Bổ trợ và nâng cao phần tam giác đồng dạng

ẻ DE // AC (E ∈ AB); DF // AB (
F ∈ AC). Tính: 
AE
AB
+
AF
AC
?
Xem lời giải tại:
11. Cho ΔABC, một đường thẳng song song với cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC lần
lượt tại D và E. Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB ở F.
Chứng minh rằng: AB2 = AD. AF.
Xem lời giải tại:
12. Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD). Đường thẳng song song với hai
đáy cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N. So sánh các tỉ số:
a. 
AM
AD
 và 
BN
BC
.
b. 
AM
MD
 và 
BN
NC
.
c. 
MD
DA
 và 
NC
CB
.
Xem lời giải tại:
13. Cho ΔABC (AB < AC), đường phân giác AD (D ∈ BC). Qua trung điểm M của
cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự tại E và K.
Chứng minh rằng:
a.  AE = AK
b.  BK = EC.
Xem lời giải tại:
14. Cho ΔABC, Aˆ = 900, đường cao AD (D ∈ BC). Từ D kẻ DE⊥AB (E ∈ AB);  
DF⊥AC (F ∈ AC). Chứng minh khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng 
AE
AB
+
AF
AC
 không thay đổi.
Xem lời giải tại:
15. G là trọng tâm của ΔABC. Qua G vẽ GD // AB (D ∈ BC); GE // AC (E ∈ BC).
a.  Tính tỉ số 
BD
BC
 ?
b.  Chứng minh: BD  =  DE  =  EC
Xem lời giải tại:
16. Cho M là điểm bất kì thuộc miền trong của ΔABC. Tia AM cắt BC tại N. Dựng
hình bình hành ADME (D ∈ AB; E ∈ AC).
Chứng minh tổng: 
AD
AB
+
AE
AC
+
MN
AN
 có giá trị không đổi.
Xem lời giải tại:
17. Cho ΔABC, điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5 cm; DB = 4,5 cm. Tính tỉ
số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
Xem lời giải tại:
18. Cho ΔABC, đường cao AH. Đường thẳng d / /BC, cắt các cạnh AB, AC, AH theo
thứ tự tại B’, C’, H’.
a.  Chứng minh rằng: 
AH ′
AH
=
B ′C ′
BC
.
b.  Áp dụng: Cho biết AH ′ =
1
3
AH và SΔABC = 67, 5 cm
2. Tính SΔAB ′C ′?
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC, BC = 15 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI
= IH. Qua I và K vẽ các đường EF // MN // BC. (M, E  ∈  AB; N, F  ∈  AC)
a.  Tính độ dài các đoạn thẳng MN; EF.
b.  Tính SMNFE, biết SΔABC = 270 cm
2.
Xem lời giải tại:
20. Cho hình thang cân ABCD (AB / /CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại
O. Gọi M; N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Biết MD = 3MO, đáy lớn CD
= 5,6 cm. 
a.  Tính MN; AB?
b.  So sánh MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Xem lời giải tại:
21. Cho hình thang ABCD (AB / /CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
BE = CD. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với DB, DE. Chứng minh 
AK
KC
=
AC
CI
.
Xem lời giải tại:
22. Cho hình thang ABCD (AB / /CD). Lấy E trên cạnh AD sao cho 
AE
ED
=
p
q
 . 
Kẻ EF / /CD ; F ∈ BC. Chứng minh rằng: EF =
p. CD + q. AB
p + q
 .
Xem lời giải tại:
23. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy
cắt các cạnh bên AD, BC tại M, N sao cho 
AM
MD
=
1
2
.
a.  Tính tỉ số 
BN
NC
 ?
b.  Cho AB = 8 cm, CD = 17 cm. Tính MN?
Xem lời giải tại:
24. Cho ΔABC, Aˆ = 1200, AB = 3 cm, AC = 6 cm. Tính độ dài đường phân giác AD
(D ∈ BC).
Xem lời giải tại:
25. Cho ΔABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB).
a.  Chứng minh DE // BC.
b.  Tính độ dài AB, biết DE = 6 cm, BC = 15 cm.
