70 Bài tập Hình học luyện thi vào lớp 10 - Lưu Văn Chung

 MA2 = MC.MD 
 ( Học sinh tự chứng minh ) 
3. Chứng minh CIOD nội tiếp 
 Tương tự câu 2 bài 5 
4. Chứng minh 4IF.IE = AB2 
 Chứng minh IF.IE = IO.IM = IA.IB = 
2
4
AB
5. Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định 
Chứng minh OH.OF = OI.OM = OA2 = R2  OF = 
2R
OH
 không đổi 
Từ đó  F là điểm cố định ( OF không đổi và đường thẳng OH cố định ) 
1. Chứng minh AEDB và CDHE nội tiếp 
 ( Học sinh tự chứng minh ) 
2. Chứng minh OC  DE 
 Vẽ tiếp tuyến tại C của (O) , 
 chứng minh xy // DE  OC  DE 
3. Chứng minh 
 AH.AD + BH.BE + CH.CF = 
2 2 2
2
AB AC BC 
Chứng minh : AH.AD = AF.AB và BH.BE = BF.BA 
Suy ra : AH.AD + BH.BE = AB2 
Tương tự chứng minh : AH.AD + CH.CF = AC2 và BH.BE + CH.CF = BC2 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh . 
 4. Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O) 
 A 
 E I 
 H O 
 B D C 
 K 
F 
x 
y 
N 
Q 
M 
Bài 8 
Bài 9 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 32 Gv : Lưu Văn Chung 
 A 
 M H O 
 E 
 B C 
 D 
 N 
F 
I 
 Đường thẳng CI cắt (I) tại Q , đường thẳng KO cắt CQ tại M 
  NQ  BC  NQ // KM   KMC NQC 
 Mà ta có :  NQC KAC ( cùng chắn NC trong (I) ) 
 Suy ra :  KAC KMC  tứ giác KAMC nội tiếp  M thuộc đường 
 tròn ngoại tiếp AKC  M thuộc đường tròn (O). 
 1. Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) 
 và MA2 = MB.MC 
 Chứng minh MAO vuông tại A 
 Chứng minh MAB ~ MCA 
 2. Chứng minh MHEN nội tiếp 
 Học sinh tự chứng minh 
 3. Tính ON theo a và R 
 Chứng minh OE.ON = OH.OM = OA2 = R2 
  ON = 
2R
OE
 = 
2
2
2
4
R
aR 
= 
2
2 2
2
4
R
R a
 4. Chứng minh ABCF là hình thang cân 
   MED MAD AFD  (cùng chắn MD trong (I) và chắn AD trong (O) 
  AF // BC  ABCF là hình thang 
 Mà ABCF nội tiếp (O)  ABCF là hình thang cân 
 1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy ra số đo OID 
 C là điểm chính giữa AB  CO  AB tại O 
 Ta có   090AOC AIC   tứ giác ACIO nội tiếp 
 Suy ra :   045OID ACB  
2. Chứng minh OI là tia phân giác của COM 
 Ta có   045AIO ACO    AIO OID  đpcm 
Bài 10 
Bài 11 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 33 Gv : Lưu Văn Chung 
B 
C 
O A 
M 
I 
D 
K 
G 
H 
3. Chứng minh CIO ~ CMB. Tính tỉ số IO
BM
 Chứng minh   OCI OAI MCB  và   COI CAM CBM  
 Suy ra CIO ~ CMB ( g-g )  
2
2
IO CO
MB CB
  
 ( do COB vuông cân ) 
4. Tính tỉ số 
AM
MB
 và tính MA và MB theo R 
 Chứng minh G là trọng tâm của ABC  
1
3
GO
OC
  
