2
2 2 2
1 1 1
Q x y z
x y z
       
 Trong đó : 
x y z 0
3
x y z
2
, , 


  
 Chứng minh rằng 5 3Q
2
 
 Bài toán 18 Cho
x y z 0
x y z 2
, , 

  
 tìm min 2 2 2
2 2 2
1 1 1
Q 4x 4y 4z
x y z
       
 Kq: 145
2
 Bài toán 19 Cho
a b c 0
3
ab bc ca abc
, ,
 CMR : Min Q= 


  
 Trong đó: 
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c
Q
ab bc ca
