Các bài toán điển hình bồi dưỡng học sinh lớp 5 lên 6 - Nguyễn Tú

 (Vỡ chung đỏy BC và h1, h2 là chiều cao hạ từ A, D tới BC) 
 Dễ thấy SDBC = 3SABC (Do chỳng đều cú chiều cao là chiều cao của hỡnh thang và DC 
= 3AB). Từ đõy dễ dàng suy ra: OA 1 = 
OD 3
Bài 14: Cho▲ABC với hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Hai 
đường thẳng CM cắt BN tại E và kẻ đường AE cắt cạnh BC tại điểm F. Hóy tỡm tỷ số 
EM
EC
và 
chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh BC. 
 Hd: - Tớnh 
EM
 = ?
EC
 Dễ thấy: SCAM = SBAN = ABC
1
S
2
 
 Suy ra: SECN = SEBM 
 Mặt khỏc ta cú: SEBM = SEAM và SECN = SEAN 
 Do đú: SEBM = SEAM = SECN = SEAN = ABC
1
S
6
 
 SEAC = SEAB = SEBC = ABC
1
S
3
 
 SEAM = EBC
1
S
2
 . Suy ra: 
EM 1
 = 
EC 2
 - Chứng minh rằng: BF = CF 
 Theo chứng minh trờn ta cú: SEAC = SEAB 
 Mà hai tam giỏc này lại cú chung cạnh AE, nờn suy ra: h1 = h2 (Với h1, h2 là chiều cao 
hạ từ B, C tới AE) 
O 
A B 
C D 
I 
h1 
h2 
A 
B C 
M N 
E 
F 
h1 
h2 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 39 
 Suy ra: SEBF = SECF (Vỡ hai tam giỏc này cũng nhận h1, h2 là chiều cao và chung đỏy 
EF). Do đú suy ra: BF = CF 
Bài 15: Cho▲ABC với hai điểm M, N lần lượt trờn hai cạnh AB, AC sao cho: AB = 
3AM, AC = 3AM . Biết diện tớch SABC = 180 cm
2
 và hai đường thẳng CM cắt BN tại E. 
Hóy tớnh SMNCB và tỡm tỷ số 
EM
EC
. 
 Hd: - Tớnh SMNCB = ? 
 Ta cú: 
AMN AMC
1
S S
3
  (Chung chiều cao hạ từ M tới AC và đỏy AC = 3AN) 
AMC ABC
1
S S
3
  (Chỳng chung chiều cao hạ từ C tới AB và đỏy AB = 3AM) 
 Suy ra: 2
AMN ABC
1
S S = 20 cm
9
  . 
 Do đú: SMNCB = 180 – 20 = 160 cm
2
- Tớnh 
EM
 = ?
EC
 Ta cú:
BAN BCN
1
S S
2
  (Chung chiều cao hạ từ B tới AC và đỏy CN = 2AN) 
EAN ECN
1
S S
2
  (Chung chiều cao hạ từ E tới AC và đỏy CN = 2AN) 
 Do đú: 
BAN EAN BCN ECN
1
S S (S S )
2
     