Xem lời giải tại:
26. Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo
thứ tự tại M, N, K.
a.  Chứng minh: DM2 = MN.MK
b.  Tính: 
DM
DN
+
DM
DK
= ?
Xem lời giải tại:
27. Cho ΔABC, gọi I là trung điểm của AB, E là trung điểm của BI, D thuộc cạnh
AC sao cho CD =
1
3
CA. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính các tỉ số 
BF
FD
;
EF
FC
 .
Xem lời giải tại:
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA
TAM GIÁC
BÀI TẬP LIÊN QUAN
28. Cho ΔABC có AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 28 cm. Kẻ đường phân giác AD
của 
^
BAC (D ∈ BC). Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC).
a.  Tính BD, DC, DE?
b.  Cho biết SΔABC = a cm
2. Tính SΔABD ; SΔADE ; SΔDCE?
Xem lời giải tại:
29. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = 15 cm, AC = 20 cm, đường cao AH (H ∈ BC).
Tia phân giác của 
^
HAB cắt HB tại D. Tia phân giác của 
^
HAC cắt HC tại E.
a.  Tính AH.
b.  Tính DH, HE.
Xem lời giải tại:
30. Cho ΔABC, AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm các đường
phân giác của ΔABC. Tính BI.
Xem lời giải tại:
31. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = 21 cm, AC = 28 cm. Đường phân giác AD (
D ∈ BC), DE⊥AC (E ∈ AC).
a.  Tính BD, DC, DE.
b.  Tính SΔABD; SΔACD ?
Xem lời giải tại:
32. Cho ΔABC, AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác BD (D ∈ AC)
a.  Tính AD, DC.
b.  Đường vuông góc với BD cắt đường thẳng AC tại E. Tính EC.
Xem lời giải tại:
33. Cho ΔABC, các đường phân giác BD và CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Biết 
AD
DC
=
2
3
;
AE
EB
=
5
6
.
Tính các cạnh của ΔABC, biết chu vi của ΔABC bằng 45 cm.
Xem lời giải tại:
34. Cho ΔABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, đường phân giác AD (D ∈ BC). Điểm
I thuộc đoạn thẳng AD sao cho AI = 2ID. Gọi E là giao điểm của BI và AC.
a.  Tính tỉ số 
AE
EC
.
b.  Tính AE, EC.
Xem lời giải tại:
35. Cho ΔABC, AB = AC = b , BC = a, Aˆ = 360
Chứng minh: a2 + ab − b2 = 0.
Xem lời giải tại:
36. Cho ΔABC, AB = AC, Aˆ = 360. Tính 
AB
BC
.
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC có AB + AC = 2BC. Gọi I là giao điểm các đường phân giác ΔABC
và G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh IG // BC. 
Xem lời giải tại:
38. Cho ΔABC (AB < AC). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính 
^
CMN, biết 
^
BAC = 500.
Xem lời giải tại:
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA
TAM GIÁC
TRƯỜNG HỢP CẠNH ‐ CẠNH ‐ CẠNH
39. Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 
3
4
 và hiệu hai cạnh tương ứng
của chúng là 2 cm. Tính hai cạnh đó.
Xem lời giải tại:
40. Cho ΔABC có AB :BC :AC = 4: 5 : 6. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và cạnh nhỏ nhất
của ΔDEF là 8 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔDEF.
Xem lời giải tại:
41. Cho ΔABC có BC = 9 cm, AC = 6 cm, AB = 4 cm.  Gọi ha, hb, hc là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng ha, hb, hc.
Xem lời giải tại:
42. Cho ΔABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R, D, H, K theo
thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC.
a.  Chứng minh ΔKHD ∼ ΔPQR, tìm tỉ số đồng dạng.
b.  Tính chu vi ΔPQR, ΔABC, biết chu vi ΔKHD bằng 100 cm.
Xem lời giải tại:
43. Cho điểm H nằm trong ΔABC. Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng AH, BH, CH. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
KM, KN, MN.
a.  Chứng minh ΔFED ∼ ΔABC, tìm tỉ số đồng dạng?
b.  Biết nửa chu vi của ΔABC là 12 cm. Tính chu vi ΔFED.
