Bài tập khối tròn có lời giải

 Trang 1 
BÀI TẬP KHỐI TRÒN CÓ LỜI GIẢI 
Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. 
a). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón 
b). Tính thể tích của khối nó 
c). Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này 
Giải: 
HD: 
a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A

 = B

 = 450 
 * Sxq = Rl =  .OA.SA =  .
a
2
.a = 
2a
2
 
 Tính: OA = a
2
 (  SOA tại O) 
 * Stp = Sxq + Sđáy = 
2a
2
 + 
2a
2
 = 21 1 a
22
 
  
 
b) V = 21 R h
3
 = 21 .OA .SO
3
 = 
2 31 a a a. .
3 2 2 6 2

  
 Tính: SO = a
2
 (  SOA tại O) 
c) * Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy 1 góc 600: 
Kẻ OM AC SM AC   SM O

 = 600 
 * SSAC = 
1
2
SM.AC = 1
2
. a 6
3
. 2a 3
3
 = 
2a 2
3
 * Tính: SM = a 6
3
 (  SMO tại O
0SM SO.sin 60  ). 
 * Tính: AC = 2AM = 2a 3
3
 * Tính: AM = 2 2OA OM = a 3
3
* Tính: OM = a 6
6
 (  SMO tại O) 
Bài 2: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón 
b) Tính thể tích của khối nón 
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng 
chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó 
Giải: 
HD: a) * Sxq = Rl =  .OA.SA =  .25.SA = 25 1025 (cm2) 
 Tính: SA = 1025 (  SOA tại O) 
 * Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625 
 b) V = 21 R h
3
 = 21 .OA .SO
3
 = 2 21 .25 .20
3
 (cm3) 
 c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI OH = 12cm 
 * SSAB = 
1
2
.AB.SI = 1
2
.40.25 = 500(cm2) 
M
C
B
A
a
45o
S
O
l
M
H
B
A
h
S
O
 Trang 2 
 * Tính: SI = OS.OI
OH
 = 20.OI
12
 = 25(cm) (  SOI tại O) 
 * Tính: 2
1
OI
 = 2
1
OH
 - 2
1
OS
 OI = 15(cm) (  SOI tại O) 
 * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) 
 * Tính: AI = 2 2OA OI 20  (cm) (  AOI tại I) 
Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh 
huyền bằng a 2 
a). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón 
b). Tính thể tích của khối nón 
c). Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng 
chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC 
Giải: 
 a) * Thiết diện qua trục là  SAB vuông cân tại S nên A

 = B

 = 450 
 * Sxq = Rl =  .OA.SA =  .
a 2
2
.a = 
2a 2
2
 
 Tính: OA = AB
2
 = a 2
2
; Tính: SA = a (  SOA tại O) 
 * Stp = Sxq + Sđáy = 
2a 2
2
 + 
2a
2
 = 
2( 2 1) a
2
  
 b) V = 21 R h
3
 = 21 .OA .SO
3
 = 
2 31 a a 2 a 2. .
3 2 2 12

  
 * Tính: SO = a 2
2
 (  SOA tại O)c) * Kẻ OM BC  SM O

 = 600 ; 
* SSBC = 
1 SM.BC
2
 = 1 a 2 2a. .
2 3 3
 = 
2a 2
3
* Tính SM = a 2
3
(  SOM tại O) * Tính: BM =
a
3
(  SMB tại M), 
Bài 4: Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. ABCD là hình vuông nội tiếp trong 
đường tròn tâm O. Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là 
600. 
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ. 
b)Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’. 
Giải: 
a. Thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ: 
Ta có 
AA' (ABCD)
A 'D CD
AD CD

 

 0ADA ' 60  
AOD vuông cân nên AD=OA 2 R 2 
Trong tam giác vuông ADA’, ta có: 
0h AA ' AD tan 60 R 6   
Vậy 2 3V R h R 6    
2 2
TPS 2 Rh 2 R 2 R ( 6 1)       
a 2
C
M B
A
S
O
O
D
C
A
B'
A'
B
 Trang 3 
b. Thể tích khối đa diện ABCDB’A’: 
Ta có: CD (AA 'D) và các đoạn AB, CD,A’B’ song song và bằng nhau nên khối đa diện 
ABCDB’A’ là lăng trụ đứng có đáy là tam giác AA’D và chiều cao là CD. 
Vậy 3K AA'D
1V S .CD AA'.AD.CD=R 6
2
  , 
Bài 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3cm với AB là đường 
kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB sao cho  0ABM 60 .Tính thể tích của 
khối tứ diện ACDM. 
Giải: 
Ta có: 
BM AD, BM AM BM (ADM)    
BC AD BC (ADM)  
d[C,(ADM)] d[B,(ADM)] BM   
ADM
1 1V .BM.S .BM.AM.AD
3 6
   (1). 
OBM đều 
2 2BM 3 AM AB BM 3      
 31(1) V . 3.3.2 3 3 cm6   . 
Bài 6: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 
a). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ 
b). Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho 
c). Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB 
và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ 
Giải: 
HD: 
a) * Sxq = 2Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .r. r 3 = 2 3  r2 
 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 r2 3 + 2 r2 = 2 ( 3 1)  r2 
b) * V = 2R h = 2.OA .OO = 2 3.r .r 3 r 3   
c) * OO’//AA’  BA A

 = 300 
 * Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB 
 và trục OO’ của hình trụ 
* Tính: O’H = r 3
2
 (vì BA’O’ đều cạnh r) 
 * C/m: BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r 
 * Tính: A’B = r (  AA
’B tại A’) 
 Cách khác: * Tính O’H = 2 2O A A H   = 
2
2 r r 3r
4 2
  (  A
’O’H tại H) 
* Tính: A’H = A B
2

 = r
2
* Tính: A’B = r (  AA
’B tại A’ 
Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. 
a). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ 
b). Tính thể tích của khối trụ 
H
r 3
A
A'
A'
B
r
O
O'
 Trang 4 
c). Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của 
thiết diện được tạo nên 
Giải: 
HD: 
a) * Sxq = 2Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .5.7 = 70 (cm2) 
 * OA = 5cm; AA’ = 7cm 
 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120 (cm2) 
b) * V = 2R h = 2.OA .OO =  .52.7 = 175 (cm3) 
c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm 
 * ABB AS   = AB.AA
’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) 
 * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 
 * Tính: AI = 4(cm) (  OAI tại I) 
Bài 8: Bên trong hình trụ có mét h×nh vu«ng ABCD c¹nh a néi tiÕp mµ A, B thuéc ®­êng trßn ®¸y 
thø nhÊt vµ C, D thuéc ®­êng trßn ®¸y thø hai cña h×nh trô mÆt ph¼ng h×nh vu«ng t¹o víi ®¸y h×nh 
trụ một góc 450. Tính thể tích khối trụ. 
Giải: 
Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD 
Ta có : OI AB; IJ cắt OO’ tại trung điểm M của OO’ . 
MIO = 45o lµ gãc cña mÆt (ABCD) víi ®¸y, Do đó : 
2 2 2a a a 3aO I ;R
8 4 82 2
     
ah 2OM
2
  
Vậy : 
2 3
2 3a a 3 a 2V .R .h .
8 162

     
KHỐI CẦU 
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. AC cắt BD tại O. 
a). CM: rằng 5 điểm S, A, B, C, D cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O; tính bán kính mặt cầu này. 
b). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 
Giải: 
a). Gọi O AC BD  , khi đó: a 2OA = OB = OC = OD = 
2
 (1) 
Vì SO  (ABCD) nên  SAO vuông tại O 
2
2 2 2 2aSO SA AO
4
   
a 2SO
2
  (2) 
 năm điểm A, B, C, D, S cùng nằm trên mặt cầu 
tâm O, bán kính a 2R = 
2
b). 
ABCD
1V S . SO
3

1 a 2. a . a .
3 2
 31 a 2
3
 (đvtt) 
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là 
Hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = a . 
Tính bán kính và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a. 
HD: 
* Gọi O là trung điểm SC 
* Chứng minh: Các  SAC,  SCD,  SBC 
J
I
D
C
B
A
O'
O
M
l h
B'
A'
B
A
I
r
O
O'
O
D C
A
S
B
 Trang 5 
lần lượt vuông tại A, D, B 
* OA = OB = OC = OD = OS = SC
2
 S(O; SC
2
) 
* R = SC
2
 = 1
2
2 2SA AC = a 3
2
* S = 
2
2a 34 3 a
2
 
   
 
; * V = 
3 34 a 3 a 3
3 2 2
  
  
 
Bài 3: Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ 
 coù caïnh ñaùy baèng a và ñöôøng cheùo taïo vôùi ñaùy moät goùc 
45 . Tính theå tích cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï . 
Giải: 
CAC' 45 ,AC' 2a  
Tâm O là trung điểm của AC’ 
Bán kính : 3AC' 4R = a V a
2 3
    
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và 
AB = 3a, BC = 4a. 
a). Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D 
b). Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu 
Giải: 
a). Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D 
* Gọi O là trung điểm của CD. 
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD; 
* Chứng minh: DAC vuông tại A OA = OC = OD = 1
2
CD 
* Chứng minh: DBC vuông tại B OB = 1
2
CD 
 * OA = OB = OC = OD = 1
2
CD  A, B, C, D  mặt cầu S(O; CD
2
) 
 b). Tính bán kính của mặt cầu nói trên. 
Tính diện tích và thể tích của mặt cầu 
* Bán kính R = CD
2
 = 1
2
2 2AD AC = 1
2
2 2 2AD AB BC  
 = 1
2
2 2 2 5a 225a 9a 16a
2
   
* S = 
2
25a 24 50 a
2
 
   
 
; * V = 4
3
R3 = 
3 34 5a 2 125 2 a
3 2 3
  
  
 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba 
cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi 
mặt cầu đó. 
Giải: 
HD: 
* Gọi I là trung điểm AB. Kẻ  vuông góc với mp(SAB) tại I 
* Dựng mp trung trực của SC cắt  tại O  OC = OS (1) 
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB (vì SAB vuông tại S) 
O
C
B
A
D
O
D
C
A
S
O
B
D'
C' B'
A'
D
C B
A
45o
O
 Trang 6 
 OA = OB = OS (2) 
* Từ (1) và (2)  OA = OB = OC = OS. 
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) 
* R = OA = 
2 2
2 2 SC ABOI AI
2 2
        
   
= 
2 2 2a b c
4
  
 * S = 
2
2 2 2
2 2 2a b c4 (a b c )
4
       
 
 
* V = 
3
2 2 2
2 2 2 2 2 24 a b c 1 (a b c ) a b c
3 4 6
         
 
 
Bài 6: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, 
SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của 
mặt cầu và thể tích của khối cầu đó . 
Giải: 
Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng  
vuông góc với mp(SAB) thì  là trục của SAB vuông . 
Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường 
trung trực của cạnh SC của SCI cắt  tại O 
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . 
Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật . 
Ta tính được : SI = 
1 5AB
2 2
 , 
OI = JS = 1 , bán kính R = OS = 3
2
Bài 7: Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC), SA = a; AB = AC= b, 
BAC 60 . X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n h×nh cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn S.ABC. 
Giải: 
Gäi I lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× I lµ t©m ®­êng trßn 
ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC; ®­êng th¼ng (d) ®i qua I , 
vu«ng gãc víi mp(ABC). mp trung trùc cña SA c¾t (d) t¹i O, 
OA =OB = OC = OS nªn O lµ t©m mÆt cÇu. 
22 2 2
2 2 2 a 2b 3 a br OA OI AI
2 3.2 4 3
          
   
 Diện tích : S = 2 24 R 9 (cm )   Thể tích : V = 3 34 9R (cm )
3 2
   
Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích 
 của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a . 
Giải: 
2 3
lt ABC
a 3 a 3V AA'.S a.
4 4
   
Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp 
ABC , A 'B'C'  thí tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp 
hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’ . 
O
I
C
B
A
S
Δ
b
a
c
I
A
C
O
BS
I
J
C
B
A
O
S
M'
I
C'
B'
A'
C
B
A
O
O'
M
 Trang 7 
 Bán kính 
2 2
2 2 a 3 a a 21R IA AO OI
3 2 6
           
  
 Diện tích : 
2 2
2
mc
a 21 7 aS 4 R 4
6 3
  
     
 
Bài 9: Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¸c c¹nh ®Òu b»ng a, c¹nh bªn b»ng b. 
TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ®i qua c¸c ®Ønh cña l¨ng trô 
Giải: 
-Gäi O vµ O’ lµ t©m ∆ABC vµ ∆A’B’C’ th× OO’ lµ trôc cña c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC 
vµ∆A’B’C’ 
-Gäi I lµ trung ®iÓm OO’ th× IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp l¨ng 
trô 
-B¸n kÝnh mÆt cÇu lµ R = IA 
Tam gi¸c vu«ng AOI cã: 
AO = a 3 a 32 23 3 2 3AM   
OI = b1 12 2 2OO' MM  
⇒AI2 = OA2+OI2 =
2 2 2a b 7a
3 4 12  ⇒ AI = 
a 7
2 3
V= 
33 3 33 21.aa 7 7 a .28 7 7 a 74 4
3 3 8 3 3 72 3 18 3 54R .
       
AI2 = 
2 22 2 4a 3b4a 3b
12 2 3
AI R    
V= 
3 3
3 2 2 2 24 4 1 12 2
3 3 8.3 3 18 3
R (4a 3b ) .(4a 3b )      
Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và đường cao h = 1. Hãy tính diện 
tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
Giải: 
Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC .Khi đó SO là 
trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra : SO (ABC) 
Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d của cạnh SA , cắt SO tại I . 
I d IA IS
IA IB IC IS
I SO IA IB IC
  
   
   
Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I và bán kính R = SI 
Ta có 2AE 2 AB 3OA . 2
3 3 2
   . 
 Vì SAO vuông tại O nên SA = 
2 2SO OA = 1 2 = 3 
 Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên : 
SJ.SA SI.SO SI = SJ.SA
SO
=
2SA
2.SO
= 3
2.1
= 3
2
 . 
Vậy bán kính R = SI = 3
2
. Diện tích mặt cầu : 2S 4 R 9    (đvdt) 
Bài 11: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã c¹nh ®¸y b»ng a, c¹nh bªn hîp víi ®¸y mét gãc 30o. TÝnh 
thÓ tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 
M'
M
I
O'
O
C'
C
B'
A'
B
A
 Trang 8 
Giải: 
Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Ta cã SO b (ABCD), SO lµ trôc cña ABCD, (SA, (ABCD)) = 
 oSAO 30 
Gäi M lµ trung ®iÓm SA 
Trung trùc cña SA c¾t SO t¹i I ⇒ I lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp 
⋄OIMA lµ tõ gi¸c néi tiÕp ⇒ SI.SO = SM.SA 
⇒ SI = SM.SASO 
Víi AO = a 22 , 
AS = o
a 2 a 2AO 2
23 3cos30
  , 
SO = SA sin30o = a
6
⇒SI = 
a 2
36
a
6
a
= a 23 
⇒ VMcÇu = 3 384 2 2 23 3 3 9 3a a  
Bài 12 : Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600. 
a). Tính diện tích hình xung quanh và thể tích của hình nón. 
b). Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó. 
c). Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường tròn đáy nằm trên mặt xung quanh 
của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt đáy của hình nón. Biết bán kính của hình trụ bằng một 
nửa bán kính đáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ. 
Giải: 
a). SAB đều SA 2R, SO R 3   
2
xq
1S .2 R.SA 2 R
2
    ; 
3
21 R 3V R .SO
3 3

   
b). Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO 
Bán kính mặt cầu r = O’O. 
1 R 3r SO
3 3
  ; V=
3
34 4 3 Rr
3 27

  
c). N trung điểm OB.; ON bán kính hình trụ: ON= R
2
' 1 R 3NN IO SO
2 2
    ; .V=
3
2 R 3.ON .IO
8

  
30o
M
S
I
O
D C
BA
I
O
N'
N C
D
O'
BA
S