BAE BCE
1
S S
2
  
 Mặt khỏc cú: 
EBM EAB
2
S S
3
  (Chung chiều cao hạ từ E tới AB và đỏy AB = 3AM) 
 Do đú suy ra: 
EBM BCE
3 1
S S
2 2
   . Suy ra: EBM
EBC
S 1
 = 
S 3
Bài 16: Cho▲ABC với hai điểm E, F lần lượt trờn hai cạnh AB, AC sao cho: AB = 
3AE, AC = 2AF . Biết diện tớch SABC = 240 cm
2
 và hai đường thẳng CE cắt BF tại K. Hóy 
tớnh SEFCB và tỡm tỷ số KE 
KC
. 
 Hd: - Tớnh SEFCB = ? 
 Ta cú: 
AEF AEC
1
S S
2
  (Chung chiều cao 
hạ từ E tới AC và đỏy AC = 2AN) 
AEC ABC
1
S S
3
  (Chung chiều cao 
hạ từ C tới AB và đỏy AB = 3AE) 
 Suy ra: 2
AEF ABC
1
S S = 40 cm
6
  . 
 Do đú: SEFCB = 240 – 40 = 200 cm
2
A 
B C 
M 
N 
E 
A 
B C 
E 
F 
K 
0, 5 đ + 0, 5 đ 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 40 
 - Tớnh 
KE
 = ?
KC
 Ta cú: 
BAF BCFS S ( Chỳng chung chiều cao hạ từ B tới AC và đỏy CF = AF) 
 Ta cú: 
KAF KCFS S ( Chỳng chung chiều cao hạ từ K tới AC và đỏy CF = AF) 
 Do đú suy ra: SBAF - SKAF = SBCF – SKCF  BAK BCKS S 
 Mặt khỏc cú: 
KBE KAB
2
S S
3
  (Chỳng chung chiều cao hạ từ K tới AB và đỏy AB = 3AE). 
Do đú suy ra: 
KBE BCK
3
S S
2
  . Suy ra: KBE
KBC
S 1
 = 
S 3
  KE 2 = 
KC 3
Bài 17: 
 Cho▲ABC cú diện tớch 216 m2, AB = AC và BC = 36m. Trờn cạnh AB lấy điểm M sao 
cho 1MB = AB
2
 , trờn cạnh AC lấy điểm N sao cho 
1
NC = AC
2
 và trờn cạnh BC lấy điểm I 
sao cho 1BI = BC
2
 . Nối M với N và N với I, ta được hỡnh thang MNIB. Hóy tớnh : 
a) Diện tớch hỡnh thang MNIB 
b) Độ dài đoạn thẳng MN. 
 Hd: 
 a) Diện tớch hỡnh thang MNIB 
 Ta thấy: SNAM = 
1
2
 SNBA 
 SBNA = 
1
2
 SBCA 
Vậy suy ra: SNAM = 
1
4
 SBCA = 54 m
2
Tương tự cú: SCNI = 54 m
2
Do đú cú: SMNIB = 216 – 54 – 54 = 108 m
2
b) Độ dài đoạn thẳng MN: 
 SBNC = 
1
2
SBCA = 108 m
2
 , mà BC = 36 m . Suy ra chiều cao hạ từ N tới BC là: 
 2  108 : 36 = 3 (m) 
 Diện tớch của hỡnh thang MNCB là: 216 – 54 = 162 (m2) 
 Độ dài đỏy MN là: 2162 : 3 – 36 = 72 (m) 
36 m 
A 
B C 
M N 
I 
h 
Bài 18: 
Cho ∆ABC cú: AB = AC. Biết điểm E  cạnh 
AB và điểm F  AC kộo dài sao cho BE = CF. Gọi I = 
EF  BC. 
 Chứng minh rằng : IE = IF 
Hd: 
 - Để c.m.r IE = IF ta c.m.r tam giỏc BEI và BFI chỳng 
cú diện tớch bằng nhau 
 - Để c.m.r tam giỏc BEI và BFI cú diện tớch bằng nhau 
ta c.m.r h1 = h2 h2 
E 
F 
A 
B 
C 
I 
h1 
l1 l2 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 41 
 - Để c.m.r h1 = h2 ta c.m.r tam giỏc EBC và FBC cú diện tớch bằng nhau 
 - Để c.m.r tam giỏc EBC và FBC cú diện tớch bằng nhau ta c.m.r l1 = l2 
 Ta thấy l1 = l2 là đễ thấy tam giỏc ABC cú AB = AC 
Hd: 
 - SAEID = SABCD – SEBC – SICD 
= 400 – 100 – 80 = 220 
 - Dễ dàng tớnh được tổng diện tớch của hai tam giỏc ICF và ICD bằng 100. 
 - Xột việc tớnh tỉ số diện tớch của hai tam giỏc ICF và ICD: 
ICF ECF1
ICD 2 ECD
S Sh 50 1
 = = = = 
S h S 200 4
 - Suy ra: SICD = 100 : (4 + 1)  4 = 80 
 - SAEID = SABCD – SEBC – SICD = 400 
Bài 20: Cho ∆ABC cú dt(ABC) = 100 cm2. Lấy hai điểm E  cạnh AC và F  cạnh BC 
sao cho BF = 
1
2
 FC và CE = 
1
3
 AE.Gọi điểm K = EFAB. 
Hóy tớnh dt (ABFE) = ? và tớnh tỷ số 
KB
?
KA
 
