Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bµi to¸n vÒ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè
Bµi to¸n 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè.
1.Bµi to¸n: Cho ®å thÞ (C) : y = f(x) vµ ®iÓm . ViÕt ph­êng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm .
2.Ph­¬ng ph¸p:
O
y
 y = f(x)
y0
x
x0
M0
Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i cã d¹ng : . 
VÝ dô : Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt :
T¹i ®iÓm A ( -1; 7).
T¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2.
T¹i ®iÓm cã tung ®é y =5.
Gi¶i: 
 a) Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã d¹ng : 
 Ta cã: .
 Do ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm A(-1; 7) lµ: hay y = 7.
 b) Tõ .
 y’(2) = 9. Do ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 lµ: 
 c) Ta cã: 
+) Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i cña (C) t¹i ®iÓm (0; 5).
 	y’(0) = -3. 
 Do ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: hay y = -3x +5.
+) Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i cña (C) t¹i ®iÓm .
 Do ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: hay .
+) T­¬ng tù ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i lµ : .
Bµi tËp 1: ( §H An Ninh A- 2000)
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c ®iÓm cè ®Þnh. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn ®ã khi m thay ®æi.
Gi¶i: 
	Gäi (x0; y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña ®å thÞ hµm sè khi ®ã ta cã:
 Ta cã: y’ = 3x2 + 2mx
	 y’(1) = 3 + 2m. Do ®ã ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i A(1; 0) lµ:
	 hay (1)
 T­¬ng tù ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i B(-1 ; -2 ) lµ:
	. (2)
* T×m quÜ tÝch giao ®iÓm cña hai tiÕp tuyÕn khi m thay ®æi:
 Khö m tõ ph­¬ng tr×nh (1) vµ ph­¬ng tr×nh (2) ta ®­îc: lµ quü tÝch cÇn t×m. (§ã lµ mét Hypebol).
Bµi tËp 2: ( HVBCVT A - 1998). 
 Cho hµm sè: .
a) CMR: Mäi tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) ®Òu lËp víi hai ®­êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã diÖn tÝch kh«ng ®æi.
b) T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc ®å thÞ sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã lËp víi hai ®­êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi bÐ nhÊt.
Gi¶i:
a) Gäi . 
 Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M0 cã d¹ng:
 (d)
 TiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè (C) lµ: x = 1.
 TiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè (C) lµ: y =1.
 To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn lµ A(1; 1).
 To¹ ®é giao ®iÓm cña (d) víi tiÖm cËn ngang lµ nghiÖm cña hÖ:
 	Gäi .
 T­¬ng tù, to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) víi tiÖm cËn ®øng lµ: .
 Ta cã : AB = 
	 AC = 
 Do tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A nªn diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC lµ:
	 ( Kh«ng ®æi) (§iÒu ph¶i chøng minh).
b) Ta cã chu vi cña tam gi¸c ABC lµ:
 DÊu “ =” khi vµ chØ khi AB = AC . VËy, nh÷ng ®iÓm thuéc (C) cã hoµnh ®é tho¶ m·n th× tiÕp tuyÕn t¹i ®ã lËp víi hai ®­êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt.
Bµi tËp 3: (HVBCVT A- 1999)
 Cho hµm sè: (C).T×m c¸c ®iÓm thuéc (C) mµ qua ®ã kÎ ®­îc mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn ®Õn (C).
Gi¶i: 
 Gäi .
 Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (pttt) cña (C) t¹i M0 cã d¹ng: 
 (d)
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M0 khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm: 
 Suy ra 
 §iÓm M0 tho¶ m·n yªu cÇu bµi ra khi vµ chØ khi:
 .
 VËy, trªn (C) tån t¹i duy nhÊt ®iÓm M0( 1; 0) mµ qua ®ã kÎ ®­îc ®óng mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C).
Bµi tËp 4: (HVBCVT A - 2001).
 Cho hµm sè: y = x3 - 3x (1). 
a) CMR: khi m thay ®æi ®­êng th¼ng cho bëi ph­¬ng tr×nh : y = m(x + 1) + 2 (d) lu«n c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i mét ®iÓm A cè ®Þnh.
b) T×m m ®Ó (d) c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i ba ®iÓm A, B, C kh¸c nhau sao cho tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i B vµ C vu«ng gãc víi nhau.
