Các dạng toán và phương pháp giải toán Đại số 6 - Nguyễn Chí Thành

hương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24.
Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52.
+ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc ap hoặc bp. 
Đặc biệt nếu an p thì ap
+ Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vợt quá nó.
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 
+ Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị
+ Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’.
 Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
Dạng 1: Nhận biết số nguyên tố, hợp số
Phương pháp giải
Căn cứ vào định nghĩa số nguyên tố và hợp số.
Căn cứ vào các dấu hiệu chia hết.
Có thể dùng bảng số nguyên tố ở cuối Sgk để xác định một số (nhỏ hơn 1000) là số nguyên tố hay không.
Dạng 2: Viết số nguyên tố hoặc hợp số từ những số cho trước
Phương pháp giải
Dùng các dấu hiệu chia hết
Dùng bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000.
Dạng 3: Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số.
Phương pháp giải
Để chứng minh một số là số nguyên tố, ta chứng minh số đó không có ước nào khác 1 và chính nó.
Để chững minh một số là hợp số, ta chỉ ra rằng tồn tại một ước của nó khác 1 và khác chính nó. Nói cách khác, ta chứng minh số đó có nhiều hơn hai ước.
VD: Cho m2 +2 và m là hai số nguyên tố, chứng minh m3+2 cũng là số nguyên tố
HD: m=2 (loại), m=3 (tm), m=3k+1 loại, m=3k+2 loại, KL: m=3
VD: cho p và 8p2+1 là số nguyên tố .CMR 8p2-1 cũng là số nguyên tố.
Dạng 4: Số các ước số và tổng các ước số của một số:
Dạng 5: Chứng minh số nguyên tố cùng nhau, chứng minh phân số tối giản: 
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
	Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1.
	Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1.
	Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1.
VD:
BÀI TẬP:
Bài 1: Chứng minh các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau:
2n+1 và 3n+1
7n+10 và 5n+7
2n+3 và 4n+8
Bài 2: Chứng minh phân số sau tối giản:
a. (n+1)/(2n+3) b. (3n+2)/(5n+3)
Dạng 6 : Tìm n để a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau, để phân số tối giản.
Gọi ước chung của a và b là d. rồi tìm d
Để (a,b)=1 thì d=1. Suy ra điều kiện n
Ví dụ: Tìm n để 3n+4 và 9n+24 là hai số NTCN.
Gọi ƯC(3n+4, 9n+24)=d. suy ra 12 chia hết cho d. Để (3n+4, 9n+24)=1 thì d không chia hết cho 2, 3. Mà d luôn không chia hết cho 3 (vì 3n+4) nên để d không chia hết cho 2 thì n là số lẻ.
Ví dụ: Tìm n để phân số sau tối giản:
(n+13)/(n-2)
Giải: gọi ƯC(n+13;n-2)=d. Suy ra 15 chia hết d hay d=3,5. Ta có d không chia hết cho 3 khi n-2 không chia hết cho 3. Suy ra n≠3k+2.
d không chia hết cho 5 khi n≠5k+2
Bài 1: Tìm n để hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau:
9n+24 và 3n+4
4n+3 và 2n+3
7n+13 và 2n+4
18n+3 và 21n+7
Bài 2: Tìm n để phân số sau tối giản:
(n+3)/(n-2)
(2n+3)/(4n+1)
(3n+2)/(7n+1)
(2n+7)/(5n+2)
BÀI TẬP:
Bài 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.
HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.
Bài 2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
HD: Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.
Bài 3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD: Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố.
Bài 4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
HD: Giả sử p là số nguyên tố.
Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.
Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
+) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số.
+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó 
p + 4 là hợp số.
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Bài 5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 3 và p + 8 > 3. Do đó p + 8 là hợp số.
Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số.
Bài 6: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1.
HD: Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số d: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3
 với k N*.
Nếu n = 4k n4 n là hợp số.
Nếu n = 4k + 2 n2 n là hợp số.
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*.
Bài 7: Tìm ssố nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
HD: Giả sử a,b,c,d,e là các số nguyên tố và d>e. Theo bài ra a=b+c=d-e *. Suy ra a>2 hay a là số nguyên tố lẻ nên b+c và d-e là số lẻ. 
Do b,d là hai số nguyên tố nên b,d là số lẻ. Suy ra c,e là số chẵn => c=e=2 => a=b+2=d-2
Suy ra d=b+4. Vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b+2 và b+4 là SNT
Bài 8:Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
HD: 
Bài 9: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 16.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó 
p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). 
