Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

Cụ cú một quyển vở, cụ đó ba lần đem vở thưởng cho cỏc chỏu học sinh giỏi. Biết rằng, lần đầu nếu cụ thưởng cho cỏc chỏu them 4 quyển nũa thỡ sẽ hết 
*Bài 1: Tính tổng các phân số sau
 a, 
 = 
a, VD : Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho đem số đó cộng với tử số và đem mẫu số trừ đi số đó ta được phân số mới bằng phân số tối giản 
Giải
Tổng của TS và MS là : 19 + 89 = 108
 Nếu TS cộng với số phải tìm và MS trừ đi số đó thì tổng của TS và MS vẫn không thay đổi nên vẫn là 108.
 Ta coi TS mới là 2 phần bằng nhau thì MS mới là 7 phần như thế. 
 Ta có sơ đồ: 
 Tử số mới: 	 108
 Mẫu số mới: 
 Số phần ứng với 108 là : 2 + 7 = 9 ( phần )
 Tử số mới là : 108 : 9 x 2 = 24
 Mẫu số mới là : 108 – 24 = 84
 Phân số mới là 
 Số phải tìm là: 24 – 19 = 5
 Đáp số : 5
 b, Cách giải
 Khi gặp bài toán ( bớt ở TS một số bằng số thêm vào MS hoặc thêm vào TS một số bằng số bớt ở MS ) ta làm theo các bước sau:
 + Bước 1: Tìm tổng của TS và MS của phân số đã cho.
 + Bước 2: Nêu lên ý : Khi đó , tổng của TS và MS vẫn không thay đổi.
 + Bước 3: Tìm tỉ số giữa MS và TS của phân số mới.
 + Bước 4: Vẽ sơ đồ, tìm tử số mới, mẫu số mới.
 +Bước 5: Tìm số phải tìm.
 2, Thực hành
*Bài 1: Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho đem TS trừ đi số đó, đem MS cộng với số đó ta được phân số mới bằng phân số tối giản .
Giải
Tổng của TS và MS là : 63 + 89 = 152
 Nếu đem TS trừ đi số đó, đem MS cộng với số đó thì tổng của TS và MS vẫn không thay đổi nên vẫn bằng 152.
 Ta coi TS mới là 3 phần bằng nhau thì MS mới là 5 phần như thế . Ta có sơ đồ 
 Tử số mới: 
 Mẫu số mới:	 152
 Số phần ứng với 152 là 3 + 5 = 8 ( phần )
 Tử số mới là : 152 : 8 x 3 = 57
 Mẫu số mới là : 152 – 57 = 95
 Ta có phân số mới là = 
 Số phải tìm là : 63 – 57 = 6
 Đáp số : 6
a,VD1: Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho khi đem cả tử số và mẫu số của phân số đã cho trừ đi số đó ta được phân số tối giản 
Giải
 Mẫu số hơn tử số là: 98 – 73 = 25
 Vì khi đem cả tử số và mẫu số trừ đi số phải tìm thì mẫu số vẫn hơn tử số là 25 đơn vị 
 Nếu coi tử số mới là một phần thì mẫu số mới là 6 phần như thế
 Ta có sơ đồ 
 Tử số mới: 
 Mẫu số mới: 
 25	
 Tử số mới là : 25 : ( 6 – 1) = 5
 Mẫu số là : 5 x 6 = 30
 Phân số mới là 
 Số phải tìm là 73 – 5 = 68 ( 98 – 30 = 68 )
 Đáp số : 68
 b, VD 2: Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho khi đem cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cộng với số đó ta được phân số tối giản là 
Giải
Mẫu số hơn tử số là : 99 – 29 = 70
Vì khi đem cả TS và MS cộng với cùng một số phải tìm thì MS vẫn hơn TS 70 đơn vị 
Nếu coi TS mới là 1 phần thì MS mới là 3 phần như thế 
 Ta có sơ đồ 
 Tử số mới là 
 Mẫu số mới 
 	 70
Tử số mới là: 70 : (3 – 1) = 35
Mẫu số mới là: 35 x 3 = 105
Phân số mới là: 
Vậy số phải tìm là: 35 – 29 = 6 (105 – 99 = 6)
 Đáp số: 6
c, Cách giải
 Khi gặp bài toán “Cùng thêm” hoặc “cùng bớt” ở cả tử số và mẫu số một số như nhau thì:
 + Bước 1: Tìm hiệu giữa mẫu số và tử số.
 + Bước 2: Nêu lên ý: khi đó hiệu số giữa mẫu số và tử số vẫn không thay đổi.
 + Bước 3: Tìm tỉ số giữa mẫu số và tử số của phân số mới.
 + Bước 4: Vẽ sơ đồ, tìm tử số mới, mẫu số mới, lập phân số mới và giản ước để được phân số mới đã cho.
 +Bước 5: Tìm số phải tìm 
*Bài 1: Trên một mảnh đất hình vuông người ta đào một cái ao hình vuông, cạnh ao song song với cạnh thửa đất và cách đều cạnh thửa đất. Chu vi thửa đất hơn chu vi ao là 40 m. diện tích đất còn lại là 420 m2. Tính diện tích ao.
