50 Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9

tỏ: AM2 = AE.AB. 
y
x
O
N
M
E
D
CB
A
Bài 2: Cho(O) đường kính AC. Trên đoạn OC 
lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường 
kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ 
M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt 
đường tròn tâm O’ tại I. 
a) Tứ giác ADBE là hình gì? 
b) Chứng minh: DMBI nội tiếp. 
c) Chứng minh: B, I, C thẳng hàng và 
MI = MD. 
d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC 
d) Chứng minh: MI là tiếp tuyến của (O’) 
I
E
D
M O O'B
CA
Bài 3: Cho ABC có  090A . Trên AC lấy 
điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O 
đường kính CM; đường thẳng BM cắt (O) tại D; 
AD kéo dài cắt (O) tại S. 
a) Chứng minh: BADC nội tiếp. 
b) BC cắt (O) ở E. Chứng minh rằng: MR là 
phân giác của AED . 
c) Chứng minh: CA là phân giác của BCS . 
E
O
S
D
M
CB
A
Bài 4: Cho ABC có  090A .Trên cạnh AC 
lấy điểm M sao cho AM >MC. Dựng đường tròn 
tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC 
tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường 
thẳng AD cắt (O) tại S. 
a) Chứng minh: ADCB nội tiếp. 
b) Chứng minh: ME là phân giác của AED . 
c) Chứng minh:  ASM ACD . 
d) Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 
e) Chứng minh ba đường thẳng BA; EM; CD 
đồng quy. 
O
S
D
E
M
CB
A
 Bài 5: Cho ABC có 3 góc nhọn và AB < AC 
nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao 
AD và đường kính AA’. Gọi E, F theo thứ tự là 
chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống 
đường kính AA’. 
a) Chứng minh: AEDB nội tiếp. 
b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C 
c) Chứng minh: DE  AC. 
d) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh: 
 MD = ME = MF. 
IN
A'
F
E
M
D CB
A
Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong 
đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ 
trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân 
các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P 
là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 
a) Chứng minh: MFEC nội tiếp. 
b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM 
c) Chứng minh: AMP ∽ FMQ. 
d) Chứng minh:  0PQM 90 . 
P
QO
E
F
M
CB
A
Bài 7: Cho (O) đường kính BC, điểm A nằm 
trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho 
AB = AD. Dựng hình vuông ABED; AE cắt (O) 
tại điểm thứ hai F; Tiếp tuyến tại B cắt đường 
thẳng DE tại G. 
a) Chứng minhBGDC nội tiếp. Xác định tâm I 
của đường tròn này. 
b) Chứng minhBFC vuông cân và F là tâm 
đường tròn ngoại tiếp BCD. 
c) Chứng minh: GEFB nội tiếp. 
c) Chứng tỏ:C, F, G thẳng hàng và G cũng nằm 
trên đường tròn ngoại tiếp BCD. Có nhận xét 
gì về I và F 
O
F
I
A
G
D
E
CB
Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong 
(O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt 
nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với 
AB, đường này cắt đường tròn ở E và F, cắt AC 
ở I (E nằm trên cung nhỏ BC). 
a) Chứng minhBDCO nội tiếp. 
b) Chứng minh: DC2 = DE.DF. 
c) Chứng minh:DOIC nội tiếp. 
d) Chứng tỏ I là trung điểm FE. 
O
I
F
E
D
CB
A
Bài 9: Cho (O), dây cung AB. Từ điểm M bất 
kỳ trên cung AB(M  A và M  B), kẻ dây cung 
MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường 
cao của MAN. 
a) Chứng minh4 điểm A, M, H, Q cùng nằm trên 
một đường tròn. 
b) Chứng minh: NQ.NA =NH.NM 
c) Chứng minh: MN là phân giác củaBMQ . 
d) Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN; Xác 
định vị trí của M trên cung AB để 
MQ.AN + MP.BN có GTLN 
I
P
O
Q
N
M
H B
A
Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A 
(R > r). Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B 
nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư 
ờng tròn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến 
tại A của hai đường tròn ở E. 
a) Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 
b) O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F. Chứng 
minh N, E, F, A cùng nằm trên một đường tròn 
c) Chứng tỏ : BC2 = 4Rr 
d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R, r 
FN
A IO
E C
B
Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai 
điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường 
thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn 
OB). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H, 
cắt AO kéo dài tại I. 
a) Chứng minhOMHI nội tiếp. 
b) Tính góc OMI. 
c) Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K. 
Chứng minh: OK = KH 
d) Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên 
OB. 
O y
x
K
I H
M
O
B
A
Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD 
vuông góc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm 
M.Nối A với M cắt CD tại E. 
a) Chứng minh: AM là phân giác của góc CMD. 
b) Chứng minh: EFBM nội tiếp. 
c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM 
d) Gọi giao điểm CB với AM là N; MD với AB 
là I. Chứng minh: NI //CD 
e) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp 
CIM 
O I
N
E
M
F
D
C
BA
Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường 
tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến 
ADE. Gọi H là trung điểm DE. 
a) Chứng minh: A, B, H, O, C cùng nằm trên 1 
đường tròn. 
b) Chứng minh: HA là phân giác của BHC . 
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng 
minh: AB2 = AI.AH. 
d) BH cắt (O) ở K.Chứng minh: AE // CK. K
IH
E
D
O
C
B
A
Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R, xy là tiếp 
tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. 
Gọi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là 
M, N. 
a) Cmr: MCDN nội tiếp. 
b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN 
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
MCDN và H là trung điểm MN. Cmr: AOIH là 
hình bình hành. 
d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O 
thì I di động trên đường nào? 
yx
O
I
H NM
D
C
B
A
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường 
tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ 
BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các 
cạnh AB, BC, AC. Gọi H là hình chiếu của D 
lên tiếp tuyến Ax của (O). 
a) Chứng minh: AHED nội tiếp 
b) Gọi giao điểm của AE với HD và HB với (O) 
là P và Q, ED cắt (O) tại M. 
Chứng minh: HA.DP = PA.DE 
c) Chứng minh: QM = AB 
d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH 
e) Chứng minh: E, F, G thẳng hàng (đường 
thẳng Sim sơn) 
P
M
Q
D
x
H
O G
F
E
CB
A
Bài 16: Cho tam giác ABC có  090A , AB < 
AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK  BC 
(K nằm trên BC). Trên tia đối của tia AC lấy 
điểm M sao cho MA = AK. 
a) Chứng minh: ABIK nội tiếp được trong 
đường tròn tâm I. 
b) Chứng minh:  BMC = 2ACB 
c) Chứng tỏ BC2 = 2AC.KC 
d) AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng 
minh AC = BN 
N
M K
CIB
A
Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C 
di động trên nửa đường tròn.Tia phân giác của 
ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M 
lên AC và BC. 
a) Chứng minh:MOBK nội tiếp. 
b) Tứ giác CKMH là hình vuông. 
c) Chứng minhH;O;K thẳng hàng. 
d) Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động 
trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? K
M
QP
H
O BA
I
C
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, 
BC = a. Kẻ tia phân giác của ACD , từ A hạ AH 
vuông góc với đường phân giác nói trên. 
a) Chứng minh: AHDC nội tiếp trong ( O) mà ta 
phải định rõ tâm và bán kính theo a. 
b) HB cắt AD tại I và cắt AC tại M; HC cắt DB 
tại N. Chứng tỏ HB = HC. Và AB.AC = BH.BI 
c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H 
của (O) 
d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH; 
đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng 
minh HOKD nội tiếp. 
I
J
K
O
N
M
H
D C
BA
Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, 
bán kính OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên cung 
BC. Kẻ đường cao CH của ACM. 
a) Chứng minh AOHC nội tiếp. 
b) Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân 
giác của COM . 
c) Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) 
tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân. 
d) BM cắt OH tại N. 
Chứng minh: BNI ∽ AMC, từ đó suy ra: 
BN.MC = IN.MA. 
N
I
D
H
O
M
C
BA
Bài 20: Cho đều ABC nội tiếp trong (O;R). 
Trên AB và AC lấy hai điểm M; N sao cho 
BM = AN. 
a) Chứng tỏ OMN cân. 
b) Chứng minh: OMAN nội tiếp. 
c) BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. 
Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2. 
d) Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp 
tuyến tại A của (O) cắt FC tại I; AO kéo dài cắt 
BC tại J. Chứng minh: BI đi qua trung điểm của 
AJ. 
K
J
I
F
ED
O N
M
CB
A
Bài 21: Cho ABC (  090A  )nội tiếp trong 
đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh 
AC. Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh 
BC ở N và cắt (O) tại D. 
a) Chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp và 
CN.AB = AC.MN. 
b) Chứng tỏ B, M, D thẳng hàng và OM là tiếp 
tuyến của (I). 
c) Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. Chứng 
minh BMOE là hình bình hành. 
d) Chứng minh NM là phân giác của AND . 
I
E
M
O N
D
CB
A
Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. 
Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I 
kẻ các đường thẳng song song với AB; BC, các 
đường này cắt AB; BC; CD; DA lần lượt ở P; Q; 
N; M 
a) Chứng minh INCQ là hình vuông. 
b) Chứng tỏ NQ // DB. 
c) BI kéo dài cắt MN tại E; MP cắt AC tại F. 
Chứng minh MFIN nội tiếp được trong đường 
tròn. Xác định tâm. 
d) Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích của 
nó theo a. 
e) Chứng minh: MFIE nội tiếp. 
F
E
I
M
N
Q
P
D
CB
A
Bài 23: Cho hình vuông ABCD, N là trung điểm 
DC; BN cắt AC tại F. Vẽ đường tròn tâm O 
đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài 
cắt AD ở M; MN cắt (O) tại I. 
a) Chứng minh MDNE nội tiếp. 
b) Chứng tỏ BEN vuông cân. 
c) Chứng minh MF đi qua trực tâm H của 
BMN 
d) Chứng minh BI = BC và IE F vuông. 
e) NE cắt AB tại Q. Chứng minh MQBN là hình 
H
Q
I
M
E
O
F
ND C
BA
thang cân 
Bài 24: Cho ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Vẽ 
đường cao AH. Từ H kẻ HK; HM lần lượt vuông 
góc với AB; AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. 
a) Chứng minh AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh JA.JH = JK.JM 
c) Từ C kẻ tia Cx vuông góc với AC và Cx cắt 
AH kéo dài ở D. Vẽ HI; HN lần lượt vuông góc 
với DB và DC. Cmr :  HKM HCN 
d) Chứng minh M; N; I; K cùng nằm trên một 
đường tròn. 
N
I
D
J
M
K
H
CB
A
Bài 25: Cho ABC ( 090A  ), đường cao AH. 
Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường 
thẳng AB tại D và cắt AC tại E; Trung tuyến 
AM của ABC cắt DE tại I. 
a) Chứng minh D; H; E thẳng hàng. 
b) Chứng minh BDCE nội tiếp. Xác định tâm O 
của đường tròn này. 
c) Chứng minh AM  DE. 
d) Chứng minh AHOM là hình bình hành. O
I
E
M
D
H C
B
A
Bài 26: Cho ABC có 3 góc nhọn, đường cao 
AH. Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB; I là 
điểm đối xứng của H qua AC. E; F là giao điểm 
của KI với AB và AC. 
a) Chứng minh: AICH nội tiếp. 
b) Chứng minh: AI = AK 
c) Chứng minh: Các điểm: A, E, H, C, I cùng 
nằm trên một đường tròn. 
d) Chứng minh: CE; BF là các đường cao của 
ABC 
e) Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của 
HFE chính là trực tâm của ABC. 
M
F
E
I
K
H CB
A
Bài 27: Cho ABC (AB =AC) nội tiếp trong (O). 
Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên 
tia BM lấy MK = MC và trên tia BA lấy 
AD = AC. 
a) Chứng minh:  BAC 2BKC 
b) Chứng minh: BCKD nội tiếp. Xác định tâm 
của đường tròn này. 
c) Gọi giao điểm của DC với (O) là I. Chứng 
minh: B; O; I thẳng hàng. 
d) Chứng minh: DI = BI. 
I
O M K
D
CB
A
Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (O). 
Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Cung AB 
không chứa điểm C, D). IC và ID cắt AB ở M; 
N. 
a) Chứng minh: D, M, N, C cùng nằm trên một 
đường tròn. 
b) Chứng minh: NA.NB=NI.NC 
c) DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F; đường 
thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. Chứng minh: 
EF //AB 
d) Chứng minh:IA2 = IM.ID. 
E
F
O
D C
B
A
N
M
I
Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC 
lấy điểm E. Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax 
cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI 
của AEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng 
đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 
a) Chứng minh: AECF nội tiếp. 
b) Chứng minh: AF2 = KF.CF 
c) Chứng minh: EGFK là hình thoi. 
d) Cmr: khi E di động trên BC thì EK = BE + 
DK và chu vi CKE có giá trị không đổi. 
e) Gọi giao điểm của EF với AD là J. Chứng 
minh: GJ  JK. 
x
G
J
K
IF
E
D C
BA
Bài 30: Cho ABC. Gọi H là trực tâm của tam 
giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao 
điểm của HD và BC. 
a) Chứng minh: ABDC nội tiếp trong đường 
tròn tâm O; nêu cáh dựng tâm O. 
b) So sánh BAH vàOAC . 
c) CH cắt OD tại E. Chứng minh: AB.AE = 
AH.AC 
d) Gọi giao điểm của AI và OH là G. Chứng 
minh: G là trọng tâm của ABC. 
Q
M
N
O
G
I
D
H
CB
A
Bài 31: Cho (O) và cung AB = 90o. C là điểm 
tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI, BK, 
CJ của ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; 
AH cắt (O) tại M. BM và AN gặp nhau ở D. 
a) Chứng minh: B, K, C, J cùng nằm trên một 
đường tròn. 
b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB 
c) Chứng minh:MN là đường kính của (O) 
d) Chứng minh: ACBD là hình bình hành. 
e) Chứng minh: OC // DH. 
O
D
M
N
I
J
K
H
CB
A
Bài 32: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một 
điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND; Vẽ 
đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC 
tại F; BF cắt AD tại M; BN cắt AC tại E. 
a) Chứng minh:BFN vuông cân. 
b) Chứng minh: MEBA nội tiếp 
c) Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt 
(O) ở P. Chứng minh: B, Q, P thẳng hàng. 
d) Chứng tỏ ME // PC và BP = BC. 
e) Chứng minh : FPE là tam giác vuông 
P
Q
F
M
E
O
ND C
BA
Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn 
điểm A, B, C, D sao cho AB = DB; AB và CD 
cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường 
tròn(O) ở Q; DB cắt AC tại K. 
a) Chứng minh: CB là phân giác củaACE . 
b) Chứng minh: AQEC nội tiếp. 
c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD 
d) Chứng minh: QE//AD. 
K
Q
O
C
E
D
B
A
Bài 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy 
hai điểm B và C sao cho AB = BC. Kẻ cát tuyến 
BEF với đường tròn. CE và CF cắt (O) lần lượt 
ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. 
a) Chứng minh: D nằm trên đường thẳng BF. 
b) Chứng minh: ADCF nội tiếp. 
c) Chứng minh: CF.CN = CE.CM 
d) Chứng minh: MN//AC. 
e) Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr: DF 
đi qua trung điểm của NI. 
JI
x
O
D
N
M
F
E C
B
A
Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB; CD 
vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên 
cung nhỏ CB. 
a) Chứng minh: ACBD là hình vuông. 
b) AM cắt CD, CB lần lượt ở P và I. Gọi J là 
giao điểm của DM và AB. Chứng minh : 
IB.IC = IA.IM 
c) Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác củaCJM . 
d) Tính diện tích AID theo R. 
O J
I
P
M
D
C
BA
Bài 37: Cho ABC ( 090A  ). Kẻ AH  BC. 
Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp AHB 
và AHC. Đường thẳng OO’ cắt cạnh AB, AC 
tại M, N. 
a) Chứng minh:  OHO’ là tam giác vuông. 
b) Chứng minh: HB.HO’ = HA.HO 
c) Chứng minh: HOO’ ∽ HBA. 
d) Chứng minh: Các tứ giác BMHO; HO’NC 
nội tiếp. 
e) Chứng minh: AMN vuông cân. 
O'
O
N
M
H CB
A
Bài 37: Cho nửa đường tròn O, đường kính AB 
= 2R, gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường 
thẳng vuông góc với AB, đường này cắt nửa 
đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C, AC cắt (O) 
tại M; MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao 
điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 
a) Chứng minh:AIMD nội tiếp. 
b) Chứng minh: CM.CA = CI.CD. 
c) Chứng minh: ND = NC. 
d) CB cắt AD tại E. Chứng minh: E nằm trên 
đường tròn (O) và C là tâm đường tròn nội tiếp 
EIM. 
e) Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R. 
O
E C
N
D
MK
I BA
Bài 38: Cho ABC. Gọi P là một điểm nằm 
trong tam giác sao cho  PBA PAC . Gọi H và 
K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P 
xuống AB, AC. 
a) Chứng minh: AHPK nội tiếp. 
b) Chứng minh: HB.KP = HP.KC. 
c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của PB, 
PC, BC. Cmr: HD = EF; DF = EK 
d) Chứng minh: Đường trung trực của HK đi 
qua F. F
E
D
K
H
P
CB
A
Bài 39: Cho hình bình hành ABCD(  090A  ). 
Từ C kẻ CE, CF, CG lần lượt vuông góc với 
AD, DB, AB. 
a) Chứng minh: DEFC nội tiếp. 
b) Chứng minh: CF2 = EF.GF. 
c) Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OI  CD. 
Cmr: OI đi qua trung điểm của AG. 
d) Chứng tỏ EOFG nội tiếp. 
I
O
G
F
E
B
CD
A
Bài 40: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau 
ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O), (O’) 
lần lượt ở C và E; đường thẳng AO’ cắt (O) và 
(O’) lần lượt ở D và F. 
a) Chứng minh: C, B, F thẳng hàng. 
b) Chứng minh: CDEF nội tiếp. 
c) Chứng tỏ DA.FE = DC.EA 
d) Chứng minhA là tâm đường tròn nội tiếp 
BDE. 
e) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của 
hai đường tròn (O); (O’) 
F
E
D
C B
A
O'O
Bài 41: Cho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E 
và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF, vẽ 
2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung 
điểm EF. 
a) Chứng tỏ 5 điểm: A, B, C, O, H cùng nằm 
trên một đường tròn. 
b) Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng 
OH ở K. Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2. 
c) Khi A di động trên xy thì I di động trên 
đường nào? 
d) Chứng minh: KE và KF là hai tiếp tyuến của 
(O) 
K
x
y
I
H
E
F
O
C
B
A
Bài 42: Cho ABC (AB < AC) có hai đường 
phân giác CM, BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE 
và AF lần lượt vuông góc với BN và CM. Các 
đường thẳng AE và AF cắt BC ở I; K. 
a) Chứng minh: AFDE nội tiếp. 
b) Chứng minh: AB.NC = BN.AB 
c) Chứng minh: FE // BC 
d) Chứng tỏ ADIC nội tiếp. 
{Chú ý bài toán vẫn đúng khi AB > AC} 
M
N
K I
F
E
D
CB
A
Bài 43: Cho ABC (  090A  ); AB = 15; 
AC = 20 (cùng đơn vị đo độ dài). Dựng đường 
tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính 
AC. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 
điểm thứ hai D. 
a) Chứng tỏ D nằm trên BC. 
b) Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC. AM 
cắt DC ở E và cắt (O) ở N. Chứng minh: 
 DE.AC = AE.MC 
c) Chứng minh: AN = NE và O; N; O’ thẳng 
hàng. 
d) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh: 
 0OIO’ 90 . 
e) Tính diện tích ∆ AMC. 
O'O
I
N
E
M
D CB
A
Bài 44: Trên (O;R), ta lần lượt đặt theo một 
chiều, kể từ điểm A một cung AB bằng 600, rồi 
cung BC bằng 900 và cung CD bằng 1200. 
a) Chứng minh: ABCD là hình thang cân. 
b) Chứng tỏ AC  DB. 
c) Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD 
d) Gọi M; N là trung điểm các cạnh DC và AB. 
Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P; PN cắt 
DB tại Q. Chứng minh: MN là phân giác của 
PMQ . 
KJ
I
E
O
Q
P
N
MD C
BA
Bài45: Cho  đều ABC có cạnh bằng a. Gọi D 
là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc 
B của ∆ABC. Từ D dựng tia Dx vuông góc với 
DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D 
và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E 
kẻ EF  BC. Gọi O là trung điểm EB. 
a) Chứng minh: AEBC và EDFB nội tiếp, xác 
định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại 
tiếp các tứ giác trên theo a. 
b) Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M. EC cắt 
(O) ở N. Chứng minh: EBMC là thang cân. Tính 
diện tích. 
c) Chứng minh: CE là phân giác của DCA . 
d) Chứng minh: FD là đường trung trực của MB 
e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hàng. 
f) Tính diện tích phần mặt trăng được tạo bởi 
cung nhỏ EB của hai đường tròn. 
F
M
O
F
E
x
D
CB
A
Bài 46: Cho nửa đường tròn (O) đường kính 
BC. Gọi A là một điểm bất kỳ trên nửa đường 
tròn; BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là 
điểm chính giữa cung AC; DB kéo dài cắt tiếp 
tuyến Cy tại E. 
a) Chứng minh: BD là phân giác của ABC và 
OD // AB. 
b) Chứng minh: ADEF nội tiếp. 
c) Gọi I là giao điểm BD và AC. Chứng tỏ: 
 CI = CE và IA.IC = ID.IB. 
d) Chứng minh:  AFD AED 
y
I
O
E
D
F
A
CB
Bài47: Cho nửa đtròn (O); đường kính AD. 
Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao 
cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ 
EF  AD tại F. 
a) Chứng minh: ABEF nội tiếp. 
b) Chứng tỏ: DE.DB = DF.DA. 
c) Chứng minh: E là tâm đường tròn nội tiếp 
FBC. 
d) Gọi I là giao điểm BD với CF. Chứng minh: 
BI2 = BF.BC – IF.IC 
M
O
I
F
E
C
B
DA
Bài 48: Cho (O) đường kính AB; P là một điểm 
di động trên cung AB sao cho PA < PB. Dựng 
hình vuông APQR vào phía trong đường tròn. 
Tia PR cắt (O) tại C. 
a) Chứng minh: ACB vuông cân. 
b) Vẽ phân giác AI của PAB (I nằm trên(O); AI 
cắt PC tại J. Chứng minh4 điểm J; A; Q; B cùng 
nằm trên một đường tròn. 
c) Chứng tỏ: CI.QJ = CJ.QP. 
O
I
J
C
R
Q
P
BA
Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB = 2R. Trên 
nửa đường tròn lấy điểm M sao cho  AM MB . 
Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tiếp 
tuyến Ax và By lần lượt ở D và C. 
a) Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 
b) Chứng tỏ AD.BC = R2. 
c) Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N; 
MO cắt Ax ở F; MB cắt Ax ở E. Chứng minh: 
AMFN là hình thang cân. 
d) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để