Các bài tập hay và khó về phân thức đại số

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Processing math: 100%
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TOÁN HAY, THƯỜNG GẶP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Cho A +
x2 + 2x
x3 − 1
=
1
x2 + x + 1
−
1
x − x2
a.  Hãy tìm A
b.  Rút gọn biểu thức A
c.  Tìm giá trị của x để A = 0
Xem lời giải tại:
2. Cho P =
x
x − 1
+
3
x + 1
−
6x − 4
x2 − 1
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
c.  Tính P tại x = 3
Xem lời giải tại:
3. Cho biểu thức: A =
x
2x − 2
+
x2 + 1
2 − 2x2
a.  Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa
b.  Rút gọn A
c.  Tìm x để A = −
1
2
Xem lời giải tại:
4. Cho phân thức A =
x3 + 1
x
.
1
x + 1
+
x − 1
x2 − x + 1( )
a.  Rút gọn
b.  Tính A khi x = 3
c.  Tính x khi A = 6
Xem lời giải tại:
5. Tính giá trị các biểu thức sau
a.  A =
x2 + y2 − (1 + 2xy)
x2 − y2 + 1 + 2x
 với x = 99 và y = 50
b.  B =
x2 − xy + y2
x − y
−
x2 + xy + y2
x + y
y − x +
x2
x + y
 với x = 999 và y = 1000
Xem lời giải tại:
6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.  C =
xy
4x2 − y2
 với 2x > y > 0; 4x2 + y2 = 5xy
b.  D =
2a − b
3a − b
+
5b − a
3a + b
 với b ≠ 3; 6a2 − 15ab + 5b2 = 0
Xem lời giải tại:
7. Cho biểu thức 
B =
x2 + 2x
2x + 10
+
x − 5
x
+
50 − 5x
2x(x + 5)
a.  Rút gọn
b.  Tìm x để B = 1
c.  Tìm x để B > 3
Xem lời giải tại:
8. Cho B =
2 + a
2 − a
−
4a2
a2 − 4
−
2 − a
2 + a
.
a2 − 2a
2a2 − a
a.  Rút gọn B
b.  Tính B biết  | a– 5 | = 3
c.  Tìm các giá trị nguyên của a để B có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
9. Cho biểu thức P =
x2 + x
x2 − 2x + 1
:
x + 1
x
−
1
1 − x
+
2 − x2
x2 − x
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x để P < 1
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Xem lời giải tại:
10. Cho biểu thức: N =
2x − 10
x2 − 7x + 10
−
2x
x2 − 4
+
1
2 − x
a.  Tìm giá trị của x để N có giá trị xác định.
b.  Rút gọn N
c.  Tìm giá trị của x để N nguyên.
Xem lời giải tại:
11. Cho biểu thức: N =
x + 2
x2 + x + 1
−
2
x − 1
−
2x2 + 4
1 − x3
a.  Rút gọn N
b.  So sánh N và 
1
3
Xem lời giải tại:
( )
( )
12. Cho biểu thức: P =
x − 2
x2 − 1
−
x + 2
x2 + 2x + 1
.
1 − x2
2
2
a.  Rút gọn P
b.  Tìm giá trị của x để 
P − 4
5
= x
Xem lời giải tại:
13. Cho biểu thức: Q = 1 +
x + 1
x3 + 1
−
1
x − x2 − 1
−
2
x + 1
:
x3 − 2x2
x3 − x2 + x
a.  Rút gọn Q.
b.  Tính giá trị của Q biết  x −
3
4
=
5
4
c.  Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
14. Cho biểu thức: B =
x − 1
2
:
x2 + 2
x3 − 1
+
x
x2 + x + 1
+
1
1 − x
a.  Rút gọn B
b.  Chứng minh B > 0 ∀x ≠1
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của B
Xem lời giải tại:
15. Cho biểu thức : A =
3 + x
3 − x
−
3 − x
x + 3
+
4x2
x2 − 9
. 2 + x +
x2 + x − 1
2 − x
a.  Rút gọn
b.  Tính giá trị của biểu thức A biết |2x − 1| = 3
( ) ( )
( )
| |
( )
( ) ( )
c.  Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Xem lời giải tại:
16. Cho biểu thức : Q =
1
x + 1
+
3(2x + 1)
x3 + 1
−
2
x2 + 1 − x
: (x + 2)
a.  Rút gọn Q.