Hd: 
 dt(KCF) = 2dt(KBF) 
 + 
 dt(ECF) = 2dt(EBF) 
  dt(KCE) = 2dt(KBE) 
Mà dt(KCE) = 
1
3
dt(KAE) 
  dt(KBE) = 
1
6
dt(KAE) 
  
KB 1
KA 6
 
Bài 21: Cho ∆ABC cú hai điểm M  cạnh AB và N  cạnh AC sao cho AM = 1
3
 AB và AN 
= 
1
3
 AC. Lấy điểm bất kỳ E  MN ; Gọi F = AEBC 
 Tớnh tỉ số
AE
?
AF
 
 Hd: Ta cú dt(AMF) = 
1
3
dt(ABF) 
A B 
C D 
E 
F 
I 
20 
C 
A 
B 
E 
F 
K 
Bài 19: 
 Cho hỡnh vuụngABCD cú độ dài cạnh là 
20cm 
 Biết điểm E  cạnh AB và điểm F  cạnh 
BC sao cho EA = EB = FB = FC. 
 Gọi I = CE  DF . 
 Tớnh dt(AEID) = ? 
 - SAEID = SABCD – SEBC – SICD = 400 – 100 – 80 = 
220 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 42 
 dt(ANF) =
1
3
dt(ACF) 
  dt(MNP) = 2dt(AMN) 
  h2 = 2  h1 
  dt(MEF) = 2dt(AME) 
  dt(NEF) = 2dt(ANE) 
AF
 EF = 2AE
 EF + AE = 3AE





 
AE 1
EF 3
 
 Bài 22: Cho ABCD là hỡnh chữ nhật Lấy điểm E  cạnh AD và F  cạnh BC sao cho EA = 
ED = FB = FD. 
Hai điểm M  cạnh AB và N  cạnh DC.Gọi điểm I = EF  MN 
 a) Tớnh dt(ABFE) = ? 
 dt(EFCD) = ? theo dt(ABCD) 
 b) So sỏnh MI và NI 
Hd: 
 a) dt(ABFE) =
(AE+BF)ìAB ADìAB 1
= = dt(ABC)
2 2 2
 
 dt(DEFC) = ? Tương tự vỡ đõy là hai hỡnh thang 
 b) 
1 1
dt(AEM)+dt(BFM)= AMìAE+ BMìBF
2 2
1 1
= (AM+BM)ìAD = ABìAD
4 4
 Tương tự ta cú : 
1
dt(DEM)+dt(CFN)= ABìAD
4
  dt(MEF) = dt(NEF)  h1 = h2  IM = IN 
Bài 23: Cho ABCD là hỡnh chữ nhật. 
 Lấy điểm E, F trờn hai cạnh AB, CD sao cho 
 EA = ED = FB = FC. Lấy I trờn EF sao cho 
 EI = 2  FI 
 a) So sỏnh: dt(AMND) và dt(CNMB) 
 b) Chứng minh rằng: 
AM + DN
EI = 
2
Hd: 
C 
A 
B 
E 
F 
N 
M 
h1 
h2 
A B 
C D 
E F 
M 
N 
I 
A B 
C D 
E F 
M 
N 
I 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 43 
1
dt(AEM)+dt(DEN)= (AM+DN)ìAE
2
1
 = (AM+DN)ìAD
4
1
 = dt(AMND)
2
 dt(AEM) + dt(DEN) = dt(EMN) 
 Tương tự : dt(BFM) + dt(CFN) = dt(FMN) 
 Ta cú : dt(MEI) = 2 dt(MFI) 
 dt(NEI) = 2 dt(NFI) 
   dt(MEI) + dt(NEI) = 2 dt(MFI) + dt(NFI)  
  dt(EMN) = 2 dt(FMN) 
  2dt(EMN) = 4 dt(FMN) 
 Do đú suy ra: dt (AMND) = 2dt (CMNB) 
Bài 24: 
Cho ABCD là hỡnh chữ nhật. 
 BC = 8 ; AB = 10 
 BM = DN ; EB = EC 
 Kẻ EF song song với AB, CD 
 a) So sỏnh: dt(AMND) và dt(BMNC) 
 b) Tớnh EF = ? 
 Hd: 
- Chứng tỏ hai tứ giỏc BMNC và DNMA là hai hỡnh thang 
 - Áp dụng cụng thức tớnh diện tớch hỡnh thang vào 2 tứ giỏc BMFE và EFNC 
 - Từ đõy suy ra diện tớch chỳng bằng nhau và bằng nửa diện tớch hỡnh chữ nhật 
a) 
Tớnh tổng diện tớch hai hỡnh thang BMFE và EFNC là hai hỡnh thang bằng diện tớch 
hỡnh thang BMNC là 40. 
Ta cú: 2  (BM + EF) + 2  (EF + CN) = 40 
 (BM + EF) + (EF + CN) = 20 
 Mà ta biết BM + CN = AB = 10 nờn suy ra: 2  EF = 10 
  EF = 5 
Bài 25: Cho ABCD là hỡnh chữ nhật cú: Diện tớch hỡnh chữ nhật là 108 cm2 
 MA = MB ; DM = 3  DN 
 Hóy tớnh: 
 a) dt(DMI) =? 
 b) dt(DIC) =? 
 c) dt(MNIC) =? 
 Hd: a) 
 Ta cú 2
1
dt(BDM) = dt(ABD) = 27 cm
2
 
