Bài tập dành cho học sinh lớp 7

. Bài tập dành cho học sinh lớp 7 
Bài tập bđt thuộc chương trình hình học lớp 7, chủ yếu xoay quanh quan hệ giữa các 
cạnh, các góc và giữa độ dài các đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác 
…trong tam giác. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng các bđt hình học như: bđt về 
quan hệ góc và cạnh đối diện, bđt về đường xiên và hình chiếu, bđt tam giác. 
Bài 1: Cho 
D
ABC, tia phân giác góc A cắt BC ở điểm D. 
So sánh độ dài DB, DC ? 
Bài 2: Cho 
D
ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC ở điểm D. 
CMR: AD < min(DC , AB). 
Bài 3: Gọi điểm M là trung điểm cạnh BC của 
D
ABC. 
CMR: AC > AB 
Û 
MABMAC 
Ð>Ð 
. 
Bài 4: Cho 
D
ABC với 
0 
90 
CB 
Ð<Ð< 
, trên BC lấy các điểm H, D, M sao cho 
,, 
AHBCBADCADMBMC 
^Ð=Ð= 
. CMR: AH < AD < AM. 
Với điều kiện nào của tam giác thì đẳng thức xảy ra ? 
Bài 5: Cho điểm M nằm trong 
D
ABC cân tại A. 
CMR: MB < MC 
AMCAMB 
ÛÐ<Ð 
. 
Bài 6: Cho 
D
ABC , các điểm H và M thuộc cạnh BC sao cho: 
AH
^
BC, MB = MC . 
CMR: (AB + AC - BC )/2 < AH 
£ 
AM < ( AB + AC )/2. 
Bài 7: Cho 
D
ABC vuông tại A, với AH là đường cao. 
CMR: AB + AC - BC < AH 
£ 
BC/2 
Bài 8: Cho 
D
ABC cân tại A, các điểm E, F thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho: 
AE = AF. CMR: BC + EF < 2BF. 
Bài 9:Cho 
D
ABC với AB< AC , tia phân giác góc A cắt BC ở điểm D, lấy điểm E trên 
AD. CMR: EC - EB < AC - AB . 
Bài 10: Cho 
D
ABC cân ở A, trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm Dvà E sao cho: 
AD + AE = AB + AC. CMR: BC < DE 
Bài 11:Cho 
D
ABC , trên tia phân giác ngoài của góc A lấy điểm E.
CMR: AB + AC < EB + EC . 
Bài 12: Cho 
D
ABC với AB< AC , trên trung tuyến AM lấy điểm E 
CMR: 
ECBEBC 
Ð<Ð 
. 
Bài 13: Cho 
D
ABC với AB < AC , về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều: 
, 
AEBAFC 
DD 
, gọi M là trung điểm của BC .CMR: ME < MF 
Bài 14: Cho 
D
ABC có BC là cạnh nhỏ nhất, kẻ AH 
^ 
BC , điểm M là trung điểm AC 
sao cho: AH = BM . CMR: 
0 
60 
B 
Ð< 
Bài 15: Cho 
D
ABC với AB< AC , kẻ các trung tuyến BB’ và CC’ . 
CMR: BB’ < CC’. 
Bài 16: Cho 
D
ABC với 
0 
90 
B 
Ð> 
, AC = 2AB. 
CMR: a/ AB < BC 
b/ 
2 
AC 
Ð<Ð 
. 
Bài 17: Cho 
D
ABC với AB< AC , kẻ các đường cac BE và CF 
CMR: AB + CF < AC + BE. 
Bài 18: Cho 
D
ABC đều cạnh a. Các điểm E, F thứ tự thuộc BC , AC sao cho: BE = 
CF. CMR: EF 
³ 
a/2. 
Bài 19: Cho 
D
ABC có 
0 
90 
B 
Ð> 
, trên BC lấy M, N sao cho: BM = CN. 
CMR: AB + AC > AM + AN. 
Bài 20: Cho 
D
ABC vuông tại A, kẻ AH 
^
BC , trên AB, AC thứ tự lấy các điểm E , D 
sao cho 
0 
90 
EHD 
Ð= 
. CMR: DE 
³ 
AH. 
Bài 21: Cho
D
ABC với AB > AC , kẻ AH 
^
BC ( H thuộc BC ). Các đường phân giác 
trong của góc B, góc C cắt AH thứ tự ở E, F. 
CMR: BE > EF + FC. 
Bài 22: Cho 
D
ABC với AB> AC , kẻ các trung tuyến BM và CN. 
CMR: BM - CN < 3/2(AB- AC ) . 