Gi¶i: 
 a) Ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (1) vµ ®­êng th¼ng (d) lµ:
 Ta cã x + 1 = 0 x = -1 y = 2. Do ®ã ®iÓm cè ®Þnh lµ A( -1; 2).
b) §å thÞ (1) c¾t ®­êng th¼ng (d) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt A, B, C khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -1.
 Gäi B(x1; y1), C(x2; y2) lµ hai ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè (1).
 Ta cã: y’ = 3x2 - 3
	. TiÕp tuyÕn t¹i B vµ t¹i C vu«ng gãc víi nhau khi vµ chØ khi: 
 y’(x1).y’(x2) = -1 
Mµ (theo ®Þnh lÝ viet).
Do ®ã: ( Tho¶ m·n).
KÕt luËn: VËy th× yªu cÇu bµi to¸n ®­îc tho¶ m·n.
Bµi tËp 5: Cho hµm sè: (C). TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), trôc Oy vµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 3.
Gi¶i:
 Ta cã: .
 Pttt cña (C) t¹i ®iÓm lµ: 
 DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh lµ: 
0
3
 = (-) = (®vdt).
Bµi tËp 6: (§H HuÕ A - 2000).
 Cho hµm sè: (C). T×m tÊt c¶ c¸c cÆp ®iÓm trªn ®å thÞ cña hµm sè (C) mµ tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi nhau.
Gi¶i:
 Ta cã : 
 Gäi Víi . Theo gi¶ thiÕt ta cã: 
 VËy M1, M2 ®èi xøng víi nhau qua giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè th× tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi nhau.
Bµi to¸n 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn qua mét ®iÓm cho tr­íc.
1.Bµi to¸n: Cho ®å thÞ (C) : y = f(x) vµ ®iÓm A(a; b). ViÕt ph­êng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iÓm A.
y
x
O
y = f(x)
A(a; b)
2. Ph­¬ng ph¸p: ViÕt ph­¬ng tr×nh tr×nh th¼ng qua A(a; b) víi hÖ sè gãc k d­íi d¹ng: y = k(x - a) + b (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
	 cã nghiÖm.
Gi¶i ph­¬ng tr×nh . tÝnh ki = f’(xi) víi , thay vµo (d) suy ra c¸c tiÕp tuyÕn.
VÝ dô: Cho hµm sè: (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ A(-1; 2) tíi ®å thÞ (C).
Gi¶i:
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(-1; 2) cã d¹ng: y = k(x +1) + 2 (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
ThÕ k tõ (2) vµo (1) ta ®­îc: 
	 .
+) Víi x = -1 suy ra k = 0. Pttt lµ: y = 2.
+) Víi x = . Pttt lµ: .
Bµi tËp 1:
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) qua A(1; 3).
Gi¶i: 
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(1; 3) cã d¹ng: y = k( x -1) +3 (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm:
+) . Pttt lµ: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x.
+).Pttt lµ: y = -24(x - 1) + 3 hay y = -24x + 27.
 KÕt luËn: vËy cã hai tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1; 3) lµ: 
 y = 3x vµ y = -24x + 27.
Bµi tËp 2: (§H CÇn Th¬ D - 1998).
 Cho hµm sè . ViÕt pttt cña (C) ®i qua A(-1; -2).
Gi¶i: 
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(-1; -2) cã d¹ng : y = k(x + 1) - 2 (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
+) Víi x = -1 . Pttt lµ: y = 9x + 7.
+) Víi x = 2 Pttt lµ: y = -2.
Bµi tËp 3: (§H D­îc A- 1999).
 Cho hµm sè: CMR: Cã hai tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1; 0) vµ vu«ng gãc víi nhau.
Gi¶i:
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(1; 0) víi hÖ sè gãc k cã d¹ng:
 y = k(x -1) (d).
 Ta cã: (C).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
 Tõ (2) 
 LÊy (1) – (3) ta ®­îc: 
 Do ®ã . HÖ nµy cã nghiÖm khi vµ chØ khi 
 V× k1k2 = -1 nªn hai tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1; 0) vu«ng gãc víi nhau.
Bµi tËp 4: Cho hµm sè: (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua A(0; 4).
Gi¶i:
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua cã d¹ng: 
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
Suy ra 
+) Víi x = 0. Pttt lµ : y = 4.
