Bài tập ôn tập Hình học 9 - Bài: Tứ giác nội tiếp (Có đáp án)

TỨ GIÁC NỘI TIẾP 
1) Định nghĩa: 
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp 
đường tròn. 
 2) Tính chất: 
a/ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc đối bằng 1800 
b/ Trong một tứ giác nội tiếp, góc ngoài của tứ giác bằng góc trong tại 
đỉnh đối diện. 
 T ứ giác ABCD n ộ i ti ế p đư ờ ng tròn (O) 
O 
A 
D C 
B 
T ứ giác ABCD n ộ i ti ế p đư ờ ng tròn => 
O 
A 
D C 
B 
T ứ giác ABCD n ộ i ti ế p đư ờ ng tròn => 
===> 
2 1 
O 
A 
D C 
B 
 2) Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp: 
C1: Tứ giác có 4 đỉnh thuộc đường tròn hoặc tứ giác có 4 đỉnh cách đều 
tâm đường tròn 
Tứ giác ABCD có: => tứ giác ABCD nội tiếp (O) 
C2: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 
B 
Tứ giác ABCD có: �̂� + �̂�= 1800 => ABCD nội tiếp (O) 
• Đặc biệt: 2 góc đối bằng nhau và bằng 900 => tứ giác nội tiếp 
được đường tròn và xác định được đường kính và tâm 
Tứ giác ABCD có: �̂� + �̂�= 900 + 900 
=1800 
B => ABCD nội tiếp đường tròn đường 
kính BD (tổng 2góc đối bằng 900) 
 C 
O 
A 
D C 
D 
O 
A 
C3: Tứ giác có góc ngoài (tại một đỉnh) bằng góc trong tại đỉnh đối diện 
C4: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau 
Tứ giác ABCD có: 𝐷𝐴�̂� = 𝐷𝐵�̂� = 𝛼 
B 
=> ABCD nội tiếp đường tròn (2 đỉnh kề 
nhau cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng 
nhau) 
• Đặc biệt: 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa 2 đỉnh còn lại 
dưới một góc bằng 900 => tứ giác nội tiếp được đường tròn và xác 
định được đường kính và tâm 
Tứ giác ABCD có: 𝐷𝐴�̂� = 𝐷𝐵�̂� = 900 
C => ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC 
 (2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới 1 
góc 900) 
* Chú ý: 
1/ Hình thang nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi nó là hình 
thang cân 
2/ Khi giải bài toán có tứ giác nội tiếp ta nên nghĩ đến: 
T ứ giác ABCD có: 
Type equation here. 
=> ABCD n ộ i ti ế p đư ờ ng tròn 
2 1 
O 
A 
D C 
B 
α 
α 
O 
A 
D C 
D 
O 
A 
B 
a. Các cặp góc đối bù nhau 
b. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau 
c. Góc ngoài bằng góc đối trong 
 4) Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Cho (O), hai điểm B, C thuộc (O). Các tiếp tuyến tại B, C của 
đường tròn cắt nhau tại A . 
a/ Chứng minh: tứ giác ABOC nội tiếp 
 b/ Cho 𝐵𝐴�̂�= 400. Tính 𝐵𝑂�̂�, 𝐴𝐵�̂� ? 
Bài 2: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, các đường cao BD và CE. 
a/ Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. Xác định tâm (O) của đường tròn 
ngoại tiếp tứ giác. 
b/ Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh OK ⊥ DE 
Bài 3: Cho ∆ABC có 𝐴 < 900, AD là đường cao. Qua D kẻ DE ⊥AB tại 
E, DF ⊥ AC tại F. 
Chứng minh: a/ AE.AB = AF.AC 
 b/ Tứ giác BEFC nội tiếp 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1: Cho (O), hai điểm B, C thuộc (O). Các tiếp tuyến tại B, C của 
đường tròn cắt nhau tại A 
a/ Chứng minh: tứ giác ABOC nội tiếp 
b/ Cho 𝐵𝐴�̂�= 400. Tính 𝐵𝑂�̂�, 𝐴𝐵�̂� ? 
 a/ Ta có: 𝐴𝐵𝑂 = 900 (AB là tiếp tuyến) A 
 𝐴𝐶𝑂 = 900 (AC là tiếp tuyến) 
=> 𝐴𝐵𝑂 + 𝐴𝐶𝑂 = 900 + 900 = 1800 
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (tổng hai góc 
đối bằng 1800) 
 b/ Ta có: 𝐵𝐴𝐶 + 𝐵𝑂𝐶 = 1800 (t.g ABOC 
nội tiếp) 
 400 + 𝐵𝑂𝐶 = 1800 
 𝐵𝑂𝐶 = 1800 − 400 = 1400 
=> Ta có: 𝑠đ𝐵𝐶 = 𝐵𝑂𝐶 (𝐵𝑂𝐶 là góc ở tâm chắn 𝐵𝐶 ) 
=> 𝑠đ𝐵𝐶 = 1400 
Mà 𝐴𝐵�̂� =
1
2
𝑠đ𝐵�̂� =
1
2
. 1400 = 700 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 
cung chắn cung BC) 
(Các em có thể giải bằng cách khác dùng tính chất của tam giác ABC cân 
tại A) 
Bài 2: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, các đường cao BD và CE. 
a/ Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. Xác định tâm (O) của đường tròn 
ngoại tiếp tứ giác. 
b/ Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh OK ⊥ DE 
40 ° 
O 
B 
C 
a) Xét tứ giác BEDC có: 
𝐵𝐸𝐶 = 𝐵𝐷𝐶 = 900 (BD; CE là 2 đường cao) 
=> tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính 
BC (2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới 1góc 
vuông) 
có Tâm O của đường tròn là trung điểm của BC B 
 b) Xét (O), có: 
=> OK ⊥ ED (đl đkính vuông góc với dây cung) 
Bài 3: Cho ∆ABC có 𝐴 < 900, AD là đường cao. Qua D kẻ DE ⊥ AB tại 
E, DF ⊥ AC tại F. 
Chứng minh: a/ AE.AB = AF.AC 
 b/ Tứ giác BEFC nội tiếp 
 A 
a) Xét ∆ABD vuông tại D, đường cao DE, 
có: AD2 = AE.AB (1) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) 
Xét ∆ACD vuông tại D, đường cao DF, có: 
AD2 = AF.AC (2) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) 
Từ (1) và (2) => AE.AB = AF.AC (đpcm) 
b) Vì AE.AB = AF.AC (cmt) 
Xét ∆AEF và ∆ACB, có: Â là góc chung 
(cmt) 
K 
O 
E 
D 
A 
1 
F 
E 
D C B 
Vậy ∆AEF ~ ∆ACB (c.g.c) 
 => (2 góc tương ứng) 
=> tứ giác BEFC nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong tại đỉnh đối diện)