Bài 23: Cho ABC với AB> AC trên hai cạnh đó lấy các điểm M, N sao cho AM = AN. 
D
Gọi K là giao điểm của BN và CM. CMR: KB > KC . 
Bài 24:Cho 
D
ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D sao cho : CD = 2BD
CMR: 
2 
CADBAD 
Ð>Ð 
. 
Bài 25: Cho 
D
ABC với AB> AC , điểm M thuộc BC . 
Kẻ ME 
, 
ABMFAC 
^^ 
(E thuộc AB, F thuộc AC ). Dựng các đường cao CK, BH của 
tam giác. CMR: CK 
MEMFBH 
£+£ 
. 
Bài 26:Cho hai điểm A, B .Tìm điểm M trong mặt phẳng sao cho MA < MB. 
Bài 27:Cho góc xOy, tìm các điểm M thuộc miền trong của góc sao cho: 
MK < MH( K, H thứ tự là hình chiếu của M xuống các tia Ox, Oy). 
Bài 28: Cho 
D
ABC , kẻ các trung tuyến AM, BN, CK. 
CMR: AM, BN, CK lập thành độ dài ba cạnh một tam giác. 
Bài 29: Cho 
D
ABC vuông tại A, kẻ AH 
^
BC. Gọi D, E thứ tự là trung điểm của BH 
và AH, K = CE 
Ç
AH. CMR: CK < AH. 
Bài 30:Cho
D 
ABC cân tại A, kẻ AD 
, 
BCDHAC 
^^ 
(H thuộc AC ). 
Gọi I là trung điểm DH và J= AI 
Ç
BH. 
CMR: AJ < AH. 
Hướng dẫn giải. 
Bài 1: Nếu AB = AC 
Þ 
DB = DC 
Giả sử AB< AC , trên AC lấy E sao cho AE = AB 
() 
ABDAEDcccDEDB 
ÞD=D--Þ= 
Trong 
D
DEC có 
DECADEADBC 
Ð>Ð=Ð>Ð 
Þ 
DC > DE = DB. 
Tương tự: AB> AC thì DC < DB. 
Bài 2: Trên BC lấy E sao cho: AB = AE. Trong 
D 
ABD: 
ABDADB 
Ð<Ð 
Þ
AD < 
AB. Trong 
D
DEC có: AD = DE < DC. Vậy AD < min(AB, DC ). 
Bài 3: Kéo dài AM, trên đó lấy K sao cho: AM = MK 
Þ 
AMBKMCABKC 
D=DÞ= 
Giả sử : AC > AB = KC suy ra trong 
D
AKC : 
MABAKCMAC 
Ð=Ð>Ð 
Trường hợp thứ hai lý luận ngược lại.
Bài 4: Từ gt suy ra các tia AH, AD, AM cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC (1) Do AB 
< AC 
2 
A 
BCCAM 
Ð 
ÞÐ>ÐÞÐ= (2) 
Trong 
D
CAH có: 
2 
A 
CAH 
Ð 
Ð> (3). Từ các điều (2), (3) suy ra: 
CAMCADCAH 
Ð<Ð<Ð 
(4). Từ (1)&(4) 
Þ 
đpcm. 
Bài 5: Giả sử MB< MC , dựng đoạn AK ở ngoài 
D
ABC sao cho (Hình vẽ): 
ABMACKKCMBMCKMCMKC 
D=DÞ=<ÞÐ<Ð 
Mặt khác do 
D
MAK cân tại A 
AMKAKM 
ÞÐ=Ð 
suy ra: 
AMCAKCAMB 
Ð<Ð=Ð 
(đpcm). 
Chú ý rằng ở bài này có thể thay giả thiết: 
MB< MCbằng gt M nằm trong 
D
AHB với AH là đường cao của 
D
ABC. 
Bài 6: + Sử dụng bđt tam giác trong các tam giác AHB và AHC ta có: 
(AB + AC - BC )/2 < AH 
+Từ bài4 
Þ 
AH 
£ 
AM. 
+Ta chứng minh: AM < (AB + AC )/2. 
Kéo dài AM trên đó Lấy K sao cho: AM = MK 
AMBKMC 
ÞD=D 
(c-g-c) 
Þ 
AB= KC , áp dụng bđt tam giác trong 
D
ACK ta có đpcm. 
Từ bài toán nàysuy ra bđt quen thuộc như sau: 
AM + BE + CF < AB + AC + BC 
(Với AM, BE, CF là độ dài ba đường trung tuyến của 
ABC 
D 
) 
Ký hiệu G là trọng tâm 
D
ABC , sử dụng bđt tam giác trong các tam giác GBC, 
GAB, GAC thì ta có bđt sau đây: 
AM + BE + CF > 3/4(AB + AC + BC ). 