 dt(AMN) = 2  dt(ADN) và dt(IMN) = 2  dt(IDN) 
  dt(AMN) + dt(IMN) = 2  [dt(ADN) + dt(IDN)] 
  dt(AMI) = 2  dt(ADI) 
A B 
C D 
E F 
M 
N 
4 
4 
C D 
A B M 
I 
N 
h1 
h2 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 44 
 Mà dt(AMI) = dt(BMI)  dt(AMI) = dt(BMI) = 2  dt(ADI) 
 Ta dễ thấy dt(AMI) + dt(BMI) + dt(ADI) = dt(ABD) = 54 cm2 
 Do đú suy ra: dt(BMI) = 54 : 5  2 = 21,6 cm2 
  dt(DMI) = dt(BMD) – dt(BMI) = 27 – 21,6 = 5,4 cm2 
 b) Ta cú 2
1
dt(BDM) = dt(BCD) = 27 cm
2
 
  h1 = 2 h2 
  dt(DIC) = 2 dt(DMI) = 2  5,4 = 10,8 cm2 
 c) Ta cú dt(DMI) = dt(DNI) + dt(MNI) = 5,4 cm
2
 dt(MNI) = 2  dt(DNI) 
  dt(MNI) = 5,4 : (2 + 1)  2 = 3,6 cm2 
 Do đú duy ra: dt(MNIC) = dt(BMI) + dt(MNI) + dt(BCD) – dt(CDI) 
 dt(MNIC) = 21,6 + 3,6 + 54 – 10,8 = 
Bài 26: Cho ABCD là hinh thang cú: 
 Biết dt(ODC) = 4 cm2 , dt(OAB) = 1 cm2 
 Hóy tớnh dt(ABCD) = ? 
Hd: 
Ta cú: 
OB dt(AOB)
 = 
OD dt(AOD)
 và 
OB dt(COB)
 = 
OD dt(COD)
Do đú suy ra 
dt(COB) dt(AOB)
 = 
dt(COD) dt(AOD)
 . Mà dễ thấy dt(COB) = dt(AOD) = x và giả thiết đó cho 
dt(ODC) = 4 cm
2 
,
dt(OAB) = 1 cm
2
. Suy ra cú: 
x 1
 = 
4 x
  x = 2 
Vậy diện tớch dt(ABCD) = 1 + 4 + 2 + 2 = 9 cm2 
Bài 27: Co tứ giỏc ABCD là hỡnh thang 
Điểm M trờn AB sao cho MA = MB 
Gọi giao điểm ACDB = O; MOCD = N 
Hóy so sỏnh độ dài của hai đoạn NC và ND 
 Hd: Ta cú: dt (DMB) = dt(CMA) 
S4 + S3 + S2 + S6 = S1 + S2 + S3 + S5 
Mà S4 +S3 = S1 +S2 
 ( Vỡ ta biết : dt(OAM) = dt (OBM) ) 
 S2 + S6 = S3 + S5  dt( DOM) = dt( COM) 
 h1 = h2  dt(DOM) = dt(COM)  NC = ND 
Bài 28: Một thửa ruộng hỡnh chữ nhật cú diện tớch là 675 m2 và tổng của chiều dài và chiều 
rộng gấp 4 lần hiệu của chỳng. Tớnh cỏc kớch thước của thửa ruộng trờn. 
Hd:Theo bài ra ta cú sơ đồ sau: 
Do đú ta cú chiều rộng của mảnh đất là: 
 (8 – 2) : 2 = 3 (Phần) 
Do đú ta cú chiều dài của mảnh đất là: 
 (8 + 2) : 2 = 5 (Phần) 
A B 
C D 
O 
C D 
A B 
O 
M 
N 
Tổng: 
Hiệu: 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 45 
Ta chia chiều dài thành 5 phần bằng nhau, chiều rộng thành 3 phần bằng nhau và đồng 
thời nối cỏc cặp điểm tương ứng của chiều dài chiều rộng ta được 15 ụ vuụng bằng nhau với 
cạnh của ụ vuụng bằng 1 phần. 
Vậy diện tớch của mỗi ụ vuụng là: 
 675 : 15 = 25 (m
2
) 
Vậy kớch thước của mỗ ụ vuụng là 5 m 
Kớch thước của chiều rộng thửa ruộng là: 
 5  3 = 15 (m) 
Kớch thước của chiều dài thửa ruộng là: 
 5  5 = 25 (m) 
Bài 29: Chứng tỏ rằng trong tất cả cỏc hỡnh 
 chữ nhật và hỡnh vuụng cựng chu vi thỡ 
hỡnh vuụng cú diện tớch lớn nhất. 
Hd:Theo bài ra ta cú hỡnh vẽ sau: 
Bài 30: Cho tam giỏc vuụng ABC vuụng tại A, cạnh AC = 3 cm, cạnh AB = 4 cm. Hóy tớnh độ 
dài cạnh huyền BC 
Hd: 
Bài 31: 
 Cho tam giỏc bất kỳ ABC. Hóy cắt ghộp tam giỏc trờn tạo thành hỡnh chữ nhật 
Hd: 
A B 
C D 
M 
N 
P x 
x 
Q 
A 
B C 
H 
N M E F 
 - Cỏch cắt: 
+ Lấy hai điểm M, N lần lượt là điểm chớnh 
giữa của AB, AC 
 + Hạ AH  MN = H 
+ Hạ BE  MN = E 
+ Hạ CF  MN = F 
- Cỏch ghộp: 
+ Ghộp AHM vào BEM 
+ Ghộp AHN vào CFN 
Ta cú ABC được cắt ghộp thành một hỡnh 
chữ nhật BEFC 
 - Cắt 4 tam giỏc vuụng ABC vuụng tại A, 
cạnh AC = 3 cm, cạnh AB = 4 cm như bài toỏn 
đó cho 
 - Ghộp 4 tam giỏc vuụng đú lại với nhau 
tạo thành 1 hỡnh vuụng ABCD cú cạnh là 4 cạnh 
huyền của chỳng và tạo ra 1 hỡnh vuụng MNPQ 
là rỗng ở giữa (theo hỡnh vẽ bờn) 
 - Ta cú diện tớch của hỡnh vuụng ABCD 
là: 
 4  6 + 1 = 25 
 - Suy ra cạnh hỡnh vuụng là 5 cm, tức 
cạnh huyền là 5 cm 
Q
N
PM
A B
CD
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 46 
Bài 32: 
 Khi tăng bỏn kớnh của hỡnh trũn thờm 20% thỡ diện tớch hỡnh trũn tăng thờm bao nhiờu 
phần trăm? 
Hd: 
 Bỏn kớnh của hỡnh trũn cũ là R, diện tớch của hỡnh trũn cũ là: 
 3,14  R  R 
 Vậy bỏn kớnh của hỡnh trũn mới là 120% R, diện tớch của hỡnh trũn mới là: 
 3,14  120% R  120%R = 3,14  R  R  144% 
 Do đú ta cú diện tớch của hỡnh trũn tăng lờn là: 
 144% - 100% = 44% 
Bài 36: 
 Hóy chia tứ giỏc lồi ABCD thành 2 phần tương đương bằng 1 đường thẳng đi qua điểm 
M cho trước nằm trờn cạnh AB của tứ giỏc đú? 
Bài 33: 
 Dựng 5 que diờm xếp thành 10 hỡnh tam 
giỏc? 
Hd: 
 Xếp theo hỡnh ụng sao 5 cỏnh hỡnh bờn 
Bài 34: 
 Dựng 6 que diờm xếp thành 8 hỡnh tam 
giỏc? 
Hd: 
 Xếp theo 2 hỡnh tam giỏc đều lồng vào 
nhau như hỡnh vẽ bờn 
ND
A
B C
M
Bài 35: 
 Hóy chia tam giỏc thành 2 phần tương đương 
bằng 1 đường thẳng đi qua điểm M cho trước nằm 
trờn một cạnh của tam giỏc đú? 
Hd: 
Cỏch dựng: 
+ Lấy D là điểm giữa của cạnh BC 
+ Kẻ tia Ax // MD cắt BC tại N. Nối MN là 
đường thẳng cần dựng 
Chứng minh: Dựng phương phỏp diện tớch 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 47 
Bài 37: 
Khi tăng chiều rộng của một hỡnh chữ nhật thờm 10% thỡ phải giảm chiều dài của nú đi 
bao nhiờu phần trăm để diện tớch của hỡnh chữ nhật khụng đổi? 
 Hd: 
 Hỡnh chữ nhật cũ: Diện tớch = chiều dài ì chiều rộng 
 Hỡnh chữ nhật mới: 
 + Chiều rộng mới = 1,1 ì chiều rộng 
 + Chiều dài mới = x ì chiều dài 
 + Diện tớch mới = 1,1 ì chiều rộng ì x ì chiều dài 
 Để diện tớch khụng đổi thỡ ta cú: 
Chiều dài ì chiều rộng = 1,1 ì chiều rộng ì x ì chiều dài 
 1,1ì x = 1  
10
x = 
11
 Vậy suy ra chiều dài phải giảm đi 
10 1
1 - = 
11 11
Bài 38: 
Hóy chia một hỡnh chữ nhật kớch thước 4 cm ì 6 cm thành 4 phần tương đương nhưng 
cú hỡnh dạng đụi một đều khỏc nhau? 
 Hd: 
 + Cỏch 1: Dựng mắt lưới ụ vuụng 
 Chia chiều rộng thành 4 phần bằng nhau mỗi phần 1 cm 
 Chia chiều dài thành 6 phần bằng nhau mỗi phần 1 cm 
 Nối cỏc điểm chia tương ứng trờn 2 cạnh đối với nhau tạo thành 24 ụ vuụng mỗi ụ 
vuụng cạnh 1 cm. 
 Cắt hỡnh chữ nhật thành 4 hỡnh mỗi hỡnh 6 ụ vuụng trong đú cú hỡnh dạng đụi mặt khỏc 
nhau. 
 + Cỏch khỏc: Khụng dựng mắt lưới ụ vuụng và chỉ sử dụng điểm giữa (12 cỏch) 
NE
F
D C
A
B
M
Hd: 
Cỏch dựng: 
+ Kẻ tia Ax // MD cắt CD kộo 
dài tại điểm E 
+ Kẻ tia By // MC cắt DC kộo 
dài tại điểm F. 
+ Lấy N là điểm giữa của cạnh 
EF. Nối MN là đường thẳng cần dựng 
Chứng minh: 
Dựng phương phỏp diện tớch 
M 
A B 
C D N 
A B 
C D N 
M 
P 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 48 
Bài 39: 
Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, . , A10 và một điểm O ở ngoài 
đường thẳng nối 10 điểm đú. Tớnh số tam giỏc giỏc tạo thành khi nối 11 điểm trờn với nhau? 
Hd: 
Ta thấy: 
 Điểm A1 cựng với 9 điểm Ai cũn lại sau A1 và cựng với điểm O tạo thành 9 hỡnh tam 
giỏc 
 Điểm A2 cựng với 8 điểm Ai cũn lại sau A2 và cựng với điểm O tạo thành 8 hỡnh tam 
giỏc 
 .. 
 Điểm A9 cựng với 1 điểm A10 cũn lại sau A9 và cựng với điểm O tạo thành 1 hỡnh tam 
giỏc 
 Vậy số tam giỏc tạo thành là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 
Bài 40: 
A B 
C D N 
M Q 
A B 
C D N 
M 
P 
Q 
O 
A B 
C D N 
Tạo ra 3 hỡnh nữa là 4 hỡnh như trờn 
M 
A B 
C D 
O Tạo ra 3 hỡnh nữa là 4 hỡnh như trờn 
O 
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A8 A9 A7 
A10 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 49 
Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, . , A10 và hai điểm P, Q ở ngoài 