+) Víi . Pttt lµ: .
+) Víi .Pttt lµ: .
 KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn qua A(0; 4) ®Õn ®å thÞ (C).
Bµi tËp 5:
 Cho hµm sè: (C) vµ ®iÓm A(0; a). X¸c ®Þnh a ®Ó tõ A kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn ®Õn (C) sao cho hai tiÕp ®iÓm t­¬ng øng n»m vÒ hai phÝa so víi trôc Ox
Gi¶i:
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(0; a) cã d¹ng: y = kx + a (d)
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
 ( x = 1 kh«ng lµ nghiÖm).
 Qua A kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
 Gäi x1; x2 lµ c¸c tiÕp ®iÓm. Do hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña trôc hoµnh nªn y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*))
 Theo ®Þnh lÝ viet ta cã: 
+) (tho¶ m·n (**)).
+) (tho¶ m·n (**)).
VËy, th× yªu cÇu bµi to¸n ®­îc tho¶ m·n.
Bµi tËp 6:
 Cho hµm sè . ViÕt pttt cña (C) ®i qua 
Gi¶i:
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua cã d¹ng: 
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
 Suy ra 
+) Víi x = 0 . Pttt lµ: 
+) Víi . Pttt lµ: 
+) Víi x= - . Pttt lµ: y = .
KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®Õn ®Õn thÞ (C).
* Lêi b×nh: §èi víi bµi to¸n nµy häc sinh th­êng lÇm hai kh¸i niÖm tiÕp tuyÕn ®i qua vµ tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm tõ ®ã dÉn ®Õn viÖc x¸c ®Þnh thiÕu tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C). V× vËy qua bµi tËp nµy ph¶i cho häc sinh nhËn râ hai lo¹i tiÕp tuyÕn nµy cã sù kh¸c nhau râ rÖt.
Bµi tËp 7: (§H Ngo¹i th­¬ng A - 2000).
 Cho hµm sè (C). Tõ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®­êng th¼ng x = 2 cã thÓ kÎ ®­îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
Gi¶i
 Gäi ®iÓm B(2; b) lµ ®iÓm bÊt k× n»m trªn ®­êng th¼ng x = 2.Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua B(2; b) cã d¹ng: y = k(x - 2) +b (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C ) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm:
 Sè tiÕp tuyÕn cÇn t×m b»ng sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*)
 XÐt hµm sè 
 TËp x¸c ®Þnh: D = R.
	. Do ®ã hµm sè ®ång biÕn.
 V× hµm sè ®· cho lu«n ®ång biÕn nªn ®­êng th¼ng y = - b c¾t ®å thÞ hµm sè :
 t¹i duy nhÊt mét ®iÓm hay ph­¬ng tr×nh (*) cã duy nhÊt mét nghiÖm.
 VËy, tõ mét ®iÓm n»m trªn ®­êng th¼ng x = 2 kÎ ®­îc mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
Bµi tËp 8: (§H N«ng nghiÖp I A- 1999).
 Cho hµm sè (C). Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè. CMR: kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo ®i qua I.
Gi¶i:
 Ta cã tiÖm cËn ®øng x = -1.
 TiÖm cËn ngang y = 1. Do ®ã to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn lµ: I(-1; 1).
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua I(-1; 1) cã d¹ng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C ) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm:
 (v« nghiÖm). (®iÒu ph¶i chøng minh).
Bµi tËp 9:
 Cho hµm sè (C). T×m c¸c ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
Gi¶i:
 ViÕt l¹i y d­íi d¹ng (C).
 Gäi , Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua B cã d¹ng: y = kx + b (d).
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm:
 (I) 
 Do ®ã (I) 
 HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (1) cã nghiÖm tháa m·n (2)
 Yªu cÇu bµi to¸n tho¶ m·n khi ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm kh¸c b + 3
 VËy, C¸c ®iÓm trªn trôc tung cã tung ®é bÐ h¬n -1 vµ kh¸c -2 th× tõ ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
Bµi to¸n 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn theo hÖ sè cho tr­íc.
1. Bµi to¸n: 
 Cho hµm sè y = f(x) (C) vµ sè k .
2. Ph­¬ng ph¸p:
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh f’(x) = k. Gi¶ sö ®­îc c¸c nghiÖm x1; x2; ...;xn..
