Bài tập diện tích đa giác - Bồi dưỡng HSG (lớp 8)

BÀI TẬP DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
BỒI DƯỠNG HSG
(Lớp 8)
Châu Trần Duyên Anh
Ngày 13 tháng 2 năm 2015
Bài 1. Cho hình vuông AB C D có tâm O . Qua O vẽ hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc nhau. Gọi M , N lần
lượt là giao điểm của d1 với các cạnh AD , B C ; gọi P,Q lần lượt là giao điểm của d2 với các cạnh C D , AB .
Chứng minh rằng SAM OQ = SB N OQ = SC N O P = SD M O P .
Bài 2. Cho hình chữ nhật AB C D có AB = 6c m , AC = 10c m . Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và B D ;
M , N , P,Q lần lượt là trung điểm O A, O B , O C , O D .
1. Tính diện tích tứ giác M N PQ ;
2. Chứng minh rằng SAM N P = SC P QD và SB N P C = SAM QD .
Bài 3. Cho hình thang AB C D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai đáy B C và AD . Trên M N lấy điểm O
tùy ý, qua O kẻ đường thẳng song song với B C cắt AB ở P , cắt C D ở Q . Chứng minh rằng SM N P = SM N Q .
Hướng dẫn: Hai tam giác AP N và Q D N có cùng diện tích do khoảng cách từ P,Q đến AD bằng nhau và
N A =N D ; tương tự hai tam giác B M P và C M Q cũng có cùng diện tích.
Bài 4. Cho hình thang AB C D có hai đáy AB và C D . Gọi E , F,G , K lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB , B C , C D , D A
1. Chứng minh rằng SAB C D = 2SE F G H ;
2. Cho AC = 10c m , B D = 6c m , E F = 4c m . Tính SAB C D .
Bài 5. Cho tam giác AB C vuông tại C có B C = a , AC = b . Về phía ngoài tam giác AB C , vẽ tam giác D AB
vuông cân tại D . Gọi H , K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D lên C B , C A. Tình diện tích tứ giác
D H C K .
Bài 6. Cho hình thang AB C D có diện tích S , đáy D C gấp đôi đáy AB . Gọi M là trung điểm của AD , K là giao
điểm của B M và AC . Tính diện tích tam giác AB K .
Bài 7. Cho hình bình hành AB C D có diện tích S . Gọi M , N , I , K theo thứ tự là trung điểm của AB , B C , C D , D A.
Gọi E , F theo thứ tự là giao điểm của K B với AI và M C . Gọi H ,G theo thứ tự là giao điểm của D N với
AI và M C .
1. Chứng minh rằng E F G H là hình bình hành ;
2. Tính diện tích hình bình hành E F G H theo S .
Bài 8. Cho tam giác AB C . Lấy các điểm D , E , F theo thứ tự thuộc các cạnh AB , B C , C A sao cho AD =
1
3
AB , B E =
1
3
B C , C F =
1
3
C A. Các đoạn thẳng AE , B F, C D cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng diện
tích tam giác này bằng
1
7
diện tích tam giác AB C
Bài 9. Cho hình thoi AB C D có cạnh bằng a . Lấy điểm M trên cạnh AD , điểm N trên cạnh C D sao cho D M =
C N . Tính diện tích hình thoi AB C D biết tam giác M B N đều.
Châu Trần Duyên Anh 1
Bài 10. Cho hình bình hành AB C D . Các điểm E , F,G , H theo thứ tự thuộc các cạnh AB , B C , C D , D A sao cho
E G không song song với AD . Biết diện tích tứ giác E F G H bằng nửa diện tích hình bình hành AB C D .
Chứng minh rằng H F song song C D .
Bài 11. Cho tam giác AB C có diện tích S , gọi E là trung điểm AC . Lấy D trên cạnh B C sao cho B D =
1
3
B C ,
lấy G trên cạnh AE sao cho AG =
1
3
AE . Đoạn thẳng AD cắt BG , B E theo thứ tự tại M , N . Tính diện tích
tứ giác M N E G theo S
Bài 12. Cho tam giác AB C có diện tích S . Các điểm D , E , F theo thứ tự thuộc các cạnh AB , B C , C A sao cho
AD = D B , B E =
1
2
E C , C F =
1
3
F A. Các đoạn thẳng AE , B F, C D cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính
diện tích tam giác đó.
Bài 13. Cho tam giác cân AB C , biết AB = AC = 5c m , B C = 6c m . Gọi O là trung điểm đường cao AH . Các tia
B O , C O lần lượt cắt các cạnh AC , AB tại D , E . Tính diện tích tứ giác AD O E .
Hướng dẫn. Gọi N là trung điểm C D . Khi đó tam giác AO D và tam giác AO C có cạnh đáy AD =
1
3
AC ,
chung chiều cao kẻ từ O nên SAO D =
1
3
SAO C . Hãy chứng minh SAO C =
1
2
SAH C ,SAH C =
1
2
SAB C . Vậy SAO D =
1
12
SAB C . Tương tự SAO E =
1
12
SAB C .
Bài 14. Cho tứ giác AB C D . Trên tia đối các tia B A, C B , D C , AD lấy tương ứng các điểm M , N , P,Q sao cho
M A = B A, N C =C B , P D =D C ,Q A = AD . Chứng minh rằng SM N PQ = 5SAB C D
Hướng dẫn. Hãy chứng minh SP DQ = 2SAD C ,SM N B = 2SAB C ,SM AQ = 2SAB D ,SN C P = 2SB C D .
Bài 15. Cho tam giác đều AB C và M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M lên các cạnh AB , AC , B C Chứng minh rằng M M1 +M M2+M M3 không phụ thuộc vào