Bài 7: +Trên BC lấy E sao cho BE = AB, trên AC lấy K sao cho AK = AH 
Þ 
CE = BC- AB và CK= AC - AH. Mặt khác có thể nhận thấy: 
0 
()90 
KAEHAEcgcKH D=D--ÞÐ=Ð=
Trong 
D
EKC ta có :CE > CK suy ra đpcm. 
+Ta đã biết AH 
£ 
AM với AM là độ dài đường trung tuyến. 
Khi đó : AM = BC/2 :thật vậy, kéo dài AM trên đó lấy N sao cho AM = MN 
Þ 
()2 
BACNCAcgcBCANAM 
D=D--Þ== 
. 
Từ bài này suy ra: nếu 
D
ABC vuông tại A thì: (AB + AC )/BC < 3/2 
Bài 8:Trên tia đối tia CB lấy K sao cho CK = EF 
BEFFCK 
ÞD=D 
(c-g-c) 
Trong 
D
BFK : 2BF = BF + FK > BK = BC + EF 
Bài 9:Trên AC lấy K sao cho AB= AK 
ABEAKEEBEK 
ÞD=DÞ= 
Trong 
D
EKC : KC > EC - EK hay là AC - AB > EC - EK. 
Bài 10: Kẻ DH 
,(,) 
BCEKBCHKBC 
^^Î 
BHDCKEBHCK 
BCHKDE 
ÞD=DÞ= 
Þ=< 
Qua bài toán có nhận xét như sau: trong tất cả các tam giác chung một góc và tổng hai 
cạnh kề góc đó không đổi thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất. 
Bài 11:Gọi d là đường thẳng chứa tia phân giác ngoài góc A, kẻ đường thẳng vuông góc 
với d cắt AC kéo dài tại D, khi đó d là đường trung trực của BD 
EBEDEBECECEDDCABAC 
Þ=Þ+=+³=+ 
Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng toán cực trị như sau: 
Tìm điểm E trên phân giác ngoài góc A của 
D
ABC sao cho chu vi 
D
EBC nhỏ nhất. 
Bài 12: Xét các 
, 
AMBAMC 
DD 
có AM là cạnh chung, MB = MC , AB < AC 
AMBAMC 
ÞÐ<Ð 
. Từ đó trong các tam giác: 
, 
BMECMEEBECECBEBC 
DDÞ<ÞÐ<Ð 
(đpcm). 
Bài toán đảo của bài toán12 như sau: Cho điểm E nằm trên đường trung tuyến AM của 
D
ABC thoả mãn: 
ECBEBC 
Ð<Ð 
. CMR: AB < AC 
Bài 13: Kéo dài AM, trên đó lấy điểm I 
sao cho MA= MI từ đó: 
() 
CIFBIEcgcIFIE 
ÞD=D--Þ=
Trong các 
, 
EAIAFIFIAAIE 
DDÞÐ>Ð 
. 
Xét các 
, 
IEMIFMMFME 
DDÞ> 
Bài 14: Để giải bài này trước hết ta cần có ba định lý sau đây: 
ĐL1: Trong một tam giác đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất, song song với 
cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại. 
ĐL2: Trong một tam giác đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song và 
bằng nửa cạnh còn lại. 
ĐL3:Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc nhọn 
ứng với cạnh đó bằng 
0 
30 
. 
Chứng minh các ĐL trên (bằng kiến thức lớp7) được trình bày trong cuốn sách “Nâng 
cao và phát triển toán7” của NGND Vũ Hữu Bình. 
Giải bài toán: 
Kẻ MI//AH và MN//BC (I thuộc BC , N thuộc AB). 
Þ 
MI = 1/2AH = 1/2BM 
0 
30 
MBC 
ÞÐ= 
Bởi vì: MN = 1/2BC 
0 
1/230 
ABBNABMMBC 
£=ÞÐ<Ð= 
0 
60 
B 
ÞÐ< 
Bài 15: Kẻ B’J//CC’ và B’I//AB, B’H 
^ 
BC. 
Þ 
IB’ = BC’ = 1/2AB 
JB’ = CC’, C’B’= CJ = BI 
Þ 
CB’ = 1/2AC > 1/2AB = BC’ = IB’ 
Þ 
HC > HI 
Þ 
BH = BI + IH < BI + HC = CJ + HC = HJ 
Þ 
BB’ < JB’ = CC’. 