1
3
OG
OA
 
 Chứng minh AOG ~ AMB  
1
3
MB OG
MA OA
   3AM
BM
 
 Đặt BM = x ( x > 0) . 
 Suy ra AM = 3x . Ta có AM2 + BM2 = AB2 = 4R2 
  (3x)2 + x2 = 4R2  10x2 = 4R2  x = 
10
5
R
 Vậy : MB = 
10
5
R
 và AM = 
3 10
5
R
5. Khi M là điểm chính giữa BC . 
 Tính diện tích tứ giác ACIO theo R 
 M là điểm chính giữa BC 
  AI là phân giác của CAD 
  CAD cân tại A  AD = AC = 2R 
  OD = AD – AO = R 2 R 
 Ta có : S ACD = 
21 1 2. . 2
2 2 2
RCO AD R R  
 Kẻ đường cao IH của OID  IH = 
1
2 2
ROC  
 Ta có : S OID = 
21 1 ( 2 1). . . ( 2 1)
2 2 2 4
R RIH OD R    
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 34 Gv : Lưu Văn Chung 
A
B 
D 
C 
I K 
E 
H 
G 
O 
N M
 SACIO = S ACD – S OID = 
2 22 ( 2 1)
2 4
R R 
 = 
2 ( 2 1)
4
R 
1. Chứng minh B , C , D thẳng hàng 
 Chứng minh AD  BD và AD  DC 
2. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp 
 ( học sinh tự chứng minh ) 
3. So sánh DH và DE 
 Gọi G là giao điểm BF và CE . Chứng minh được A , D , G thẳng hàng . 
 Từ đó suy ra H thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác AEGF 
 Chứng minh :  HDO EDO 
 Vẽ OM  DE tại M , vẽ ON  DH tại N. 
 Suy ra : OM = ON 
   MOD NOD 
 Chứng minh HON = EOM 
   HON EOM 
   HOD EOD 
  HOD = EOD 
  DH = DE 
1. Chứng minh EDKI nội tiếp 
 ( Học sinh tự chứng minh ) 
2. Chứng minh CI.CE = CK.CD 
 Chứng minh CIK ~ CDE (g-g) 
3. Chứng minh IC là tia phân giác xIB 
  xIC EIA (đ đ ) 
  CIB EAB ( EIBA nội tiếp ) 
D K A B C 
E 
F 
I 
x 
O 
Bài 12 
Bài 13 
F 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 35 Gv : Lưu Văn Chung 
  EIA EAB (  EA EB ) 
   xIC CIB 
  Tia IC là phân giác của xIB 
4. Đường thẳng FI luôn đi qua điểm cố định 
 Chứng minh CK.CD = CI.CE = CB.CA  CK = 
.CA CB
CD
 Do D là trung điểm AB  D cố định  CD không đổi 
 CK không đổi  K là điểm cố định . 
 Vậy đường thẳng FI luôn đi qua điểm K cố định . 
1. Chứng minh ABCE nội tiếp 
   090BAC BEC   ABEC nội tiếp 
2. Chứng minh  BCA ACF 
  090CED  ;  090CEB  
 Suy ra E ,D , B thẳng hàng 
  BCA BEA ( chắn BA ) 
  BEA ACF ( DCFE nội tiếp ) 
   BCA ACF 
3. Chứng minh BMCN nội tiếp 
 Chứng minh MBD cân tại B   BMC BDM 
 D và N đối xứng nhau qua BC   BNC BDC 
 Suy ra     090BNC BMC BDM BDC     BMCN nội tiếp 
 4. Xác định vị trí của D để đường tròn (BMCN) có bán kính nhỏ nhất 
 Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC  P thuộc đường 
 trung trực của BC. Ta có BP  BI ( BI không đổi ) . Vậy PB nhỏ 
 nhất khi P trùng với I . Mà IB = IA và IB = IM  IM = IA 
  M  A  D  A 
M
B 
N 
C A D O 
E 
F 
I 
K 
P 
Bài 14 
Bài 15 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 36 Gv : Lưu Văn Chung 
A 
M
N 
B H K C 
O’ O 
I 
D 
 1. Chứng minh H  BC 
 Chứng minh  090AHB  và  090AHC   B , H , C thẳng hàng 
 2. Tứ giác BCNM là hình gì ? Tại sao ? 
 ( Học sinh tự chứng minh ) 
4. Chứng minh A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn. 
 Suy ra quỹ tích của I 
 Chứng minh   090AHK AIK  
  AHKI nội tiếp 
  I  đường tròn đường kính AK 
 cố định khi d quay quanh A. 
4. Xác định vị trí của d để MN lớn nhất 
 Vẽ BD  NC tại D. 
 Suy ra MN = BD  BC . 
 Vậy MN lớn nhất khi khi MN = BC . 
 Khi đó D  C  MN // BC hay d // BC 
1. Chứng minh AE = AF 
 Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau trong hai đường tròn bằng 
 nhau 
2. Chứng minh AEKF và ACKD nội tiếp 
 AB  CD  AC và AD là hai đường kính của (O) và (O’) 
 Suy ra :   090AEK AFK   AEKF nội tiếp 
 Do AE = AF   AE AF   ACE ADF  ACKD nội tiếp 
3. Chứng minh EKF cân 
  FEK CAB ( ABEC nội tiếp ) 
  EFK DAB ( ABDF nội tiếp   FEK EFK  EKF cân tại K 
4. Chứng minh I , A , K thẳng hàng 
 EAF cân  AI  EF và EKF cân 
  KI  EF . 
 Suy ra A , I , K thẳng hàng 
5. Khi EF quay quanh B thì I và K di chuyển trên đường nào ? 
Bài 16 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 37 Gv : Lưu Văn Chung 
A 
F 
O O’ 
C 
E 
B 
K 
D 
I 
 AIB vuông tại I  I  đường tròn đường kính AB 
 ACKD nội tiếp  K  đường tròn ngoại tiếp ACD cố định. 
 1. Chứng minh IC2 = IK.IB 
 Chứng minh  IKC ~  ICB 
2. Chứng minh BAI ~ AKI 
 BD // AC   KAI BDK 
 Mà  BDK ABI ( chắn BK )   ABK KAI 
 Và AIK chung  AKI ~ BAI 
3. Chứng minh I là trung điểm AC 
 Chứng minh AI2 = IK.IB và IC2 = IK.IB ( cmt)  AI = IC 
4. Tìm vị trí của A để CK  AB 
 Giả sử CK  AB tại E    090EBC ECB  
 Mà   ECB BDK DAC  và  EBC BCA    090DAC BCA  
 Suy ra : AD  BC  K là trực tâm ABC  BI  AC 
 Mà I là trung điểm AC  ABC cân tại B  ABC đều 
  AO = 3R . Vậy để CK  AB thì OA = 3R 
1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy ra O là điểm cố định 
 Chứng minh AOB ~ COI  OI.OA = OC.OB 
B 
A 
E 
K 
C 
I 
O 
D 
Bài 17 
Bài 18 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 38 Gv : Lưu Văn Chung 
  OI = 
.OB OC
OA
 = 
2
R . Do đường thẳng OA cố định , A cố định 
 mà I  đường thẳng OA và OI không đổi suy ra I cố định. 
2. a. Chứng minh KECI nội tiếp 
  DEA DBC ( BDEC nội tiếp ) 
  DBC AIC ( BACI nội tiếp ) 
  DEA AIC  KECI nội tiếp 
 b. Tính AK theo R 
 AI = AO + OI = 2R + 5
2 2
R R
 
 Chứng minh : 
 AK.AI = AE.AD = OA2 – R2 
 ( vẽ tiếp tuyến từ A của (O) ) 
  AK = 
2 2OA R
AI

 = 
23 6
5 5
2
R R
R  
c. Chứng minh BOND nội tiếp. Suy ra N là điểm cố định 
  DNA DEA ( ADNE nội tiếp ) và  DEA ABC ( DBCE nội tiếp ) 
   DNA DBC  BOND nội tiếp 
 Chứng minh : AND ~ AOB ( g-g) 
  AN.AO = AD.AB = OA2 – R2 = 3R2  AN = 
3
2
R
  N cố định 
3. Tìm vị trí của BC để diện tích ABC lớn nhất 
 Kẻ AH  BC tại H. Ta có S ABC = 
1 .
2
AH BC = R.AH 
 Do đó S ABC lớn nhất  AH lớn nhất  AH = OA  H  O 
  BC  OA 
4. Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn (ABC) nhỏ nhất 
 Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và Q là trung điểm AI 
 Ta có IQ = 
1
2
AI = 
5
4
R
 Bán kính đường tròn (ABC ) là IF  IQ .  IF nhỏ nhất  IF = IQ 
  F  Q . Mà F  trung trực của BC  OF  BC hay OQ  BC 
B 
A 
D 
I O 
N M 
C 
E 
H 
K 
F 
Q 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 39 Gv : Lưu Văn Chung 
O'
O
N
C
E
F
K
A
M
H
B
  OA  BC . Vậy để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ 
 nhất thì BC phải vuông góc với AO. 
1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp. Suy ra K là trực tâm của MBC 
 Tứ giác AMKB nội tiếp   HKB MAB 
Mà  MAB MCB ( ABCM là hình bình hành ) 
Suy ra :  HKB MCB  FKHC là tứ giác nội tiếp 
Ta lại có :  090CHK    090CFK   BF  MC tại F 
 K là trực tâm của MBC 
2. Chứng minh AMB cân. Suy ra N thuộc một cung tròn cố định 
 Ta có : AM // BN 
   AMN MNB 
 Do MN là phân giác AMB 
 Nên :  AMN BMN 
 Từ đó :  BMN MNB 
  MBN cân tại B 
 Suy ra :  1
2
MNB AMB không đổi 
Ta lại có E là điểm chính giữa AB cố định 
nên E cố định.  EB cố định 
Từ đó ta có N nhìn đoạn EB cố định dưới 
một góc không đổi bằng 1
2
AMB 
 Vậy N thuộc cung chứa góc  = 1
2
AMB dựng trên đoạn EB cố định . 
 3. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 
Ta có :  1 '
2
ENB EO B ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) 
Bài 19 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 40 Gv : Lưu Văn Chung 
  1
2
BMN BOE ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) 
 Suy ra :  'BOE BO E   'EBO OEB ( do hai tam giác cân có hai 
 góc ở đỉnh bằng nhau ) 
 Suy ra : OE // O’B . Mà OE  AB ( t/c đường kính – dây- cung ) 
 Nên : AB  O’B  AB là tiếp tuyến của (O’). 
4. Khi AB = 3R . Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R 
 AB = R 3  sđ 0120AB    060EOB  và EB = R 
   0' 60EO B   EO’B đều  O’B = O’E = R 
 Từ đó ta có SEOBO’ = 2S EOB = 2. 
21 3 3. .
2 2 2
RR R  
1. Chứng minh IA2 = IP.IM 
 Chứng minh  IAN ~  IMA 
2. Chứng minh ANBP là hình bình hành 
 Ta có  AMP PAB ( chắn AP trong (O’) ) 
  AMP ABN ( chắn BN trong (O))   PAB ABN  AP // 
BN 
 Chứng minhAPI = BNI ( g-c-g)  AP = BN  APBN là hình bình 
hành 
3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP) 
 Chứng minh IB2 = IP.IM 
   IBP ~  IMB   IBP IMB 
 Vẽ đường kính BD của đường tròn (K) ngoại tiếp MPB 
 Ta có  IMB PDB và   090PBD PBD  
    090IBP PBD    090IBD  
  IB là tiếp tuyến của (K) 
4. Chứng minh P chạy trên một đường cố định 
 Ta có  APB ANB ( hình bình hành ) 
 Mà   090AMB ANB  
Bài 20 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 41 Gv : Lưu Văn Chung 
D
K
N
P
I
O' O
M
BA
   0180APB AMB  (=  ) 
  APB không đổi 
 Do AB cố định 
  P  cung chưá góc  
 dựng trên đoạn AB cố định . 
1. Chứng minh H  BC và BCNM là hình thang vuông 
 Chứng minh AH  HB và AH  HC 
  C , B , H thẳng hàng 
 Chứng minh BM  MN và CN  MN 
  BCNM là hình thang vuông 
 2. Chứng minh tỉ số 
HM
HN
không đổi 
 Chứng minh MHN ~ BAC 
  
MH AB
NH AC
 không đổi 
3. Chứng minh A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn . Suy ra I di 
 chuyển trên một đường cố định. 
 IK là đường trung bình của hình thang BCNM  IK  MN 
 Suy ra tứ giác AIKH nội tiếp . 
 Ta có  090AIK  mà K và A cố định  I  đường tròn đường kính AK. 
4. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích MNH lớn nhất 
 Ta có SMNH = 
1 . .sin
2
HM HN MHN = 1 . .sin
2
HM HN BAC 
j K
I
N
M
H
O'O
A
CB
Bài 21 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 42 Gv : Lưu Văn Chung 
I
H
y
N
x
M
O BA
E
D
K
H
O BA
 Vậy SMHN lớn nhất  HM.HN lớn nhất  HM và HN là đường kính 
Thật vậy : Vẽ đường kính HM’ của (O) và đường kính HN’ của (O’) ta 
chứng minh được M’AN’ thẳng hàng . Do đó Khi MH lớn nhất thì NH 
cũng lớn nhất . Suy ra khi đó diện tích MHN lớn nhất. 
1. Chứng minh AOM ~ BON và MON vuông 
 Từ giả thiết AM.BN = a2  AM.BN = OA.OB 
  AOM ~ BON (c-g-c) 
 Suy ra :  MOA ONB    090MOA NOB    090MON  
2. Chứng minh MN tiếp xúc với nửa đường tròn cố định tại H 
 Chứng minh  MNO ABH và  NMO BAH    090AHB MON  
 Suy ra H  đường tròn đường kính AB cố định . Mà MN  OH tại H 
  MN tiếp xúc với nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định. 
3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON thuộc tia cố định 
 Gọi I là trung điểm MN , ta chứng minh OI  AB tại O. 
 Ta có OI = 
1 ( )
2
BN AM ( OI là đường trung bình hình thang ABNM ) 
 Mà NH = NB và MH = MA ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 
 Suy ra OI = 
1
2
MN hay IO = IM = IN  I là tâm đường tròn (MON) 
 Vậy I  tia OI cố định 
4. Tìm vị trí đường thẳng d sao cho chu vi AHB lớn nhất. 
 Tính giá trị lớn nhất đó theo a. 
Bài 22 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 43 Gv : Lưu Văn Chung 
G
M
O
E D
H
A
CB
Trên tia AH lấy D sao cho HD = HB . Gọi E là điểm đối xứng với A qua 
điểm chính giữa K của AB . Ta có DHB vuông cân   045ADB  và 
EKB vuông cân   045AEB  . Từ đó suy ra tứ giác ADEB nội tiếp . 
Ta lại có ABE vuông ( hs tự chứng minh )  AE là đường kính của 
đường tròn (ADEB)  AD  AE  AD lớn nhất khi AD = AE  
DE  H  K 
 Mà AD = AH + HD = AH + HB . 
 Vậy chu vi ABH = AH + HB + AB = AD + AB lớn nhất khi AD lớn 
nhất ( do AB không đổi )  H  K  H là điểm chính giữa AB 
 đường thẳng d // AB. 
1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn 
 Chứng minh    090ABD ACD AED   
 Suy ra tứ giác A, B, C, D, E cùng thuộc 
 đường tròn (O) đường kính AD. 
2. Chứng minh  BAE = OAC và BE = CD 
 Tứ giác BEDC là hình thang nội tiếp (O) 
  BEDC là hình thang cân  BE = CD 
   BE CD   BAE OAC 
3. Chứng minh G là trọng tâm của ABC 
 Chứng minh AH = 2 OM 
 Chứng minh OM // AH  2AG AH
GM OM
   
1
3
GM
AM
 
 Vậy G là trọng tâm của ABC 
1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định 
 Chứng minh AM2 = AN2 = AB.AC ( không đổi ) 
Bài 23 
Bài 24 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 44 Gv : Lưu Văn Chung 
D
IK
H
N
M
A
CB
O
K
I
O'
B'
C'
O
a C
B
A
45
 Suy ra M và N thuộc đường tròn tâm A bán kính r = AB.AC 
2. Chứng minh DN đi qua điểm cố định 
 Gọi I là giao điểm của DN và BC . Ta có 
  AIN MDN ( AI // MD ) 
 Mà  AMN MDN ( chắn MN ) 
   AIN AMN 
 Ta có :  1
2
AON MON 
 Và  1
2
AMN MON    AON AMN AIN  
  A, M , O , I , N cùng thuộc một đường tròn đường kính OA 
  OI  BC  I là trung điểm BC  I là điểm cố định 
 Vậy đường thẳng DN luôn đi qua điểm I cố định 
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếpOHI luôn đi qua 2 điểm cố định 
 Chứng minh tứ giác HOIK nội tiếp  đường tròn (OHI) đi qua I cố định 
 Ta chứng minh thêm điểm K cố định : 
 Ta có AK.AI = AH.AO = AM2 = AB.AC ( hs tự chứng minh ) 
  AK = 
.AB AC
AI
 ( không đổi , do I là điểm cố định ) 
  K là điểm cố định . 
 Vậy đường tròn ngoại tiếp HIO đi qua 2 điểm cố định là I và K. 
1. Chứng minh A , B’ , C’ , O’cùng thuộc 
 một đường tròn 
 Chứng minh 5 điểm B , C , B’ , C’ , O 
 cùng thuộc đường tròn (K) đường kính BC 
 AC’C vuông tại C’ có  0' 45CAC  
   0' ' 45B CC  
  ' 'B C nhỏ của (K) có số đo 900 
  số đo ' 'B C lớn là 270 0 
   0' ' 135C OB    0' ' ' 135C O B     0' ' ' ' ' 180C O B C AB  
Bài 25 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 45 Gv : Lưu Văn Chung 
l
K
C
F
E
H
B
A
M O
l
K
C
F
E
H
B
A
M O
  tứ giác AC’O’B’ nội tiếp đường tròn có tâm là I . 
2. Tính B’C’ theo a 
 Trong (K) có  0' ' 90C KB  ( sđ 0' ' 90B C  )  B’KC’ vuông cân 
  C’B’ = KC’ 2 2a 
3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a 
 Ta có  0' ' 90B IC  (  0' ' 45B AC  )  B’IC’ vuông cân 
 Mà B’C’ = a 2  IB’ = a 
1. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R 
 OA = R , OM = 2R   060AOM  
   0120AOB    060AMB  
 Mà AMB cân tại A 
  AMB là tam giác đều 
 Tính được AM = 3R 
2. Chứng minh chu vi MEF không đổi 
 Gọi p là chu vi MEF , ta có : 
 p = ME + EF + MF 
 = ME + EC + CF + MF 
 = ME + EA + FB + MF = MA + MB = 2 MA = 2 3R ( không đổi ) 
3. Chứng minh EK  OF 
 Ta có  060EAK  . Ta chứng minh :  060EOF   EAOK nội tiếp 
 Mà  090EAO    090EKO   EK  OE 
4. Khi sđ 0BC = 90 . Tính EF và diện tích OHK theo R 
 Khi sđ 090BC   COBF là hình vuông 
  BF = R  MF = MB – FB 
 = 3 ( 3 1)R R R   
 MFE vuông tại F có  060EMF  
  EF = MF. 3 = R 3( 3 1) 
 Ta có EOK vuông tại K có  060EOF  
Bài 26 
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 46 Gv : Lưu Văn Chung 
  OE = 2 OK 
 Ta có S OEF = 2
1 . . 3( 3 1) 3( 3 1)
2
OC EF R R R    
 Chứng minh OHK ~ OFE với tỉ số đồng dạng k = 
1
2
OK
OE
 
 Suy ra : 
21 1
2 4
OHK
OFE
S
S


   
 
  S OHK = 2
1 1 . 3( 3 1)
4 4OEF
S R   
1. Chứng minh BEDC nội tiếp 
 ( Học sinh tự chứng minh ) 
2. Chứng minh MN // DE và B , C M , N cùng thuộc đường tròn 
 Vẽ đường kính AK của (H) 
 Ta có KN  AC và KM  AB 
 Mà HD  AC và HE  AB 
  KN // HD và KM // HE 
  
AD AH AE
AN AK AM
  
  MN // ED ( đl Thales đảo ) 
   AMN AED 
 Mà  AED ACB 
   AMN ACB 
  tứ giác MBNC nội tiếp 
3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua điểm cố 
 định 
 Chứng minh AO  ED ( học sinh tự chứng minh )  OA  MN 
 Hay đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua O cố định . 
4. Chứng minh đường thẳng kẻ từ H , vuông góc với M đi qua điểm cố 
 định 
 Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua BC . 
 Ta chứng minh AOO’H là hình bình hành .  HO’  MN 
 Suy ra điều phải chứng minh 
O'
M
NH
E
D
A
CB
O
K 
I 
Bài 27 
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10 
 47 Gv : Lưu Văn Chung 
K
I
H
A
E
D
M
CB
O
5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) 
 Để O’  (O) thì OO’ = R  OI = 
2
R
 ( I là trung điểm OO’) 
 Suy ra : BI = 
3
2
R
  BC = 3R 
1. Chứng minh AD.AB = AE.AC 
 Chứng minh AED ~ ABC ( g-g ) 
2. Chứng minh I là trung điểm DE 
 Ta có BA  CA và AH  BC 
   HCA HAB 
 Mà  EDA HCA ( BDEC nội tiếp ) 
   EDA HAB  DIA cân tại I 
 Tương tự chứng minh AIE cân tại I 
  ID = IA = IE  I là trung điểm ED 
3. Chứng minh IKMH nội tiếp 
 Chứng minh MA  DE tại K 