b.  Tính giá trị của Q biết  x +
5
3
=
1
3
c.  Tìm x để Q =
1
3
d.  Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Xem lời giải tại:
17. Cho biểu thức: P =
x − 1
x + 3
+
2
x − 3
+
x2 + 3
9 − x2
:
2x − 1
2x + 1
− 1
a.  Rút gọn và tìm điều kiện xác định P
b.  Tính giá trị của P biết |x + 1| =
1
2
c.  Tìm x để P =
x
2
d.  Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
18. Chứng minh biểu thức A =
3
2
−
x
x2 + x + 1
 luôn dương với mọi giá trị của x
Xem lời giải tại:
( )
| |
( ) ( )
19. Cho biểu thức:
C =
(x − 1)2
3x + (x − 1)2
−
1 − 2x2 + 4x
x3 − 1
−
1
1 − x
:
2x
x3 + x
a.  Rút gọn biểu thức C
b.  Tìm giá trị của x để 4C = x + 8
Xem lời giải tại:
20. Cho biểu thức:
D =
x2 − 3x
x2 − 9
− 1 :
9 − x2
x2 + x − 6
−
x − 3
2 − x
−
x − 2
x + 3
a.  Rút gọn biểu thức D
b.  Tính giá trị của biểu thức D biết x = − 4
c.  Tìm x để D = −
3
4
Xem lời giải tại:
21. Cho biểu thức : E = 1 +
2x3 + x2 − x
x3 − 1
−
2x − 1
x − 1
.
x2 − x
2x − 1
a.  Rút gọn biểu thức E.
b.  Tính giá trị của biểu thức E biết x2 + x − 6 = 0
c.  Chứng minh biểu thức E >
2
3
Xem lời giải tại:
22. Cho biểu thức: C = x −
4xy
x + y
+ y :
x
x + y
−
y
y − x
−
2xy
x2 − y2
a.  Rút gọn biểu thức C
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
b.  Cho C = 2. Hãy tính giá trị của biểu thức 
M = x2(x + 1) − y2(y − 1) − 3xy(x − y + 1) + xy
Xem lời giải tại:
23. Cho các biểu thức
C =
3(x + 2)
2x3 + 2x + 2x2 + 2
+
2x2 − x − 10
2x3 − 2 − 2x2 + 2x
D =
5
x2 + 1
+
3
2x + 2
−
3
2x − 2
B = C :D
a.  Rút gọn B
b.  Tìm x để B = 2007
c.  Tính giá trị của B nếu x = 2008
Xem lời giải tại:
24. Cho biểu thức:
B =
a − 1
a2 − 2a + 1
+
2(a − 1)
a2 − 4
−
4(a + 1)
a2 + a − 2
+
a
a2 − 3a + 2
C =
36a3 − 144a − 36a2 + 144
a3 + 27
a.  Rút gọn biểu thức A = B. C
b.  Tính giá trị của A nếu a = 3
c.  Với giá trị nào của a thì A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Xem lời giải tại:
25. Cho biểu thức:
P =
2 + y
2 − y
+
4y2
y2 − 4
+
2 − y
2 + y
:
y2 − 3y
2y2 − y3
:
1
y − 3
a.  Rút gọn P
( )
b.  Tính giá trị của biểu thức P khi y = −
1
2
c.  Với giá trị nào của y thì P > 0
Xem lời giải tại:
26. Cho biểu thức: N =
a 1 − a2
2
1 + a2
:
1 − a3
1 − a
+ a
1 + a3
1 + a
− a
a.  Rút gọn N
b.  Tìm a để N = 0
Xem lời giải tại:
27. Cho biểu thức A =
x2 + x
x2 − 2x + 1
:
x + 1
x
−
1
1 − x
+
2 − x2
x2 − x
a.  Rút gọn
b.  Tìm x để A = −
1
2
c.  Tìm x đề A > 1.
d.  Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
28. Cho biểu thức A =
x2 − x + 1
x2 + x + 1
a.  Tìm GTLN của A
b.  Tìm GTNN của A
Xem lời giải tại:
( ) [( )( )]
( )
BÀI TOÁN KHÓ
BÀI TẬP LIÊN QUAN
29. Rút gọn biểu thức: A =
a2(c − b)
bc
+
b2(a − c)
ac
+
c2(b − a)
ab
a(c − b)
bc
+
b(a − c)
ac
+
c(b − a)
ab
.
Xem lời giải tại:
30. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị của các biểu thức 
N =
a2 + b2 + c2
(a + b + c)2
Xem lời giải tại:
31. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0.
Chứng minh rằng : 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
3
abc
.
Xem lời giải tại:
32. Cho biết ax + by + cz = 0. Rút gọn: A =
bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x − y)2
ax2 + by2 + cz2
Xem lời giải tại:
33. Cho a, b, c, d là các số nguyên đôi một khác nhau thỏa mãn:
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + d
+
d
d + a
= 2
Chứng minh rằng abcd là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
34. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A =
a2
a2 − b2 − c2
+
b2
b2 − c2 − a2
+
c2
c2 − a2 − b2
.