Bài toán này chính là định lý: Trong các đường trung tuyến của một tam giác, đường 
trung tuyến nào ứng với cạnh nhỏ hơn sẽ lớn hơn 
Bài 16:a/ Sử dụng phản chứng. 
b/ Dựng trung trực MN của AC (N thuộc BC ).
12 
0 
1212 
22 90 ACAAC 
BBBMM 
MBMNNB 
ÞÐ=ÐÞÐ=Ð-Ð 
Ð>ÞÐ+Ð>Ð+Ð 
ÞÐ do 
D
ABM cân tại A 
Xét các tam giác: 
, 
ABNAMN 
DD 
ta có: 
211 2 
AAACACAC 
Ð<ÐÞÐ-Ð<Ð=ÐÞÐ<Ð 
Bài 17: Trên AC lấy I sao cho AB= AI thì 
D
ABI cân tại A. 
Kẻ 
, 
IJABIHCF 
^^ 
(J và H thứ tự thuộc AB, CF ) 
Þ 
IJ = BE = FH (1), trong 
D
IHC : HC < IC (2). Từ các điều(1)&(2) : 
AC + BE = AI + IC + FH > AB + HC + FH= AB + CF (đpcm) 
Vấn đề đặt ra:khai thác bài toán này như thế nào?. 
Từ bđt AB+ CF< AC + BE , nhân hai vế của bđt với tích BE.CF suy ra: 
2S.BE + 
22 
.2.. 
BECFSCFCFBE 
<+ 
(S là số đo diện tích 
D
ABC ) 
.()2() 
.2 
CFBECFBESCFBE 
CFBES 
Û-<- 
Û< 
Vậy ta có bài toán mới:Cho 
D
ABC có AB < AC , kẻ các đường cao BE và CF ký hiệu S 
là số đo diện tich tam giác. 
CMR : CF.BE < 2S 
Bài 18: Kẻ các đường vuông góc: 
00 
,(,) 
6030 
FMABENABMNAB 
AAFM 
^^Î 
Ð=ÞÐ= 
Þ 
MA= 1/2AF, tương tự :BN = 1/2BE khi đó : 
AM + BN = 1/2(AF + BE ) = a/2 
Þ
MN = AB- MA- BN = a/2 
Kẻ EK 
()/2 
MFKMFEFEKMNa 
^ÎÞ³== 
Bài 19: Trên tia đối tia MA lấy điểm K sao cho: AN = MK. 
Xét các tam giác: 
, 
ANCBMK 
DD 
nhận thấy: 
ANCAMNBMKACBK 
Ð>Ð=ÐÞ> 
.
Þ 
AB + BK > AK 
Þ 
AB + AC > AB + BK > AK = AM + AN. Sau khi giải 
xong bài toán nên đặt câu hỏi: giả thiết góc B tù có ý nghĩa gì trong lời giải trên 
đây?.Liệu có thể tìm một lời giải khác không?. 
Bài 20: Gọi O là trung điểm ED, khi đó AO là trung tuyến của 
D
EAD 
Þ 
AO = 1/2DE , tương tự OH = 1/2DE 
Ta có DE = EO + OD = AO + OH 
³ 
AH 
Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng bài toán cực trị như sau: 
Cho 
D
ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm E, D sao cho 
0 
90 
EHD 
Ð= 
(AH là đường cao của tam giác). Tìm minDE ?. 
Mặt khác nghiên cứu lời giải trên, nhận thấy khi thay đổi giả thiết: 
0 
90 
EHD 
Ð= 
bằng các điều kiện: 
, 
MEABMDAC 
^^ 
thì kết quả bài toán vẫn không 
thay đổi. 
Bài 21: Giả sử BE cắt CF tại điểm I , AB > AC suy ra: 
2 A 
BCCAHBAHBAH 
BAIBAH 
Ð 
Ð<ÐÞÐ<ÐÞ<Ð 
ÞÐ<Ð 
Þ 
I nằm giữa B, E : BE = AI + IE . 
Do I, C là khác phía so với AH 
Þ 
IC = IF + FC . 
Cũng từ giả thiết : 
BCIBCICBBICI 
Ð 
. 
Þ 
BE = BI + IE > IC + IE = (IF + FC ) + IE = FC + (IE + IF ) > FC + EF . 
Þ 
BE > EF + FC 
Bài 22: Giả sử BM, CN giao nhau tại G 
Do AB > AC cho nên: 
CAGBAG 
Ð>Ð 
. 
Dựng ra phía ngoài 
D
ABC sao cho: 
AC = AF, 
CAGFAG 
Ð=Ð 
Vậy AG là đường trung trực của FC 
Þ 
GF = GC. 