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c và a2 = bc. Gọi ha, hb, hc là chiều
cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của ΔABC.
Xem lời giải tại:
45. Cho ΔABC, Aˆ = 900 và ΔA ′B ′C ′ ,
^
A ′ = 900. Biết 
AB
A ′B ′
=
BC
B ′C ′
= k
a.  Tính 
AC
A ′C ′
b.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔA ′B ′C ′
c.  Tính tỉ số diện tích của ΔABC và ΔA ′B ′C ′ .
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABH, Hˆ = 900, AB = 20 cm, BH = 12 cm. Trên tia đối của tia HB lấy
điểm C sao cho AC =
5
3
AH.
a.  Chứng minh: ΔABH ∼ ΔCAH
b.  Tính 
^
BAC = ?
Xem lời giải tại:
47. Cho tứ giác ABCD có: 
^
BAD = 900,
^
CBD = 900, AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9 cm.
a.  Chứng minh ΔABD ∼ ΔBDC
b.  Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Xem lời giải tại:
TRƯỜNG HỢP CẠNH ‐ GÓC ‐ CẠNH
48. Cho ΔABC, AB = 4 cm, BC = 5 cm, AC = 6 cm. Tính tỉ số 
Bˆ
Cˆ
.
Xem lời giải tại:
49. Cho hình thoi ABCD có Aˆ = 600. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của
các tia BA, DA theo thứ tự ở E, F. Goi I là giao điểm của DE và BF.
a.  So sánh 
EB
BA
 và 
AD
DF
 .
b.  Chứng minh ΔEBD ∼ ΔBDF.
c.  Tính 
^
BID = ? .
Xem lời giải tại:
50. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Dˆ = 900), AB = 10 cm, CD = 30 cm, AD =
35 cm. 
Điểm E nằm trên cạnh AD sao cho AE = 15 cm. Tính 
^
BEC?
Xem lời giải tại:
51. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, AC = 2AB. Vẽ trung tuyến BE của 
ΔABO (E ∈ AO). Gọi M là trung điểm của BC.
a.  So sánh 
^
ABE và 
^
ACB.
b.  Chứng minh EM⊥BD.
Xem lời giải tại:
52. Cho ΔABC. Đường thẳng d / /BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E sao cho 
DC2 = BC. DE.
a.  So sánh ΔDEC và ΔCDB.
b.  Nêu cách dựng DE.
Xem lời giải tại:
53. Cho hình bình hành ABCD, Aˆ > 900, các đường cao AH, AK (
H ∈ CD; K ∈ BC).
So sánh 
^
AKH và 
^
ACH.
Xem lời giải tại:
54. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Biết 
AB = 9cm; BD = 12cm; CD = 16cm;
^
ADB = 450. Tính 
^
BCD ?
Xem lời giải tại:
55. Cho ΔABC và ΔDEF có Bˆ = Eˆ;  BA = 2, 5DE; BC = 2, 5EF; AC + DF = 49cm.
Tính AC và DF.
Xem lời giải tại:
56. Cho góc xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ox lấy các điểm A và C’ sao cho 
OA = 4cm; OC ′ = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm A’ và C sao cho 
OA ′ = 12cm; OC = 3cm.  Trên tia Ot lấy các điểm B và B’ sao cho 
OB = 6cm; OB ′ = 18cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOAB ∼ ΔOA ′B ′
b.  Tính các tỉ số 
AB
A ′B ′
;
BC
B ′C ′
;
AC
A ′C ′
Xem lời giải tại:
57. Trên một cạnh của một góc có đỉnh là O, đặt các đoạn thẳng 
OA = 5cm; OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng 
OC = 8cm; OD = 10cm.
a.  Chứng minh rằng ΔOCB ∼ ΔOAD.
b.  Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh rằng AI. ID = IB. IC
Xem lời giải tại:
TRƯỜNG HỢP GÓC ‐ GÓC
58. Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình vẽ biết rằng ABCD là hình thang,
AB // CD; AB = 12, 5 cm; CD = 28, 5 cm;
^
DAB =
^
DBC.