vị trí M
Bài 16. Cho hình bình hành AB C D có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của cạnh B C ; AM cắt đường chéo
B D ở Q . Tính diện tích tứ giác M Q D C .
Hướng dẫn. Gọi E là trung điểm AD , nối C E cắt B D tại N . Vận dụng tính chất đường trung bình tam giác
ta được BQ =Q N =N D =
1
3
B D . Hãy chứng minh SM BQ =
1
6
SB C D
Bài 17. Cho tứ giác AB C D . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , B C , C D . Chứng minh rằng
SM N P =
1
4
SAB C D .
Hướng dẫn. GọiQ là trung điểm AD ; E , F lần lượt là giao điểm AC với M Q , N P . Khi đó SM N P =
1
2
SM N PQ .
Bài 18. Cho tam giác AB C có đáy B C cố định, đỉnh A di động trên một nửa mặt phẳng bờ là B C sao cho diện
tích tam giác AB C không đổi. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác di động trên một đường thẳng cố
định.
Bài 19. Cho tam giác AB C có diện tích bằng 1. Trên đường trung tuyến B K lấy điểm M sao cho M K =
1
4
B K ;
đường thẳng AM cắt B C tại L . Tính diện tích tam giác AC L .
Hướng dẫn. Qua K kẻ đường thẳng song song với AL cắt LC tại H , trên đoặn M B lấy E , F sao cho
M E = E F = F B . Qua E , F kẻ các đường thẳng song song với K H cắt B L ở P,Q . Khi đó BQ =Q P = P L =
H C =
1
5
B C .
Bài 20. Cho tam giác AB C . Xác định vị trí M trên cạnh B C sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến AM lớn
nhất.
Bài 21. Cho tam giác AB C . Gọi D là trung điểm B C . Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F .
Châu Trần Duyên Anh 2
Chứng minh rằng SD E F ≤
1
2
SAB C .
Bài 22. Cho ngũ giác lồi AB C D E có A1, B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , B C , C D , D E , E A.
Chứng minh rằng SA1 B1C1D1E1 >
1
2
SAB C D E .
Hướng dẫn. Hãy chứng minh SAB C D E −SA1B1C1D1E1 <
1
2
SAB C D E .
Bài 23. Cho tứ giác AB C D và M là trung điểm cạnh B C , N là trung điểm cạnh AD . Gọi K là giao điểm của
AM với B N , T là giao điểm của C N với D M . Chứng minh rằng SM T N K = SAB T +SC D K .
Bài 24. Cho hình bình hành AB C D . Gọi M , N , P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB , B C , C D , D A; BQ cắt
AP và C M ở E và F , D N cắt AP và C M ở H và G . Chứng minh rằng SE F G H =
1
5
SAB C D .
Bài 25. Cho hình bình hành AB C D . Gọi M , N lần lượt là hai điểm trên cạnh B C , C D . Đường chéo B D cắt AM
và AN theo thứ tự tại E , F . Các đường thẳng qua E song song B C , qua F song song AD cắt nhau ở I
1. Chứng minh SAE F = SI D B ;
2. Giả sử SAE F = SE M N F , chứng minh ba điểm M , I , N thẳng hàng.
Hướng dẫn. Gọi O là giao điểm AI với B D , P là giao điểm B I với AM , Q là giao điểm D I với AN . Hãy
chứng minh SF AI = SF B I , khi đó SO AF = SB O I . Tương tự SAO E = SD O I ; để chứng minh M , N , I thẳng hàng ta
cần chứng minh SE M N F = SE M I N F .
Bài 26. Cho tam giác AB C có ba góc nhọn, vẽ các đường cao B D , C E . Gọi H , K theo thứ tự là hình chiếu vuông
góc của B , C lên đường thẳng E D . Chứng minh rằng
1. E H =D K
2. SB E C +SB D C = SB H K C .
Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm E D , vẽ E E ′, I I ′, D D ′ vuông góc B C , qua I vẽ đường song song với B C
cắt B H và C K lần lượt tại P và Q . Hãy chứng minh SB E C +SB D C = SB PQC = B C .I I
′ và SB PQC = SB H K C
Bài 27. Cho tam giác AB C có diện tích S . Lấy các điểm E ,G trên B C sao cho B E = E G =G C . Gọi D , H theo
thứ tự là trung điểm AC , AB ; I là giao điểm G H và B D ; K là giao điểm AG và B D . Tính diện tích tứ giác
E I K G .
Hướng dẫn. Gọi F là trung điểm G C , BG =
4
5
B F . Đặt SI G K = a , hãy chứng minh SAI G =
5
2
a ,SB I G =
5
2
a ,SI E G =
5
4
a . Khi đó SE I K G =
5
4
a +a =
4
9
a ,SAB C =
105
8
a và SE I K G : SAB C =
6
35
.
Bài 28. Cho tam giác AB C . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh B C và hai đỉnh còn lại lần lượt
nằm trên hai cạnh AB và AC . Hãy tìm tình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài 29. Cho tam giác AB C có diện tích S và M là một điểm tùy ý bên trong tam giác
1. Chứng minh rằng S ≤
1
4

AM .B C +B M .AC +C M .AB


;
2. Tìm vị trí của M để S lớn nhất.
Hướng dẫn. Hạ B B1, C C1 vuông góc AM ;S = SAB M +SB M C +SC M A .
Bài 30. Cho tam giác AB C có I là trung điểm B C . Lấy E , F lần lượt trên AB , AC
1. Chứng minh SI E F ≤
1
2
SAB C ;
2. SI E F đạt giá trị lớn nhất khi nào.
Châu Trần Duyên Anh 3