Bài tập cơ bản và nâng cao về tính chất của các đường trong tam giác

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TUYẾN CỦA TAM GIÁC
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Cho   ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm
D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đường
thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.
Xem lời giải tại:
2. Cho   ABC, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Cho biết 
. Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
3. Cho   ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF gặp
nhau tại G. Hãy so sánh GA, GB, GC.
Xem lời giải tại:
4. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác
đó là tam giác cân.
Xem lời giải tại:
5. Cho   ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho  . Trên tia AD lấy
điểm E sao cho D là trung điểm của AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB
và BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, E thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
6. Cho   ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một
đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là
trọng tâm của   ABI.
Xem lời giải tại:
7. Cho   ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
Xem lời giải tại:
8. Cho  , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh
rằng:
a.  .
b. 
Xem lời giải tại:
9. Cho   ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm.
Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2).
Xem lời giải tại:
10.   có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng   ABC
vuông tại A.
Xem lời giải tại:
11. Cho  , ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song
song với AD cắt ED tại I.
a.  Chứng minh rằng IC // BE và IC = BE.
b.  Cho biết AD   BE, chứng minh  ICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác
này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của  .
Xem lời giải tại:
12.   có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
13. Cho  , hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho
. Chứng minh rằng: 
Xem lời giải tại:
14. Cho   cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho 
. Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
CỦA TAM GIÁC
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
15. Cho   ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác đó cắt nhau tại O.
Tia AO cắt BC tại M. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để  .
Xem lời giải tại:
16. Cho   ABC cân tại A, đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,
BE, CF đồng quy.
Xem lời giải tại:
17. Cho   ABC,  , đường phân giác AD. Tia phân giác của góc ADC cắt
AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minh
rằng:
a.  Tia BI là tia phân giác của góc B.
b.  Tia CK là tia phân giác của góc ACx.
Xem lời giải tại:
18. Cho   ABC,  . Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó.
a.  Tính số đo của góc AMB.
b.  Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại
N. Chứng minh rằng AM = AN.
Xem lời giải tại:
19. Cho   ABC vuông tại A. Vẽ   MBC vuông cân ở M sao cho M và A thuộc hai
nửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng:
a.  Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC.
b.  Tia AM là tia phân giác của góc A.
Xem lời giải tại:
20. Cho   ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của 
cắt đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của   ABC.
b.  Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của   ABC.
Xem lời giải tại:
21. Cho   ABC. Gọi I là giao điểm hai phân giác của hai   và  . Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng: 
.
Xem lời giải tại:
22. Cho   ABC vuông tại A. Kẻ  ( H   BC ). Các tia phân giác của các 
 và   cắt nhau ở I. Tia phân giác của   cắt BC ở D. Chứng minh
rằng: CI đi qua trung điểm của AD.
Xem lời giải tại:
23. Cho   vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh
của tam giác. Gọi   là khoảng cách từ I đến ba cạnh của  . Chứng minh
rằng:  .
Xem lời giải tại:
24. Cho   ABC có đường cao AH, đường phân giác BD. Biết:  .
Chứng minh rằng HD // AB.
Xem lời giải tại:
25. Cho góc nhọn   và điểm A nằm trên tia phân giác của góc đó. Điểm B
thuộc tia Ox sao cho  , gọi H là hình chiếu của B lên Oy.
a.  Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc .
b.  Tính số đo góc 
Xem lời giải tại:
26. Cho   ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. CMR: 
 hoặc  .
Xem lời giải tại:
27. Cho   ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH   AB. Gọi E là một
điểm thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho  . Chứng
minh rằng FM là tia phân giác của  .
Xem lời giải tại:
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM
GIÁC
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
28. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực
của ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.
Xem lời giải tại:
29. Cho góc nhọn aOb và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ MA   Oa và
MB   Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạn
thẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giác ACB.
Xem lời giải tại:
30. Cho  ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH.
a.  Chứng minh  .
b.  Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM:   ABD là tam giác cân.
c.  Từ D kẻ  , từ C kẻ  . CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùng
đi qua một điểm.
Xem lời giải tại:
31. Cho   ABC có  . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm
của AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. 
Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE.
Xem lời giải tại:
32. Cho   ABC,  , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và
F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh:
a.   BEH và   CKF là các tam giác đều.
b.  .
Xem lời giải tại:
33. Cho   ABC cân tại A,  . Vẽ đường phân giác AD. Đường trung trực
của AB cắt AC tại M. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho  . Chứng minh
rằng ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy.
Xem lời giải tại:
34. Cho   ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một
điểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giác
AMB nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
35. Cho H là trực tâm của   ABC. CMR:  .
Xem lời giải tại:
36. Cho   vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là
trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: 
Xem lời giải tại:
37. Cho   cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của
đoạn thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao
cho AN = BM. 
a.   là tam giác gì? Vì sao?
b.   cho trước phải có điều kiện gì  ?
Xem lời giải tại:
38. Cho  . Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên hai tia BA và CA
sao cho  . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi
qua một điểm cố định.
Xem lời giải tại:
39. Cho   và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của ba
đường phân giác của   trùng với giao điểm ba đường trung trực của 
. Tính số đo các góc của  .
Xem lời giải tại:
40. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trên
Ox và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
41. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và giao điểm
của các đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.
Xem lời giải tại:
MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
42. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B, kẻ  , AI cắt
BC tại E.
a.  Chứng minh BE = BA.
b.  Chứng minh tam giác BED là tam giác vuông.
c.  Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC.
