Ứng dụng của hệ thức Vi-Ét trong giải toán

ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
	Cho phương trình bậc hai: 	ax2 + bx + c = 0 (a¹0)	(*)
	Có hai nghiệm	; 	
	Suy ra:	
	Vậy đặt :	- Tổng nghiệm là S : 	S = 
	- Tích nghiệm là P : 	P = 
	Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
	a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ó a.12 + b.1 + c = 0 ó a + b + c = 0
	Như vây phương trình có một nghiệm và nghiệm còn lại là 
	b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ó a.(1)2 + b(1) + c = 0 ó a b + c = 0
	Như vậy phương trình có một nghiệm là và nghiệm còn lại là 
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	1) 	(1)	2) 	 (2)
Ta thấy :
	Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm và 
	Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm và 
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
	1. 	2. 
	3. 	4. 
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ 	hai.
	b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
	c) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
	d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
Bài giải: 
a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 
	T ừ suy ra 
b) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
	T ừ suy ra 
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau: 
	Suy ra 
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có . Suy ra
	Với th ì 
	Với th ì 
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 
Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:
Bài tập áp dụng: 
	1. 	x1 = 8 	vµ 	x2 = -3
	2. 	x1 = 3a 	vµ 	x2 = a
	3. 	x1 = 36 	vµ 	x2 = -104
	4. 	x1 = 	vµ 	x2 = 
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và 
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
Vậy phương trình cần lập có dạng: 	
	hay	
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và 
	(Đáp số: hay )
2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
	(Đáp số : )
3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương 	trình bậc hai có các nghiệm sao cho :
	a) và 	b) và 
(Đáp số 	a) 	b) )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
	Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
	(điều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 
giải phương trình trên ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thì b = 4
	nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
	1. S = 3	và 	P = 2
	2. S = 3	và	P = 6
	3. S = 9	và 	P = 20
	4. S = 2x	và 	P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thì b = 5 
	nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 
	Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
	nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = thì b = 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
	Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
	Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 
Ví dụ 1 	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Ví dụ 2	
Ta biết 
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
	1. 	( =.)
	2. 	( = =. )
	3. 	( = = )
	4. 	( = = ..)
	Bài tập áp dụng
	5. 	6. 	7. 	8. 
2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
HD: 
V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số 
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ 	giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
Rút m từ (1) ta có :
	(3)
Rút m từ (2) ta có :
	(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
	thay v ào A ta c ó:
	Vậy A = 0 với mọi và . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
	- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
	- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy 
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
2. Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
	- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 	v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra:
	(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Ví dụ 2: Cho phương trình : .
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
	2. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 
	3. Cho phương trình : . 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Hướng dẫn cách giải: 
	Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ 
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ÉT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ÉT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn )
VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
	Cho phương trình:	 (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm .
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trái dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cùng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
	 có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 
Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
	1. có 2 nghiệm cùng dấu.
	2. có 2 nghiệm âm.	
	3. có ít nhất một nghiệm không âm.
VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
	 	(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)	(*)
Thì ta thấy : 	 (v ì ) 	
	 (v ì)	
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
	 có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Ví dụ 2: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị 	lớn nhất của biểu thức sau:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vì 	
	Vậy m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
	Vì 
	Vậy 
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta có: 
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm thỏa mãn điều kiện.
3. Cho phương trình : xác định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
a) đạt giá trị lớn nhất
b) đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trình . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.