 TÝnh yi = f(xi). Pttt t¹i xi lµ: .
3.C¸c d¹ng biÓu diÔn hÖ sè gãc k:
*) Cho trùc tiÕp: 
*) TiÕp tuyÕn t¹o víi chiÒu d­¬ng cña trôc Ox mét gãc , víi Khi ®ã hÖ sè gãc k = .
*) TiÕp tuyÕn song song víi ®­êng th¼ng (d): y = ax + b. Khi ®ã hÖ sè gãc k = a.
*) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d): y = ax + b.
*) TiÕp tuyÕn t¹o víi ®­êng th¼ng (d): y = ax + b mét gãc . Khi ®ã: .
VÝ dô 1:
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -3.
Gi¶i:
 Ta cã: 
 Do hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = - 3 nªn: 
Víi . Pttt cÇn t×m lµ: 
VÝ dô 2: 
 ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (C). BiÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = 9x + 2009.
Gi¶i:
 Ta cã .
 Do tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = 9x + 2009 nªn tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k = 9 .
	 .
+) Víi Pttt cña (C) t¹i x = - 1 lµ: 
+) Víi . Pttt cña (C) t¹i x = 3 lµ: 
 VËy, cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) song song víi ®­êng th¼ng y = 9x + 2009 lµ:
 y = 9x + 6 vµ y = 9x - 26.
Bµi tËp 1: 
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng .
Gi¶i: 
 Ta cã . Do tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng nªn hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = 9.
 Do ®ã 
+) Víi x = 2 . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 lµ: 
+) Víi . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = - 2 lµ: .
 VËy, cã hai tiÕp tuyÕn cñ¶ (C) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng lµ: 
 y =9x - 14 vµ y = 9x + 18.
Bµi tËp 2:
 ViÕt pttt cña ®å thÞ hµm sè (C), biÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = - x.
Gi¶i:
 Ta cã .
 Mµ y’ = -1 nªn 
 Víi . Pttt cña (C) t¹i lµ: 
 T­¬ng tù pttt cña (C) t¹i lµ: 
 VËy cã hai tiÕp tuyÕn tho¶ m·n bµi ra.
Bµi tËp 3: (§H §µ L¹t D - 2000).
 Cho hµm sè (C). ViÕt pttt cña ®å thÞ (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = - x.
 Gi¶i:
 Ta cã . Do hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng k = -1 nªn:
+) Víi 
 Pttt cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ: .
 T­¬ng tù pttt cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ: .
Bµi tËp 4:
 Cho hµm sè (C). Chøng minh r»ng trong sè c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.
Gi¶i:
 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm bÊt k× cña ®å thÞ (C) lµ:
 k = 
 XÐt dÊu y” t×m ®­îc ®iÓm uèn U(-1; 14).
 HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn lµ: k1 = -12.
 B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè 
x
 -1 
y’’
 - 0 +
y’
 -12
 Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra . DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x = -1 (hoµnh ®é ®iÓm uèn) (§iÒu ph¶i chøng minh)
Bµi tËp 5: (HVKT qu©n sù A-1997)
 Cho hµm sè: . T×m ®iÓm x0 ®Ó víi mäi , tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (C) t¹i ®iÓm x0 song song víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. T×m hÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng ®ã.
Gi¶i:
 Ta cã: .
 Yªu cÇu bµi to¸n lµ t×m x0 ®Ó y’(x0) = k ( h»ng sè) 
 Ta cã : (3) 
+) Víi x0 = 0 suy ra k = -2 (tho¶ m·n).
+) Víi k = 0 (v« nghiÖm)
 VËy, x0 = 0 vµ k = -2 th× th× tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i x0 song song víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi tËp tæng hîp
Bµi tËp 1: 
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i A(0; 3).
Bµi tËp 2: 
 Cho hµm sè: . ViÕt pttt cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = 3x.
Bµi tËp 3: 
 ViÕt pttt cña ®å thÞ hµm sè: t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 3.
Bµi tËp 4:
 Cho hµm sè (C). ViÕt pttt cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng .
Bµi tËp 5: 
 Cho hµm sè (C). ViÕt pttt cña (C) t¹i ®iÓm A(1; -2).
Bµi tËp 6: (Dù bÞ khèi B-2002) 
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng 
Bµi tËp 7: (§H Khèi B- 2006).