Gọi giao GF và AB là E , trong các tam giác: 
, 
AEFBEG 
DD 
ta có:
AB + GF = (BE + EG ) + ( EF + EA ) > BG + AF 
Þ 
AB + GC > BG + AC 
Þ 
AB- AC > BG - GC = 2/3(BM - CN) 
Vậy BM - CN <3/2(AB- AC ). 
Bài 23: Trên AB lấy I sao cho: AI = AC 
Þ 
AMCANI 
D=D 
(c-g-c) 
Þ 
IN = MC, 
D
AIC cân tại A 
0 
90 
AIC 
ÞÐ< 
00 
9090 
AINBINBNINMC 
ÞÐÞ>= 
(1). 
Mặt khác tia NI nằm giữa tia NM, NB 
NMKMNKKNKM 
ÞÐ<ÐÞ< 
(2) 
Từ (1)&(2) suy ra: BK + NK > MK + KC 
Hay là : BK > (MK- NK ) + KC > KC 
Bài 24:Gọi M là trung điểm của DC 
trên tia đối của tia MA lấy E sao cho AM = ME khi đó : 
3 
() 
, 
AMCEMDcgc 
EAACDE 
ÞD=D-- 
ÞÐ=Ð= 
11 
23 
DBDC 
ACADDEAD 
AEA 
Ð>ÐÞÐ>Ð 
Þ>Þ> 
ÞÐ>Ð=Ð 
23131 
2 
2 
AAAAA 
CADBAD 
ÞÐ+Ð>Ð+Ð=Ð 
ÞÐ>Ð 
Một câu hỏi đặt ra: hãy tổng quát hoá bài toán? 
Bài 25: Theo giả thiết AB > AC 
Þ 
BH > CK 
Kẻ MI 
(), 
BHIBHJMIAB 
^Î=Ç 
.Nhận thấy MF= HI (1) 
Trong 
, 
BMJBCBMJ 
DÐ<Ð=Ð 
Þ 
MJ <BJ 
Þ
BI > ME (2) 
Từ (1)&(2) 
Þ 
ME + MF < IH + IB = BH 
Tương tự: CK < ME + MF 
Bài 26:Dựng đường trung trực của AB là (d) 
Giả sử d cắt AB ở N, gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB.
Theo giả thiết : MA < MB 
HAHBHtiaNA 
Û<ÛÎ 
Þ
M thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ d (không kể đường thẳng d) 
Bài 27: Kẻ MN//Oz, NI 
^
MH(N thuộc Ox, I thuộc MH) 
Þ 
NM là tia phân giác 
Ð
KNI 
MINMKNMIMK 
ÞD=DÞ= 
Do I nằm giữa các điểm H và M: 
MH = MI + HI > MI = MK 
Vậy nếu điểm M thuộc góc xOz thì MH> MK 
Từ bài toán này có thể giải được những bài toán sau đây: 
BT1: Cho 
D
ABC tìm tập hợp các điểm M trong tam giác sao cho: 
MA < MB < MC 
BT2: Tìm tập hợp các điểm M trong 
D
ABC sao cho: MK < MH < MI 
với K, H,I thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, BC , AC 
Bài 28:Gọi I là trung điểm của GC , trong 
D
GMI ta có: 
GM = 1/3AM , GI = 1/2GC = 1/3CK 
Mặt khác trong 
D
BGC , I và M là trung điểm của GC, BC suy ra: 
MI//BG, MI = 1/2BG 
Þ 
MI = 1/3BN, bởi vì GM, GI, MI là ba cạnh của 
D
GMI suy 
ra AM, BN, CK cũng lập thành độ dài ba cạnh một tam giác. 
Một vấn đề cần nghiên cứu đối với HS, nếu thay giả thiết các đường trung tuyến 
AM, BN, CK là các đường cao hoặc đường phân giác khi đó kết quả bài toán như thế 
nào? 
Hãy chỉ ra phản ví dụ để chứng tỏ nói chung bài toán không còn đúng?. 
Bài 29:Sử dụng các ĐL trong bài 14 
(về đường trung bình của tam giác) 
suy ra DE//AB 
DEACCKAD 
CKAC 
Þ^Þ^ 
Þ< 
Bài 30:Do 
D
ABC cân tại A 
ADBC 
Þ^ 
gọi E là trung điểm HC
// 
DEBH 
Þ 
tương tự như vậy IE//DC 
Mà 
DCADEIAD 
^Þ^Þ 
I là trực tâm 
của 
D
ADE 
AIDE 
Þ^ 
AIBH 
Þ^ 
trong 
D
AJH vuông tại J: 
AJ < AH (đpcm)