Giải
Theo bài ra, ta có hình vẽ: 	 1
Ta chia phần còn lại thành 4 hình chữ nhật 1, 2, 3, 4. Diện tích 4
hình chữ nhật trên bằng nhau vì chiều rộng bằng nhau và bằng 4 ao
khoảng cách từ cạnh ao đến thửa đất. 2
Chiều dài bằng nhau và bằng cạnh ao + chiều rộng HCN. Vì chu
 vi ao là 40 m. Nên cạnh thửa đất hơn cạnh ao là: 40 : 4 = 10 (m) 3	
Chiều rộng mỗi HCN là:
10 : 2 = 5 (m)
Diện tích mỗi HCN là: 
420 : 4 = 105 (m)
Cạnh ao hình vuông là:
105 : 5 = 21 (m)
Diện tích ao hình vuông là:
16 x 6 = 256 (m2)
*Bài 3: Một HCN có chu vi gấp 5 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều dài lên 3 m, chiều rộng lên 4 m thì được một hình vuông. Tính diện tích HCN.
Giải
Vì chu vi HCN bằng 2 lần chiều dài và 2 lần chiều rộng. Theo bài ra, ta có chu vi bằng 5 lần chiều rộng. Ta có sơ đồ:
 Rộng Rộng Rộng Rộng Rộng
Chu vi 
 Dài Dài
 Nhìn vào sơ đồ ta thấy chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu ta coi chiều rộng là 3 phần thì chiều dài là 2 phần như thế. Nếu tăng chiều dài lên 3 m và chiều rộng lên 
9 m thì ta được một hình vuông mà hình vuông có các cạnh bằng nhau 
Chiều dài
Chiều rộng 
Giá trị 1 phần là:
9 - 3 = 6 (m)
Chiều rộng ban đầu là:
6 x 2 = 12 (m)
Chiều dài ban đầu là:
6 x 3 = 18 (m)
Diện tích HCN ban đầu là:
18 x 12 = 216 (m2)
 Đáp số: 216 m2
*Bài 4: Chiều rộng hình chữ nhật bằng chiều dài. Nếu bớt chiều dài đi 72 m, bớt chiều rộng đi 8 m thì được một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng và chu vi là 160 m. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu?
Bài giải 
 Vì chiều dài mới gấp rưỡi chiều rộng nên ta có sơ đồ:
 Chiều dài mới:
 Chiều rộng mới: 80m
Chiều rộng mới là :
80 : (3 + 2) x 2 = 32 (m)
Chiều dài mới là :
80 – 32 = 48 (m)
Chiều rộng ban đầu là:
32 + 8 = 40(m)
Chiều dài ban đầu là:
48 + 72 = 120 (m)
Chu vi hình chữ nhật là:
(120 + 40) x 2 = 320 (m)
 Đáp số: 320 m
Bài 7 : Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị là 2 và xóa đi chữ số 2 đó thì được số mới gấp 2 lần số có được khi xóa đi chữ số hàng trăm. 
Giải
Gọi số phải tìm là ab2 ( a khác 0 ) 
Xóa đi chữ số 2 được số mới là ab 
Xóa đi chữ số hàng trăm được số mới là b2 
Ta có ab = b2 x 2 
a x 10 + b = ( b x 10 + 2 ) x 2 ( cấu tạo số )
a x 10 + b = b x 20 + 4 ( nhân một số với một tổng)
a x 10 = b x 19 + 4 ( hai vế cùng bớt đi b ) 
Vì a x10 là số tròn chục nên b x 19 + 4 cũng phải là số tròn chục.
Do đó b x 19 phải có tận cùng là 6 . Vậy b = 4 
Khi đó ta có a x 10 = 4 x 19 + 4
a x 10 = 80
a = 80 : 10
a = 8
Số phải tìm là 842
*Bài 3 : Tìm số có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó ta được số mới lớn hơn số phải tìm 757 đơn vị .
Giải
Gọi số phải tìm là ab ( a khác 0 ; a, b < 10 ) 
Khi viết thêm chữ số 1 vào bên phảt số đó ta được ab1
Theo bài ra ta có 
ab1 – ab = 757
ab x 10 + 1 – ab = 757 ( cấu tạo số )
ab x 10 – ab x 1 + 1 = 757
ab ( 10 – 1 ) = 757 - 1
ab x 9 = 756
ab = 756 : 9 
ab = 84
Thử lại : 841 – 84 = 757 
757 = 757 ( đúng ) 
Đáp số : 84
A, Các bước giải toán về phân tích cấu tạo số 
Bước 1 : Gọi số phải tìm, đặt điều kiện.
Bước 2 : Lập biểu thức theo đề bài .