 Cho hµm sè (C). ViÕt pttt cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ (C).
Bµi tËp 8: (§H khèi B – 2008).
 Cho hµm sè (C). viÕt pttt cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua M(-1; -9).
Bµi tËp 9: (§H khèi D - 2007).
 Cho hµm sè (C). T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (C) sao cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t hai trôc to¹ ®é Ox vµ Oy t¹i A,B sao cho tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng .
Bài tËp 10: (§Ò thi tèt nghiÖp THPT N¨m 2008).
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -2.
Bµi tËp 11: 
 Cho hµm sè (C). CMR: trong sè c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn khi a > 0 ( a < 0) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt (lín nhÊt).
Bµi tËp 12: (§H kiÕn tróc Hµ Néi A - 1998).
 Cho hµm sè (C). T×m c¸c ®iÓm trªn trôc tung sao cho tõ ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi nhau.
C. KÕt luËn cña s¸ng kiÕn:
 Khi ¸p dông s¸ng kiÕn nµy vµo d¹y thö nghiÖm ë c¸c líp 12A3; 12A6; 12A9 trong n¨m häc 2007 - 2008, còng nh­ ¸p dông ë c¸c líp 11A1; 12A2... n¨m häc 2008 - 2009 cña tr­êng THPT CÈm Thuû 3 kÕt qu¶ ®¹t ®­îc nh­ sau:
I. VÒ phÝa gi¸o viªn:
 - §· dÔ dµng h¬n trong viÖc h­íng dÉn häc sinh tiÕp cËn c¸c d¹ng to¸n vÒ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè.
 - XÐt ë mét gãc ®é nµo ®ã, ®©y lµ tµi liÖu tham kh¶o cã hÖ thèng cho gi¸o viªn gi¶ng d¹y bé m«n to¸n.
 - H­íng dÉn häc sinh lµm râ ®­îc c¸ch gi¶i to¸n, tr¸nh nhÇm lÉn gi÷a c¸c kh¸i niÖm.
II. VÒ phÝa häc sinh:
 - TiÕp cËn ®­îc c¸c kh¸i niÖm vÒ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè mét c¸ch dÔ dµng.
 - Víi hÖ thèng ®Çy ®ñ c¸c d¹ng vÒ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè ®­îc s¾p xÕp theo thø tù tõ dÔ ®Õn khã lµm cho häc sinh høng thó trong häc tËp. §Æc biÖt lµ gióp cho häc sinh n©ng cao kh¶ n¨ng tù häc, tù nghiªn cøu. KÕt qu¶ kh¶o s¸t cho thÊy kho¶ng 70% häc sinh sau khi tiÕp cËn ®Çy ®ñ tµi liÖu nµy ®Òu lµm thµnh c«ng bµi to¸n vÒ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè, qua ®ã n©ng cao ®iÓm to¸n cña häc sinh trong c¸c k× thi tèt nghiÖp hoÆc thi §¹i häc, Cao ®¼ng gãp phÇn n©ng cao tû lÖ tróng tuyÓn cña nhµ tr­êng trong nh÷ng n¨m qua.
 MÆc dï cã nhiÒu cè g¾ng nh­ng do thêi gian cã h¹n, kinh nghiÖm nghiªn cøu vµ øng dông s¸ng kiÕn cßn h¹n chÕ, kh«ng liªn tôc vµ mang tÝnh ®¹i trµ nªn ®Ò tµi kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt vµ mang tÝnh chñ quan. T¸c gi¶ ®Ò tµi mong nhËn ®­îc ý kiÕn ®ãng gãp cña quý thÇy c« ®Ó s¸ng kiÕn ®­îc hoµn thiÖn h¬n./.
Tµi liÖu tham kh¶o
TuyÓn tËp c¸c chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc m«n to¸n cña TrÇn Ph­¬ng (NXB Hµ Néi).
TuyÓn tËp c¸c ®Ò thi §¹i häc, Cao ®¼ng m«n to¸n.
S¸ch gi¸o khoa §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11 (NXB Gi¸o Dôc - 2007).
S¸ch gi¸o khoa §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 12 (NXB Gi¸o Dôc - 2007).
§Ò thi tèt nghiÖp THPT c¸c n¨m gÇn ®©y vµ tham kh¶o tµi liÖu trªn m¹ng.