Xem lời giải tại:
59. Cho hình thang ABCD, (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD.
a.  Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC
b.  Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng
minh rằng 
OH
OK
=
AB
CD
Xem lời giải tại:
60. Cho ΔABC có cạnh AB = 24 cm; AC = 28 cm đường phân giác của góc Aˆ cắt
cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng
AD.
a.  Tính tỉ số 
BM
CN
b.  Chứng minh rằng 
AM
AN
=
DM
DN
Xem lời giải tại:
61. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của 
^
BDE. Chứng minh rằng 
BD. CE =
BC2
4
Xem lời giải tại:
62. Cho ΔABC và ΔA ′B ′C ′  biết Aˆ +
^
A ′ = 1800; Bˆ =
^
B ′ . Chứng minh rằng 
AB. A ′B ′ + AC. A ′C ′ = BC. B ′C ′  
Xem lời giải tại:
63. Cho ΔABC có Aˆ = 2Bˆ = 4Cˆ. Chứng minh rằng: 
1
AB
=
1
BC
+
1
AC
.
Xem lời giải tại:
64. Cho ΔABC có AB = c; BC = a; AC = b; Aˆ = 2Bˆ.  Chứng minh rằng 
a2 = b2 + bc 
Xem lời giải tại:
65. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BA, BC đặt BP = BQ vẽ BH⊥CP. Chứng
minh rằng DH⊥HQ
 Xem lời giải tại:
66. Cho ΔABC đều, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm
Q trên cạnh AC sao cho 
^
PMQ = 600. Chứng minh:
a.  ΔPBM ∼ ΔMCQ
b.  ΔMBP ∼ ΔQMP
c. 
SMPQ
SABC
=
PQ
2BC
Xem lời giải tại:
67. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùng
với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường
vuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K.
a.  Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành
b.  Gọi R là giao điểm của PQ và OM. Chứng minh R là trung điểm của PQ.
Xem lời giải tại:
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
68. Cho ΔABC có  Aˆ = 900; AH⊥BC (H ∈ BC), AH = 8 cm, BC = 20 cm. Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Chứng minh: ΔADE ∼ ΔABC.
b.  Tính SΔADE ?
Xem lời giải tại:
69. ΔABC có Cˆ = 900; CH⊥AB (H ∈ AB). Trên CH lấy điểm E, qua B kẻ 
BD⊥AE (D ∈ AE). Chứng minh rằng:
a.  AD. AE + BA. BH = AB2
b.  AD. AE − HA. HB = AH2
Xem lời giải tại:
70. Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Gọi E và F theo thứ tự là
hình chiếu của C trên AB và AD. Gọi H là hình hình chiếu của D trên AC. Chứng
minh rằng:
a.  AD. AF = AC. AH
b.  AD. AF + AB. AE = AC2
Xem lời giải tại:
71. Cho ΔABC. Qua D ∈ BC lần lượt kẻ DE / /AC (E ∈ AB); DF / /AB (F ∈ AC).
Biết SΔBED = 16 cm
2; SΔDFC = 25 cm
2. Tính SΔABC ?
Xem lời giải tại:
72. Cho ΔABC, ba trung tuyến AK, BN, CM cắt nhau tại O. Gọi A1; A2; A3 là ba
điểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho 
AA1 =
1
3
A1K; BB1 =
1
3
B1N; CC1 =
1
3
C1M.
Tính SΔA1B1C1 biết SΔABC = 128 cm
2.
Xem lời giải tại:
73. Cho ΔABC có Aˆ = 900; Cˆ = 300 và đường phân giác BD (D ∈ AC).
a.  Tính tỉ số 
AD
CD
b.  Cho biết độ dài AB = 12, 5cm, tính chu vi của ΔABC
c.  Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng ΔADB = ΔMDC
Xem lời giải tại:
74. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, gọi P là trung điểm của BH, Q là trung
điểm của AH. Chứng minh rằng:
a.  ΔABP ∼ ΔCAQ
b.  AP⊥CQ
Xem lời giải tại:
75. Cho ΔABC, đường cao AH, kẻ HI⊥AB; HK⊥AC. Chứng minh rằng:
a.  AH2 = AI. AB
b.  ΔAIK ∼ ΔACB
c.  Đường phân giác của 
^
AHB cắt AB tại E. Biết 
EB
AB
=
2
5
.  Tính 
BI
AI
Xem lời giải tại:
76. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BH⊥CM, nối DH, vẽ 
HN⊥DH(N ∈ BC). Chứng minh rằng:
a.  ΔDHC ∼ ΔNHB
b.  ΔMHB ∼ ΔBHC
c.  NB = MB
Xem lời giải tại:
77. Cho hình thang ABCD có (AB//CD), AB = m; CD = n(n > m), các điểm P, Q
lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ / /AB / /CD; SABQP = SPQCD. Chứng
minh rằng: PQ2 =
m2 + n2
2
Xem lời giải tại:
BỔ TRỢ VÀ NÂNG CAO PHẦN TAM
GIÁC ĐỒNG DẠNG
BÀI TẬP LIÊN QUAN
78. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a.  Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài đoạn thẳng AH
c.  Tính diện tích ΔAHB
Xem lời giải tại:
79. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc
cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theo thứ tự
ở I, K.
a.  Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tính tỷ số 
MH
MO
b.  Chứng minh rằng MI =
1
3
MN
c.  Chứng minh rằng MI = IK = KN
Xem lời giải tại:
80. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM⊥BC; AN⊥CD(M ∈ BC; N ∈ CD).
Chứng minh rằng ΔMAN ∼ ΔABC 
Xem lời giải tại:
81. Cho ΔABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên AB, AC, BC. Chứng minh
rằng:
a. 
SADE
SABC
=
AD. AE
AB. AC
b.  Trong ba tam giác ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giác có diện tích
không quá 
1
4
SABC . Khi nào thì SADE = SBDF = SCEF =
1
4
SABC
Xem lời giải tại:
82. Hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 12cm, AC⊥BD, BD = 15(cm).
a.  Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính độ dài DE
b.  Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
83. Cho ΔABC và một điểm D trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua D và song song
với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. Nối BG cắt
AC tại H; qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
a.  DA. EG = DB. DE
b.  HC2 = HE. HA
c. 
1
HI
=
1
BA
+
1
CG
Xem lời giải tại:
84. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC
tại D, từ D kẻ DE ⊥ AC (E  ∈  AC)
a.  Tính độ dài BC
b.  Tính độ dài BD và CD
c.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔEDC
d.  Tính DE. Tính tỉ số 
SABD
SADC
Xem lời giải tại:
85. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của góc 
^
BDE. Chứng minh rằng:
a.  EM là tia phân giác của 
^
CED
b.  ΔBDM ∼ ΔCME
c.  BD. CE = MB2
Xem lời giải tại:
86. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD.
a.  Tính độ dài AD
b.  Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB.
c.  I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cân.
Xem lời giải tại:
87. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)
a.  Chứng minh BK = CH
b.  Chứng minh KH // BC
c.  Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Xem lời giải tại:
88. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳng vuông
góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.
a.  Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFB
b.  Chứng minh AE. AC = AB. AF
c.  Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng 
SABC
SAEF
=
AD
AI
2
Xem lời giải tại:
89. Cho ΔABC có (AB < AC). Đường phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho 
^
CDE =
^
BAC = 760.
a.  Chứng minh rằng ΔCDE ∼ ΔCAB.
b.  Chứng minh rằng ΔDBE cân, tính số đo 
^
DEB.
Xem lời giải tại:
90. Cho ΔABC có các đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từ
B vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh
( )
rằng:
a.  BHCD là hình bình hành.
b.  AI.AB = AK.AC
c.  ΔAIK và ΔACB đồng dạng.
d.  ΔABC cần có thêm điều kiện gì để đường thẳng DH đi qua A. Khi đó tứ giác
BHCD là hình gì?