đường thẳng nối 10 điểm đú. Tớnh số tam giỏc giỏc tạo thành khi nối 12 điểm trờn với nhau? 
 Hd: 
Ta ỏp dụng kết quả bài toỏn trờn: Điểm P và 10 điểm thẳng hàng ta được 45 tam giỏc tạo 
thành; điểm Q và 10 điểm thẳng hàng ta được 45 tam giỏc tạo thành nữa. 
Xột 2 điểm P, Q, cựng với 1 trong 10 điểm thẳng hàng khụng thẳng hàng ta cú 10 tam 
giỏc hoặc 9 tam giỏc 
Kết luận: 
Nếu P, Q khụng thẳng hàng với điểm nào trong 10 điểm ta cú 45 + 45 + 10 = 100 (tam 
giỏc) 
Nếu P, Q thẳng hàng với 1 điểm nào đú trong 10 điểm ta cú 45 + 45 + 9 = 99 (tam giỏc) 
MỘT SỐ BÀI HèNH HỌC LỚP 5 
 QUA CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI 
 * Vận dụng kết hợp kiến thức về hỡnh tam giỏc và hỡnh thang để giải một số bài tập 
hỡnh học ở lớp 5. Sau đõy là một số vớ dụ tụi mạnh dạn đưa ra để cựng trao đổi và rỳt kinh 
nghiệm với cỏc bạn đồng nghiệp. 
Bài 1.Cho tam giỏc ABC cú gúc vuụng ở A ; 
 cạnh AB = 30 cm ; AC = 36 cm . B 
 M là điểm bất kỳ trờn AB sao cho AM = 20 cm 
 Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC M 
 cắt cạnh AC tại N. Em hóy tớnh : 
a. Diện tớch hỡnh tam giỏc BCM 
b. Diện tớch hỡnh thang BCNM 
 A N C 
( Đề SGD Quảng Bỡnh năm học 2004 - 2005) 
 Giải 
a. Diện tớch hỡnh tam giỏc BCM 
 Độ dài BM = 30 – 20 = 10 (cm) . Cạnh AC là đường cao từ C xuống đỏy BM của tam giỏc 
BCM. Vậy diện tớch tam giỏc BCM là : ( 36 x 10) : 2 = 180 (cm2) 
b. Diện tớch hỡnh thang BCNM 
 Nối B với N ta cú : SBCN = SBCM (Vỡ hai tam giỏc chung cạnh đỏy BC và đường cao từ 
N xuống đỏy BC bằng đường cao từ M xuống đỏy BC bằng đường cao hỡnh thang BCNM ). 
 Vậy SBCN = 180 (cm2) . Cạnh AB củng là đường cao của tam giỏc BCN từ B xuống đỏy 
CN, do đú CN = ( 180 x 2 ) : 30 = 12 (cm). Độ dài đoạn AN = 36 – 12 = 24 (cm) 
 SAMN = (20 x 24) : 2 = 240 (cm2) ; 
P 
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A8 A9 A7 
A10 
Q 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 50 
 SBCNM = SABC – SAMN . 
 SABC = ( 30 x 36 ) : 2 = 540 (cm2) . Vậy SBCNM = 540 – 240 = 300 (cm2) 
 A 
Bài 2 Cho tam giỏc ABC cú diện tớch 96 cm2 . 
Lấy M, N trờn BC sao cho BM = MN = NC ; 
kẻ ME song song với AB ; NF song song với AC F E 
cắt nhau tại I. Tớnh SIAB ; SIBC ; SIAC 
 ( Đề thi tuyển vào lớp 6 trường THCS Nguyễn I 
Tri Phương TP Huế năm học 2006 – 2007) 
 B M N C 
Giải 
 Tớnh SIAB 