Xem lời giải tại:
43. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a.  Tính BC
b.  Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng 
c.  Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE
vuông. Suy ra FD là phân giác của 
d.  Chứng minh rằng  .
Xem lời giải tại:
44. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM.
a.  So sánh các góc ABC và ACB
b.  Chứng minh rằng 
c.  Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trung
điểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A).
Xem lời giải tại:
45. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C
tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia
phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K.
a.  Chứng minh rằng  .
b.  Tính các góc   theo góc A.
c.  Áp dụng, tính các góc trên với 
d.  Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
46. Cho tam giác ABC, kẻ phân giác BD. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD
ở E và BC ở F. Gọi M, N là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
a.  Chứng minh rằng AB=BF
b.  Chứng minh ME//BC
c.  Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng.
d.  Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, và
FM đồng quy.
Xem lời giải tại:
47. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từ
đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì 
a. 
b. 
c.  Điểm H nằm trên tia DC
Xem lời giải tại:
48. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho
BD=AB; CE=AC, kẻ   , BK cắt AE ở điểm N, kẻ   , CP cắt AD ở
điểm F. 
a.  BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.
b.  Chứng minh 
c.  Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).
Xem lời giải tại:
49. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia 
 và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,
không chứa điểm B, vẽ tia   và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC.
Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho
A’D=AD
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh EF=2AD
c.  Chứng minh 
d.  Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song
với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,
trung điểm K của EF thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
50. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các
đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác
theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho 
.
a.  Chứng minh MK=KP và 
b.  Chứng minh MC=NP
c.  Chứng minh 
d.  Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.
Xem lời giải tại:
51. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh
AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt
nhau tại điểm F.
a.  So sánh DA và DC
b.  Chứng minh 
c.  Chứng minh BC=BF
d.  Chứng minh AE//FC
Xem lời giải tại:
52. Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác trong BD, CE; BD và CE cắt nhau tại điểm
I. Biết   .
a.  Tính góc A
b.  Chứng minh 
Xem lời giải tại:
53. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên
AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH.
a.  Chứng minh 
b.  Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh
góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh
huyền”
Xem lời giải tại:
54. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia
Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là
một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By
sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q.
Chứng minh rằng:
a. 
b.  Tam giác POQ là tam giác vuông.
c.  Tam giác ACB là tam giác vuông.
d.  AC//OQ và BC//OP
Xem lời giải tại:
55. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của góc
xOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A,
B, C, D, E sao cho  .
a.  So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE
b.  So sánh các góc BAC và DCE
c.  So sánh các đoạn thẳng AD và BE
d.  Chứng minh rằng 
Xem lời giải tại:
56. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ 
a.  Chứng minh rằng 
b.  Chứng minh IK=AH
c.  Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH
d.  Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh 
Xem lời giải tại:
57. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và
p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các
điểm D, C.
a.  Chứng minh AD=BC; AB=DC.
b.  Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng
thời cũng là trung điểm của BD.
c.  Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP.
Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP.
d.  Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng
DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP.
Xem lời giải tại:
58. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC.
Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy
điểm Q sao cho QE=CE.
a.  Chứng minh AP=AQ
b.  Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng
c.  Chứng minh BQ//AC và CP//AB
d.  Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng 
Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC.
e.  Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy.
Xem lời giải tại:
59. Cho tam giác ABC, cân tại A  . Hai đường cao BD và CE cắt nhau
tại H, tia AH cắt BC tại I.
a.  Chứng minh rằng: 
b.  Chứng minh I là trung điểm của BC.
c.  Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. 
Chứng minh rằng CB là tia phân giác của  .
d.  Giả sử   và  . Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng
CF.
Xem lời giải tại:
60. Cho   vuông tại A. Đường phân giác của góc   cắt AC tại D. Trên
cạnh BC lấy điểm E sao cho  .
a.  Chứng minh 
b.  Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. 
Chứng minh tam giác BCK cân tại C.
c.  Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
61. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a. 
b. 
c.  AH là đường trung trực của BC.
d.  Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. 
Chứng minh rằng   cân.
Xem lời giải tại:
62. Cho   có  ;  , đường cao BH  .
a.  So sánh các góc 
b.  Tính  ?
c.  Vẽ AD là phân giác của góc A ( ), vẽ   tại I. 
Chứng minh rằng   .
d.  Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh   đều.
e.  Chứng minh  .
Xem lời giải tại:
63. Cho tam giác ABC, vuông tại A,  , trên BC lấy điểm E sao cho 
.
a.  Chứng minh rằng   đều.
b.  Chứng minh  .
c.  Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại F. 
Chứng minh F là trung điểm của AB.
d.  Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. 
Chứng minh   
Xem lời giải tại:
64. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai
điểm C, D sao cho  . Từ B và C kẻ  . Gọi P là
trung điểm của BC. Chứng minh:
a.   đều.
b.  .
c.   đều.
Xem lời giải tại:
65. Cho  cân tại A, đường cao AH. Kẻ   Gọi O là trung điểm của
EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh:
a. 
b. 
Xem lời giải tại:
66. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho 
 và 
. Gọi I là giao điểm của các phân giác của  .
a.  Chứng minh rằng I là giao điểm các đường trung trực của   .
b.  Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của  . Tính DE theo m.
c.  Tính  ?
Xem lời giải tại: