Bài tập về phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Viet và ứng dụng

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:
a.  (2x + 3)2 = ( − x + 1)(x + 9).
b.  (5 − 3√2)x2 + (√2 − 2)x + 2√2 − 3 = 0.
c.  (2 − √5)x2 + x + √5 − 1 = 0.
d.  √3x2 + (2 + √3)x +
√3
4
+ 1 = 0.
Xem lời giải tại:
2. Cho phương trình ẩn x: (m2 − 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0 (*) 
a.  Tìm m để phương trình có nghiệm.
b.  Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Xem lời giải tại:
3. Cho phương trình: mx2 − (2m + 1)x + (m + 1) = 0. (*)
a.  Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b.  Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 2.
Xem lời giải tại:
4. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b.
(a + 1)x2 − 2(a + b)x + (b − 1) = 0.
Xem lời giải tại:
5. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 
2b
a
≥
c
a
+ 4.
Xem lời giải tại:
6. Giải và biện luận phương trình ẩn x: (m − 3)x2 − 2mx + m − 6 = 0. (*)
Xem lời giải tại:
7. Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + ax + 8 = 0
x2 + x + a = 0
Xem lời giải tại:
8. Cho hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
mx2 + nx + p = 0 (m ≠ 0) (2)
Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì
phương trình sau luôn có nghiệm:
(an − bm)x2 + 2(ap − mc)x + bp − nc = 0. (3)
Xem lời giải tại:
9. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ.
Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số
hữu tỉ.
Xem lời giải tại:
10. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc
bằng 2 :
x2 + mx − 1 = 0 (1)
Xem lời giải tại:
11. Tìm m để phương trình 2x2 − 4x + 5(m − 1) = 0
Có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Xem lời giải tại:
12. Cho phương trình : (m − 4)x2 − 2(m − 2)x + m − 1 = 0
a.  Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b.  Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
Xem lời giải tại:
13. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + 2m − 3 = 0 (1)
a.  Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b.  Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c.  Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp
đôi nghiệm kia.
Xem lời giải tại:
14. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m + 1 = 0 (1)
Xác định m để phương trình (1):
a.  Có hai nghiệm trái dấu
b.  Có hai nghiệm dương phân biệt
c.  Có đúng một nghiệm dương
Xem lời giải tại:
HỆ THỨC VI‐ET VÀ ỨNG DỤNG
BÀI TẬP
15. Không giải phương trình 2x2 − 4x − 1 = 0, hãy tính:
a.  Hiệu hai nghiệm
b.  Hiệu bình phương của hai nghiệm
c.  Hiệu lập phương của hai nghiệm
Xem lời giải tại:
16. Cho phương trình: x2 − 2(m + 3)x + 4m − 1 = 0. (1)
a.  Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
b.  Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc
vào m.
Xem lời giải tại:
17. Cho phương trình mx2 − 2(m − 2)x + (m − 3) = 0. Tìm các giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x
2
1 + x
2
2 = 1.
Xem lời giải tại:
18. Tìm m để phương trình 5x2 + mx − 28 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
điều kiện 5x1 + 2x2 = 1.
Xem lời giải tại:
19. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x
2 − 3x − 5 = 0. Hãy lập một
phương trình bậc hai nhận 
x1 − 2
x2
 và 
x2 − 2
x1
 làm nghiệm.
 Xem lời giải tại:
20. Cho phương trình: (m2 + m + 1)x2 − (m2 + 2m + 2)x − 1 = 0 (*)
Tìm m để tổng các nghiệm của phương trình đã cho đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất.
Xem lời giải tại:
21. Cho các phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)
cx2 + bx + a = 0 (2)
Tìm mối liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x1, x2 của phương trình
(1) và các nghiệm x3, x4 của phương trình (2) thỏa mãn x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4 = 4.
Xem lời giải tại:
22. Cho phương trình x2 − px + q = 0 trong đó p, q là các số nguyên tố. Biết rằng
phương trình có 2 nghiệm nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng p2 + q2 là
một số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
23. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) : y =
1
4
x2. Giả sử đường thẳng đi qua
I(0 ; 1) cắt (P) tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng: 
1
IA
+
1
IB
= 1.
Xem lời giải tại:
24. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y = kx +
1
2
 và parabol (P) : 
y =
1
2
x2. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, và nó cũng luôn cắt (P) tại hai
điểm A, B phân biệt.
b.  Có đúng một điểm M thuộc đường thẳng (d') : y = −
1
2
 để MA  ⊥  MB.
Xem lời giải tại:
25. Cho phương trình x2 + (2m − 1)x − m = 0
a.  Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 1
c.  Tính A = x21 + x
2
2 − 6x1x2 theo m.
d.  Tìm giá trị của m để A có giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
26. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0
a.  Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b.  Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức sau
không phụ thuộc vào m : A = x1 1 − x2 + x2 1 − x1
Xem lời giải tại:
27. Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m + 1 = 0
a.  Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt, khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa
2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức
x1
x2
+
x2
x1
= − 6
( ) ( )
Xem lời giải tại:
28. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = 0 (1)
a.  Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
b.  Xác định m để phương trình (1) có 1 nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm còn lại.
c.  Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
d.  Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x21 + x
2
2 = 8
Xem lời giải tại:
29. Cho phương trình 2x2 + (2m − 1)x + m − 1 = 0
a.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện 
3x1 − 4x2 = 11
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm
c.  Tìm một hệ thức giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
Xem lời giải tại:
30. Cho phương trình x2 − (m + 2)x + 2m = 0
a.  Giải phương trình với m= ‐1
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x1 + x2
2 − x1x2 ≤ 5
Xem lời giải tại:
31. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0
a.  Giải phương trình với m= ‐3
b.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c.  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn  x1 − x2
2 = 4
Xem lời giải tại:
( )
( )
32. Cho phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m − 4) = 0
a.  Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x2 − x1 = 17
b.  Tìm m để biểu thức A = x1 − x2
2 đạt giá trị nhỏ nhất
c.  Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Xem lời giải tại:
33. Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m + 2)x + m − 3 = 0 (1)
a.  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b.  Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
4x1 + 1 4x2 + 1 = 18
Xem lời giải tại:
34. Cho phương trình 2x2 − 3mx − 2 = 0
a.  Chứng minh rằng với mọi giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm
phân biệt.
b.  Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để S = x
2
1 + x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
c.  Tính 
1
x31
+
1
x32
 theo m
Xem lời giải tại:
35. Cho phương trình x2 − mx + m − 1 = 0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương
trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B =
2x1x2 + 3
x21 + x
2
2 + 2 x1x2 + 1
( )
( )( )
( )
 Xem lời giải tại:
36. Cho phương trình bậc hai dạng x2 + px + q = 0. Biết rằng phương trình có
nghiệm nguyên, các hệ số p và q đều là những số nguyên và p + q + 1 = 2003.
Tìm giá trị của p và q.
Xem lời giải tại:
37. Cho x1; x2là hai nghiệm của phương trình x
2 − 7x + 3 = 0
a.  Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 − x2 và 2x2 − x1
b.  Tính giá trị biểu thức B = 2x1 − x2 + 2x2 − x1
Xem lời giải tại:
38. Cho x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x
2 − 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng
x51 + x
5
2 là một số nguyên.
Xem lời giải tại:
39. Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 ( ∗ ) (ẩn x; m, n là các tham số
nguyên). Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng
m2 + n2 là hợp số 
Xem lời giải tại:
40. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 
b > a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm 
Chứng minh rằng: 
a + b + c
b − a
> 3
| | | |
 Xem lời giải tại:
41. Cho phương trình x2 − 4x + m2 − 3m = 0 (1)
a.  Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
b.  Giả sử x1; x2 là nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm các giá trị của m sao
cho x1 = x
2
2 − 4x2
Xem lời giải tại:
42. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; c ≠ 0) có nghiệm x1 > 0. Chứng
minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 có nghiệm x2 > 0 và x1 + x2 + x1x2 ≥ 3
Xem lời giải tại:
43. Cho phương trình 2x2 + bx + c = 0 (1)
Tìm điều kiện của b và c để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 cùng dấu
thỏa mãn
x1 + x2 + x1x2 + x1 + x2 − x1x2 = 2010
Xem lời giải tại:
| √ | | √ |