Xem lời giải tại:
91. Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD (Aˆ = Dˆ = 900), AB = 2cm; AD = CD
= 8cm. Gọi O là trung điểm của AD.
a.  Tính BC
b.  Chứng minh: 
^
BOC = 900
c.  ΔAOB ∼ ΔDCO; ΔABO ∼ ΔOBC
Xem lời giải tại:
92. Cho ΔABC cân ở A, có góc đáy bằng α. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các
điểm D, M, E sao cho 
^
DME = α. Chứng minh rằng ΔBDM ∼ ΔCME.
Xem lời giải tại:
93. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phân giác AK. Tia
phân giác của Bˆ cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC
theo thứ tự ở D và E.
a.  Tính độ dài BK
b.  Tính tỉ số 
AI
AK
c.  Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
94. Cho ΔABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng 
AH. DH = BH. EH = CH. FH 
Xem lời giải tại:
95. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao
cho DM = 2cm. Biết 
^
AMB = 900
a.  Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC.
b.  Tia phân giác của 
^
AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng
EA=EK.
c.  Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc 
^
BMH
Xem lời giải tại:
96. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB. CD + BC. AD ≥ AC. BD 
Xem lời giải tại:
97. Cho ΔABC vuông tại A và có đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC
b.  Chứng minh rằng: AB2 = BH. BC, AC2 = CH. BC
c.  Biết AB=3, AC=4, SHAC = 32cm
2. Tính diện tích của ΔHBA
Xem lời giải tại:
98. Cho ΔABC đều, qua trung điểm O của BC vẽ 
^
xOy = 600. Các tia Ox, Oy cắt các
cạnh AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng:
a.  ΔBOM ∼ ΔCNO
b.  4BM. CN = BC2
c.  ΔBOM ∼ ΔONM, OM là phân giác của 
^
BMN.
d.  ON2 = CN. NM
Xem lời giải tại:
99. Cho hình thang vuông ABCD Aˆ = Dˆ = 900 ,  M là trung điểm của AD và 
^
BMC = 900. Biết AD = 2a. Chứng minh rằng:
a.  AB. CD = a2
b.  ΔMAB ∼ ΔCMB
c.  BM là tia phân giác của 
^
ABC
Xem lời giải tại:
100. Cho góc 
^
xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B
sao cho AD cắt BC tại E. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K, tia OE cắt AB
tại I.
Chứng minh rằng: 
IA
IB
=
KA
KB
.
Xem lời giải tại:
101. Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB cố định, cạnh CD chuyển động trên
đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N.
Tìm quỹ tích điểm N.
Xem lời giải tại:
102. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO,
AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt BC tại E và tia FN cắt AD tại K.
Chứng minh rằng:
a. 
BA
BF
+
BC
BE
= 4
b.  BE + AK ≥ BC
Xem lời giải tại:
103. Cho ΔABC gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác, A’, B’, C’ lần
lượt là giao điểm của AM với BC, BM với AC, và CM với AB thì ta công nhận hệ
( )
thức 
MA ′
AA ′
+
MB ′
BB ′
+
MC ′
CC ′
= 1. Đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác
cắt BC, CA, AB lần lượt tại A1; B1; C1. Tính 
MA1
GA1
+
MB1
GB1
+
MC1
GC1
 ?
Xem lời giải tại:
104. Cho ΔABC không cân, M là điểm nằm trong ΔABC sao cho 
^
AMB − Cˆ =
^
AMC − Bˆ. Chứng minh rằng 
MB
MC
=
AB
AC
Xem lời giải tại:
105. Cho tứ giác ABCD trong đó có 
^
ABC =
^
ADC;
^
ABC +
^
BCD < 1800. Gọi E là
giao điểm của hai đường thẳng AB, CD. Chứng minh rằng 
AC2 = CD. CE − AB. AE 
Xem lời giải tại:
106. Cho ΔABC, một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác, cắt các
đường thẳng BC, AC, AB thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng 
B ′A
B ′C
.
A ′C
A ′B
.
C ′B
C ′A
= 1 
Xem lời giải tại:
107. Cho ΔABC (AB = c; AC = b; BC = a). I là giao điểm của các đường phân
giác trong của ΔABC. Chứng minh rằng 
IA2
bc
+
IB2
ca
+
I