Bước 3 : Phân tích cấu tạo số, đơn giản biểu thức thành biểu thức tối giản ( một số nhân một tổng , một số nhân một hiệu, hai vế cùng bớt, ) 
Bước 4 : Tìm số cần tìm ( giải x, nhận xét, dấu hiệu chia hết, số chẵn, số lẻ, thử chọn trong khống chế ,)
Bước 5 : Thử lại và đáp số 
 B, Hướng dẫn HS làm bài tập
* Bài 1: Tìm một số có 1 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ só 2 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 5 lần số phải tìm
Bài giải
Gọi số phải tìm là a (a khác 0; a < 10)
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được 2a
Theo bài ra ta có:
a x 5 = 2a
a x (4 + 1) = 20 + a (cấu tạo số)
a x 4 + a = 20 + a (một số nhân với một tổng)
a x 4 = 20 (2 vế cùng bớt đi a)
a = 20 : 4 (Tìm thừa số)
a = 5
Thử lại: 5 x 5 = 25
25 = 25 (đúng)
 Đáp số: 5
* Bài toán 2: Tìm 1 số có 2 chữ số biết rằng nếu viết thêm 2 chữ số 3 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 6 lần số phải tìm
Giải
Gọi số phải tìm là ab (a,b < 10; a khác 0)
Khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta được 3ab
Theo bài ra ta có:
ab x 6 = 3ab
ab x (5 + 1) = 300 + ab (cấu tạo số)
ab x 5 + ab = 300 (1 số nhân với một tổng)
ab x 5 = 300 : 5
ab = 60
Thử lại:60 x 6 = 360 (đúng)
Đáp số: 60
3, Bài 3: Tìm só có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 9 lần số phải tìm
Giải
Gọi số phải tìm là abc (a khác 0; a,b,c < 10)
Khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó ta được 1abc
Theo bài ra ta có:
abc x 9 = 1abc
abc x (8 + 1) = 1000 + abc (cấu tạo số)
abc x 8 = 1000 + abc (1 số nhân với 1 tổng)
abc x 8 = 1000 (2 vế đều bớt đi abc)
abc = 1000 : 8 (Tìm thừa số)
abc = 125
Thử lại: 125 x 9 = 1125
1125 = 1125 (đúng)
 Đáp số: 125
4, Bài 4: Tìm 1 số có hai chữ số biết nếu thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số mới lớn hơn số phải tìm 392 đơn vị 
Giải
Gọi số phải tìm là ab (a khác 0; a,b <10)
Theo bài ra ta có:
ab5 – ab = 392
ab x 10 + 5 – ab = 392 (cấu tạo số)
ab x 10 – ab + 5 = 392
ab x (10 – 1) = 392 – 5
ab x 9 = 387
ab = 387 : 9
ab = 43
Thử lại: 435 – 43 = 392
392 = 392 (đúng)
Đáp số: 43
Công thức tính :
Số số hạng = ( số cuối – số đầu ) : khoảng cách + 1
Số đầu = số cuối – ( số số hạng – 1 ) x khoảng cách 
Số cuối = số đầu + ( số số hạng + 1 ) x khoảng cách 
Tổng của dãy số = (số đầu + số cuối ) x số số hạng : 2 
Trong dãy STN liên tiếp , cứ 1 số chẵn lại đến 1 số lẻ rồi lại đến một số chẵn ....Vì vậy nếu:
 + Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn và ngược lại
 + Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn số lượng các số chẵn là một số
 *Tương tự bắt đầu từ số chẵn và kết thúc bằng số chẵn..
Trong dãy STN liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số các số trong dãy số bằng giá trị của số cuối cùng trong dãy số ấy. 
 VD : dãy số: 1, 2, 3, .,2789. có 2789 số tự nhiên
Trong dãy STN liên tiếp bắt đầu từ số lớn hơn 1 thì số các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng với số liền trước số đầu tiên. 
 VD : dãy số 5,6.7,8,,2008. Có 2008 - 4 = 2004 (số)
Bài 3 : Hai vũi nước cựng chảy vào bể thỡ sau 1 giờ 12 phỳt sẽ đầy bể. Nếu một mỡnh vũi thứ nhất chảy thỡ sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi một mỡnh vũi thứ hai chảy thỡ mấy giờ sẽ đầy bể?
	Giải :
Đổi : 1 giờ 12 phỳt = 72 phỳt 
 2 giờ = 120 phỳt 
Cỏch 1:
Biểu thị lượng nước đầy bể là 360 phần bằng nhau thỡ sau một phỳt cả hai vũi cựng chảy được số phần là :
	360 : 72 = 5 (phần)
Mỗi phỳt vũi thứ nhất chảy được số phần là:
	360 : 120 = 3 (phần)
Do đú mỗi phỳt vũi thứ hai chảy được số phần là:
	5 – 3 = 2 (phần)
Thời gian để vũi thứ hai chảy được đầy bể là :
	360 : 2 = 180 (phỳt) = 3 giờ
Cỏch 2 :
Một phỳt cả hai vũi chảy được (bể nước)
Một phỳt một mỡnh vũi thứ nhất chảy được bể nước. 
Do đú một phỳt vũi thứ hai chảy một mỡnh được :
	– = (bể nước)
Thời gian để vũi thứ hai chảy một mỡnh đầy bể là:
	1 : = 180 (phỳt)
	 = 3 giờ
	Đỏp số : 3 giờ