 Nối A với M , ta cú SAMB = 1/3 SABC ( vỡ chung đường cao từ A xuống đỏy BC và đỏy 
BM =1/3 BC ). Vậy SAMB = 96 : 3 = 32 (cm2). 
 SAMB = SIAB ( vỡ hai tam giỏc cú chung đỏy AB và đường cao từ M bằng đường cao từ 
I xuống đỏy AB bằng đường cao hỡnh thang ABME). Vậy SIAB = 32 (cm2). 
 Tớnh SIAC 
 Nối A với N, ta cú SANC = 1/3 SABC (vỡ hai tam giỏc cú chung đường cao từ A xuống 
đỏy BC và đỏy CN =1/3 BC ). Vậy SANC = 96 : 3 = 32 (cm2). 
 SANC = SIAC ( vỡ hai tam giỏc cú chung đỏy AC và đường cao từ N bằng đường cao từ 
I xuống đỏy AC bằng đường cao hỡnh thang ACNF). Vậy SIAC = 32 (cm2). 
 Tớnh SIBC 
 SIBC = SABC – ( SIAB + SIAC). Vậy SIBC = 96 – ( 32 + 32 ) = 32 (cm2). 
Bài 3 Cho một hỡnh tam giỏc vuụng ABC, A 
vuụng gúc tại A . Cạnh AB = 30 cm; 6 cm 
cạnh AC = 40 ; BC = 50 cm. Người ta cắt 
phần trờn là tam giỏc ADE cú chiều cao hạ D E 
từ A xuống DE là 6 cm, phần tứ giỏc cũn lại 
là hỡnh thang DECB (xem hỡnh vẽ). 
Tớnh diện tớch hỡnh thang DECB. 
( Đề PGD Quảng Trạch, Quảng Bỡnh 
 năm học 2008 - 2009) B C 
 Giải 
 SABC = ( 30 x 40) : 2 = 600 (cm
2
) 
 Đường cao của tam giỏc ABC từ A xuống BC là: ( 600 x 2 ) : 50 = 24 (cm2) 
 Đường cao hỡnh thang DECB là : 24 – 6 = 18 (cm2) 
 Diện tớch tam giỏc BEC là: ( 50 x 18 ) : 2 = 450 (cm2) 
 Diện tớch tam giỏc ABE là: 600 – 450 = 150 (cm2) 
 Độ dài cạnh AE là: (150 x 2 ) : 30 = 10 (cm2) 
 Diện tớch tam giỏc BDC là: ( 50 x 18 ) : 2 = 450 (cm2) 
 Diện tớch tam giỏc ADE là: 600 – 450 = 150 (cm2) 
 Độ dài cạnh AD là: (150 x 2 ) : 40 = 7,5 (cm2) 
 Diện tớch tam giỏc ADE là : (10 x 7,5) : 2 = 37,5 (cm2) 
Giỏo ỏn dạy hố lớp 5 lờn 6 Nguyễn Tỳ 
Dựng cho HSG Lớp 5 51 
 Diện tớch hỡnh thang DECB là : 600 – 37,5 = 562,5 (cm2) 
 Đỏp số : 562,5 cm2 
Bài 4. Cho tam giỏc vuụng ABC (AC vuụng gúc với BC). A 
Cạnh AC = 18 cm, cạnh BC = 15 cm. Trờn AC lấy điểm 
M ; trờn AB lấy điểm N sao cho MN song song với CB 
và MN = 10 cm. 
a) Tớnh diện tớch hỡnh tam giỏc ABC. M N 
b) Tớnh diện tớch hỡnh tam giỏc CAN. 
c) Tớnh diện tớch hỡnh thang MNBC. 
d) So sỏnh diện tớch tam giỏc MNC và tam giỏc CBN. C B 
 ( Đề PGD Quảng Trạch, Quảng Bỡnh năm học 2012 - 2013) H 
 Giải 
a. Diện tớch hỡnh tam giỏc ABC là: ( 18 x 15) : 2 = 135 (cm2 ) 
b. Diện tớch hỡnh tam giỏc CAN là: ( 18 x 10) : 2 = 90 (cm2 ) 
c. Tớnh diện tớch hỡnh thang MNBC 
Diện tớch tam giỏc CNB là: 135 – 90 = 45 (