Do p là số nguyên tố và p > 3 p lẻ k lẻ k + 1 chẵn k + 12 (2)
Từ (1) và (2) p + 16.
Bài 10: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
p + 2 và p + 10.
p + 10 và p + 20.
p + 10 và p + 14.
Bài 11: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
Bài 12:
Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số.
Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số.
Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số.
Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số.
Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số.
Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số.
Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số.
Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số.
Bài 13: Chứng minh rằng:
Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2 24.
Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6.
Bài 14: 
Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r là hợp số. Tìm số d r.
Một số nguyên tố chia cho 30 có số d r. Tìm số d r biết rằng r không là số nguyên tố.
Bài 15: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
Bài 16: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.
Bài 17: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 18: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp.
Bài 19: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Bài 20: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố.
Bài 21: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.
Bài 22: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r.
Bài 23: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z.
Bài 24: Tìm số nguyên tố 
Bài 25: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau.
Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: 
x2 – 12y2 = 1.
3x2 + 1 = 19y2.
5x2 – 11y2 = 1.
7x2 – 3y2 = 1.
13x2 – y2 = 3.
x2 = 8y + 1.
Bài 27: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
Bài 28: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố là 
p = 3.
Bài 29: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là một số nguyên tố thì a2 – b2 = a + b.
Bài 30: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc 
6n – 1.
Bài 31: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là một số nguyên tố.
Bài 32: Cho số tự nhiên n2. Gọi p1, p2, ..., pn là những số nguyên tố sao cho 
 pn n + 1. Đặt A = p1.p2 ...pn. Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, ..., A + (n + 1). Không chứa một số nguyên tố nào.
Bài 33: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4...(p – 3)(p – 2) - 1p.
Bài 34: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4...(p – 2)(p – 1) + 1p.
Bài 35: Tìm các ước của 4, 6, 9, 13, 1
Bài 36: Tìm các bội của 1, 7, 9, 13
Bài 37: Chứng tỏ rằng:
a/ Giá trị của biểu thức A = 5 + 52 + 53 +  + 58 là bội của 30.
b/ Giá trị của biểu thức B = 3 + 33 + 35 + 37 + + 329 là bội của 273
Bài 38: Biết số tự nhiên chỉ có 3 ước khác 1. tìm số đó.
Hướng dẫn
 = 111.a = 3.37.a chỉ có 3 ước số khác 1 là 3; 37; 3.37 khia a = 1. 
Vậy số phải tìm là 111
(Nết a 2 thì 3.37.a có nhiều hơn 3 ước số khác 1).
Bài 38: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532
c/ 19. 21. 23 + 21. 25 .27 d/ 15. 19. 37 – 225
Hướng dẫn
a/ Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, nên tổng là hợp số. 
b/ Hiệu lớn hơn 3 và chia hết cho 3, nên hiệu là hợp số.
c/ Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21 nên tổng là hợp số.
d/ Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15 nên hiệu là hợp số.
Bài 39: Chứng tỏ rằng các số sau đây là hợp số:
a/ 297; 39743; 987624 b/ 1111 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1
c/ 8765 397 639 763
Hướng dẫn
a/ Các số trên đều chia hết cho 11
Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ ( số thứ tự được tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ) thì số đó chia hết cho 11. Chẳng hạn 561, 2574,
b/ Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3. Tương tự nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.
c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 là hợp số.
 Bài 40: Chứng minh rằng các tổng sau đây là hợp số
a/ b/ 
c/ 
Hướng dẫn
a/ = a.105 + b.104 + c.103 + a. 102 + b.10 + c + 7
= 100100a + 10010b + 1001c + 7
= 1001(100a + 101b + c) + 7
Vì 1001 7 1001(100a + 101b + c) 7 và 7 7
Do đó 7, vậy là hợp số
b/ = 1001(100a + 101b + c) + 22
 1001 11 1001(100a + 101b + c) 11 và 22 11
Suy ra = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hết cho 11 và >11 nên là hợp số
c/ Tương tự chia hết cho 13 và >13 nên là hợp số
Bài 41: 
a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố b/ Tại sao 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất?
Hướng dẫn
a/ Với k = 0 thì 23.k = 0 không là số nguyên tố
với k = 1 thì 23.k = 23 là số nguyên tố.
Với k>1 thì 23.k 23 và 23.k > 23 nên 23.k là hợp số.
b/ 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, vì nếu có một số chẵn lớn hơn 2 thì số đó chia hết cho 2, nên ước số của nó ngoài 1 và chính nó còn có ước là 2 nên số này là hợp số. 
Bài 42: Tìm một số nguyên tố, biết rằng số liền sau của nó cũng là một số nguyên tố
Hướng dẫn
Ta biết hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn và một số lẻ, muốn cả hai là số nguyên tố thì phải có một số nguyên tố chẵn là số 2. Vậy số nguyên tố phải tìm là 2.
Bài 43. CMR các số sau đây nguyên tố cùng nhau.
Hai số lẻ liên tiếp.
2n + 5 và 3n + 7.
7n +10 và 5n + 7
2n +3 và 4n +8.
Bài 44:
	 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 2005.
Bài 45: 
	Tìm các số nguyên tố p để là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Bài 46: 
	Cho 
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số. b) Số A có là số chính phương không ?
Bài 47: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số ?
	a) 
	b) 
Bài 48: 
	Cho . Chứng minh rằng số là hợp số.
Bài 49: 
	a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: chia 3 dư 1.
	b) Cho p là số nguyên tổ lớn hơn 3. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số ?
Bài 50: 
	Cho và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: và không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 51:
	 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng: p có dạng hoặc với 
b) Biết cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: là hợp số.
Bài 52: 
	Cho và đều là số nguyên tố (p>3). Hỏi p+100 là số nguyên tố hay hợp số ?
Bài 53: Cho với . Với giá trị nào của k thì n:
	a) Là số nguyên tố
	b) Là hợp số
	c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
Bài 54: 
	Chứng minh rằng: nếu 8p-1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.
Bài 55: 
	Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho và đều là số nguyên tố.
Bài 56: 
	Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Bài 57: Tìm số nguyên tố p sao cho 
a) là số nguyên tố.
b) p+8 và p+10 đều là số nguyên tố.
Bài 58: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
	a) . 	 b) . 
	c) d) 
	e) g) 
	h) i) 
Bài 59: Cho . CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7
Bài 60: 
	Tìm số nguyên tố p sao cho đều là số nguyên tố	
Bài 61:
	Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: chia hết cho 24.
Bài 62:
	Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 4p+1 là hợp số.
Bài 63:
	Cho p và 10p+1 là hai số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng: 5p+1 là hợp số.
Bài 64:
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 không thể đồng thời là những số nguyên tố.
Bài 65: 
	Hai số và với n >2 có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được không ? 
Bài 66: 
	Tìm số nguyên tố p để có
	a) p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.
	b) p+2; p+6 và p+8 đều là số nguyên tố.
	c) p+6;p+12; p+24; p+38 đều là số nguyên tố.
	d) p+2; p+4 cũng là số nguyên tố.
Bài 67: 
	Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho 
Bài 68: 
	CMR: +1 là hợp số.
Bài 69: 
	Tìm số nguyên tố p sao cho là số nguyên tố.
Bài 70: 
	CMR: Hai số và không thể đồng thời là số nguyên tố
Bài 71: 
	Tìm số nguyên tố p sao cho và p+1994 cũng là số nguyên tố
Bài 72: Tìm tất cả các số nguyên tố p để cũng là số nguyên tố.
Bài 73: Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2+2012 là số nguyên tố hay hợp số?
(HD: P chia 3 dư 1 hoặc 2 nên P2 chia 3 dư 1 hoặc 4 nên P2+2012 là hợp số)
Bài 74: Cho p,q là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p4-q4 chia hết 240.
HD: p4-q4=p4-1-(q4-1)
Ta CM p4-1= (p-1)(p+1)(p2+1)chia hết 240. Tương tự q4-1
Bài 75:Cho (n,6)=11. Chứng minh (n-1)(n+1) chia hết 24
HD: n=6k-1 hoặc n=6k+1.
PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
Dạng 1: Phân tích các số cho trước ra thừa số nguyên tố
Phương pháp giải:
Thường có hai cách phân tích một số tự nhiên n (n >1) ra thừa số nguyên tố.
 Cách 1 (phân tích theo cột dọc ): Chia số n cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng 1.
	Ví dụ: 90 2
 45 3
15 3 90 =2.32.5
 5 5
	 1
Cách 2 ( Phân tích theo hàng ngang hoặc theo “sơ đồ cây” ):
 	 90 90 90
 2 45 3 30 5 18
 9 5 10 3 9 2
 3 3 2 5 3 3
 90 90
 6 15 9 10 
 2 3 3 5 3 3 2 5
Viết n dưới dạng một tích các thừa số, mỗi thừa số lại viết thành tích cho đến khi các thừa số đều là số nguyên tố. Ví dụ 90 = 9.10 = 32.2.5.
Tất cả các cách phân tích số 90 ra thừa số nguyên tố đều cho cùng một kết quả: 
 90 = 2.32.5.
Dạng 2 : Ứng dụng phân tích một số ra thừa số nguyên tố để tìm các ước của số đó.
Phương pháp giải
Phân tích số cho trước ra thừa số nguyên tố.
Chú ý rằng nếu c = a.b thì a và b là hai ước của c.
 Nhớ lại rằng: a = b.q Û a b Û a B(b) Û b U(a) (a,b,q N, b ¹0)
Dạng 3: Bài đưa về việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Phương pháp giải
 	Phân tích đề bài, đưa về việc tìm ước của một số cho trước bằng cách phân tích số đó ra thừa số nguyên tố.
BÀI TẬP:
Bài 1: Phân tích các số 120, 900, 100000 ra thừa số nguyên tố
ĐS: 120 = 23. 3. 5
900 = 22. 32. 52
100000 = 105 = 22.55
Bài 2. Một số tự nhiên gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng tất cả các ước của nó gấp hai lần số đó. Hãy nêu ra một vài số hoàn chỉnh.
VD : 6 là số hoàn chỉnh vì Ư(6) = {1; 2; 3; 6} và 1 + 2 + 3 + 6 = 12
Tương tự 48, 496 là số hoàn chỉnh.
Bài 3: Học sinh lớp 6A được nhận phần thưởng của nhà trường và mỗi em được nhận phần thưởng như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Nếu gọi x là số HS của lớp 6A thì ta có:
129x và 215x
Hay nói cách khác x là ước của 129 và ước của 215
Ta có 129 = 3. 43; 215 = 5. 43
Ư(129) = {1; 3; 43; 129}
Ư(215) = {1; 5; 43; 215}
Vậy x {1; 43}. Nhưng x không thể bằng 1. Vậy x = 43.
MỘT SỐ CÓ BAO NHIÊU ƯỚC?
VD: - Ta có Ư(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Số 20 có tất cả 6 ước. 
- Phân tích số 20 ra thừa số nguyên tố, ta được 20 = 22. 5 
So sánh tích của (2 + 1). (1 + 1) với 6. Từ đó rút ra nhận xét gì?
Bài 1: a/ Số tự nhiên khi phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng 22 . 33. Hỏi số đó có bao nhiêu ước?
b/ A = p1k. p2l. p3m có bao nhiêu ước?
Hướng dẫn 
a/ Số đó có (2+1).(3+1) = 3. 4 = 12 (ước).
b/ A = p1k. p2l. p3m có (k + 1).(l + 1).(m + 1) ước
Ghi nhớ: Người ta chứng minh được rằng: “Số các ước của một số tự nhiên a bằng một tích mà các thừa số là các số mũ của các thừa số nguyên tố của a cộng thêm 1”
a = pkqmrn
Số phần tử của Ư(a) = (k+1)(m+1)(n+1)
Bài 2: Hãy tìm số phần tử của Ư(252):
ĐS: 18 phần tử.
Bài 3. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601.
Bài 4. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó.
Bài 5. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100
Số A là số nguyên tố hay hợp số?
Số A có phải là số chính phương không?
Bài 6. Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó.
Cách liệt kê: 54 = 2.33
1 3 32 33
1 2 
1 3 32 33 hay 1 3 9 27
2 2.3 2. 32 2.33 	2 6 18 54
Bài 7. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
1.3.5.713 + 20
147.247.347 – 13
Bài 8.Tìm số nguyên tố p sao cho
4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố.
P + 10; p +14 đều là số nguyên tố.
Bài 9. Cho n N*; Chứng minh rằng: là hợp số.
Bài 10. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n2 chia 3 d 1.
 + Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 11. Cho n N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n2 – 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 12. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố, số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 13. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.
Bài 14. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số. 
ƯỚC CHUNG VÀ BỘI CHUNG
Dạng 1: Nhận biết và viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số
Phương pháp giải
Để nhận biết một số là ước chung của hai số, ta kiểm tra xem hai số đó có chia hết cho số này hay không.
Để viết tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số, ta viết tập hợp các ước của mỗi số rồi tìm giao của các tập hợp đó.
Dạng 2: Bài đưa về việc tìm ước chung của