Xem lời giải tại:
35. Cho a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện : 
a3 + b3 + c3 = 3abc.
Tính 
b − c
a
+
c − a
b
+
a − b
c
a
b − c
+
b
c − a
+
c
a − b
Xem lời giải tại:
36. Tính tổng 
B =
7
(1.2)3
+
19
(2.3)3
+
37
(3.4)3
+ . . . +
3n2 + 3n + 1
[n(n + 1)]3
Xem lời giải tại:
37. Rút gọn biểu thức
( )( )
P =
14 + 4 54 + 4 94 + 4 . . . 214 + 4
34 + 4 74 + 4 114 + 4 . . . 234 + 4
Xem lời giải tại:
38. Cho 
ax + by = 5c (1)
by + cz = 5a (2)
cz + ax = 5b (3)
 và x ≠ − 5; y ≠ − 5; z ≠ − 5; a + b + c ≠ 0
Tính giá trị của biểu thức M =
1
x + 5
+
1
y + 5
+
1
z + 5
Xem lời giải tại:
39. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a , b , c ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức :
P =
a
b
+ 1
b
c
+ 1
c
a
+ 1
Xem lời giải tại:
40. Cho 
a
c
=
a − b
b − c
(a ≠ 0; c ≠ 0; a − b ≠ 0; b − c ≠ 0). 
Chứng minh rằng: 
1
a
+
1
a − b
=
1
b − c
−
1
c
Xem lời giải tại:
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
{
( )( )( )
41. Cho 
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=
x2 + y2 + z2
a2 + b2 + c2
 trong đó abc ≠ 0
Tính giá trị biểu thức: M = x1000 + y1000 + z1000
Xem lời giải tại:
42. Cho x =
b2 + c2 − a2
2bc
, y =
a2 − (b − c)2
(b + c)2 − a2
Tính giá trị biểu thức x + y + xy
Xem lời giải tại:
43. Biết 4a2 − 15ab + 3b2 = 0; b ≠ ± 4a. Tính giá trị biểu thức
T =
5a − b
4a − b
+
3b − 2a
4a + b
Xem lời giải tại:
44. Rút gọn biểu thức A :B biết: 
A =
n − 1
1
+
n − 2
2
+
n − 3
3
+ . . . +
2
n − 2
+
1
n − 1
B =
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
n
Xem lời giải tại:
45. Cho 
x
x2 − x + 1
= a. Tính M =
x2
x4 + x2 + 1
 theo a
Xem lời giải tại:
46. Cho ax + by + cz = 0, rút gọn A =
bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x − y)2
ax2 + by2 + cz2
.
Xem lời giải tại:
47. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn 
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a + b + c
Chứng minh rằng 
1
a2015
+
1
b2015
+
1
c2015
=
1
a2015 + b2015 + c2015
Xem lời giải tại:
48. Rút gọn biểu thức với n ≥ 2
A =
23 − 1
23 + 1
.
33 − 1
33 + 1
.
43 − 1
43 + 1
.
53 − 1
53 + 1
. . .
n3 − 1
n3 + 1
Xem lời giải tại:
49. Tính giá trị biểu thức A, biết a + b + c = 0:
A =
a − b
c
+
b − c
a
+
c − a
b
.
c
a − b
+
a
b − c
+
b
c − a
Xem lời giải tại:
50. Cho 
a
b − c
+
b
c − a
+
c
a − b
= 0. Chứng minh rằng: 
( ) ( )
a(b − c)2
+
b
(c − a)2
+
c
(a − b)2
= 0
Xem lời giải tại:
51. Tính tích P = 1 +
1
3
. 1 +
1
8
. 1 +
1
15
. . . 1 +
1
n2 + 2n
Xem lời giải tại:
52. Chứng minh rằng với n ∈ N∗ , n < 100 thì: 
n
(n + 1)!
+
n
(n + 2)!
+
n
(n + 3)!
+ . . . +
n
100!
<
1
n !
Xem lời giải tại:
53. Cho a; b ∈ N (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi
phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Xem lời giải tại:
54. Cho dãy số a1; a2; a3. . .  sao cho: 
a2 =
a1 − 1
a1 + 1
; a3 =
a2 − 1
a2 + 1
; . . . ; an =
an−1 − 1
an−1 + 1
a.  Chứng minh rằng: a1 = a5
b.  Xác định năm số đầu của dãy, biết a101 = 3
Xem lời giải tại:
( ) ( ) ( ) ( )
55. Cho a; b; c ≠ 0 và 
(ax + by + cz)2
a2 + b2 + c2
= x2 + y2 + z2
Chứng minh rằng: 
x
a
=
y
b
=
z
c
Xem lời giải tại: