Bài tập hình chương III có lời giải

Bµi tËp h×nh ch­¬ng III cã lêi gi¶i
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuômg góc 
với đáy và SA = a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SD.
 a) Chứng minh AH vuông góc với SC.
 b) Chứng minh mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SAC). 
 c) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). 
 d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3
0,25
3a)
Tam giác SAB cân tại A. suy ra trung tuyến AH cũng là đường cao
1
3b)
(3)
chứng minh tuơng tự
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
0,75
3c)
1
3d)
1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3 (cm), tam giác 	SAB đều và 
	a. Chứng minh rằng BC (SAB)
	b. Tính góc giữa đường thẳng SC và (SAB)
	c. Gọi là góc giữa (SCD) và (ABCD). Tính 
5
(3đ)
S
D
A
I
H
C
B
0.5
a
ABCD là hình vuông cạnh 3 cm AB = 3 cm
Tam giác SAB đều SB = 3 cm
Mà SC = cm SC2 = SB2 + BC2 BC SB (1)
ABCD là hình vuông BC AB (2) 
Từ (1) và (2) suy ra BC (SAB)
1.0
b
Do BC (SAB) nên SB là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB). Do đó góc giữa đường thẳng SC và (SAB) là 
 vuông cân tại B = 450 
0.75
c
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD thì SH (ABCD) 
 SH CD
Mà CD HI nên suy ra CD SI
Ta có: SI (SCD), SI CD; HI (ABCD), HI CD; 
(SCD) (ABCD) = CD suy ra 
 vuông tại H có HI = a, SH = 
0.75
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, . M và N lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng SB và SD.
	a, Chứng minh rằng 
	b, Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
4a
 S
 N
 M D 
 A
 B C 
Ta có: và do đó:
 (1).
Mà: (gt) (2). Từ (1) và (2) suy ra: .
 (3)
0,75
1,5
Tương tự ta cũng chứng minh được: (4)
Từ (3) và (4) suy ra: . (đpcm)
0,75
4b
Ta có: AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SCA (Đặt là góc ) 
0,75
1,5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B 	
	với AB = BC = = a và SA (ABCD) , SA = 
	 	a) Chứng minh rằng: SAB và SBC là các tam giác vuông
	b) Xác định và tính góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD)
	c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SD và SC.
	 Đường thẳng EF cắt mp(ABCD) tại G. Chứng minh rằng: AF SD 	 và ba điểm A, B, G thẳng hàng
5(3đ)
S
G
Hinh vẽ (0,5đ)
E
F
I
D
A
B
B
C
0,5
a) (1đ) C/M và vuông
 vuông tại A
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) vuông tại B
b) (1đ) Xác định và tính góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD)
Gọi I là trung điểm của AD . Ta có BC = AI ; BC // AI và 
 là hình vuông 
Xét có vuông tại C 
Mặt khác 
Từ (1) và (2) Góc giữa 2 mp(SCD) và mp(ABCD) là góc 
Trong vuông tại A ta có:
0,5
0,5
0,5
0,5
c) (0,5đ) Ta có AF SC (gt) 	 (1)
Từ (1) và (2) AF (SCD) AF SD (3)
Ta có AE SD (gt) (4)
Từ (3) và (4) SD (AEF) mà AG (AEF) SD AG (5)
Mắt khác AG SA ( Do SA (ABCD) và AG (ABCD) ) (6)
Từ (5) và (6) AG (SAD) (7)
Ta có AB (SAD) ( Vì AB SA và AB AD ) (8)
Từ (7) và (8) AG trùng với AB Ba điểm A, B, G thẳng hàng 
0,25
0.25
Cho hình choùp S.ABCD coù SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD).
Ñaùy ABCD laø hình bình haønh, SA = AC = a; ACD = 300 . 
Goïi H laø trung ñieåm cuûa SC. Haï SN vuoâng goùc vôùi CD (NCD); AK vuoâng goùc vôùi SN (KSN).
a) Chöùng minh: CD(SAN).
b) Chöùng minh: AKSC.
c) Chöùng minh: (SBC)(AHK).
d) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SCD).
4
4a
(0,75ñ)
* Chöùng minh: CD(SAN)
Töø (1) vaø (2) suy ra CD(SAN)
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
4b
(0,75ñ)
* Chöùng minh: AKSC.
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
4c
(0,5ñ)
* Chöùng minh: (SBC)(AHK).
 Vì H laø trung ñieåm SC, SAC caân taïi A 
 Maø 
0,25ñ
0,25ñ
4d
(0,5ñ)
* Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SCD).
 Theo caâu b) 
Ta coù ANC vuoâng taïi N
SAN vuoâng taïi A (Vì ); AK laø ñöôøng cao
0,25ñ
0,25ñ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng , SA = a .
a/. Chứng minh: ^ . 
 	b/. Gọi H là hình chiếu của A trên SO, chứng minh: AH ^ .
 	c/. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng . 
	d/. Tính diện tích tam giác SBC. 
a/. Chứng minh: ^ . 	
	 Ta có 
 Û BD ^ 
 Mặt khác BD Ì Þ ^ 
 Vậy ta có ^ „(đpcm) 
1đ
b/. Gọi H là hình chiếu của A trên SO, chứng minh: AH ^ .
 Ta có 
 Mặt khác : Þ AH ^ „(đpcm)
1đ
 c/. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng . 
Dựng AH ^ SD ta có AH = d 
 Thật vậy: 
 ta có Þ CD ^ Þ CD ^ AH
 Þ Þ AH ^ Þ H là hình chiếu của A trên 
Hay AH = d 
 Ta có D SAD vuông cân tại A, AH ^ SC Þ AH = SD = 
	Vậy d = 
0,5d
0,5d
d/. Tính diện tích tam giác SBC.
 Ta có 
 Þ = = a = 45 (vì D SAB vuông cân tại A)
 Ta có S = S = 
 Ta có DABC là hình chiếu của DSBC trên mp 
 Þ S = = = . = 
0,5đ
0,5d